10.4 三元一次方程组
一．选择题（共 11 小题）
1．三元一次方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
2．三元一次方程组 的解是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列四组数值中，（ ）是方程组 的解．
A． B．
C． D．
4．三元一次方程组 ，消去未知数 z 后，得到的二元一次方程组是（ ）
A． B．
C． D．
5．三元一次方程组 消去未知数 y 后，得到的方程组可能是（ ）
A． B．C． D．
6．三元一次方程组 消去一个未知数后，所得二元一次方程组是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知 ，则 x+y+z 的值是（ ）
A．80 B．40 C．30 D．不能确定
8．已知 x+4y﹣3z＝0，且 4x﹣5y+2z＝0，x：y：z 为（ ）
A．1：2：3 B．1：3：2 C．2：1：3 D．3：1：2
9．三个二元一次方程 2x+5y﹣6＝0，3x﹣2y﹣9＝0，y＝kx﹣9 有公共解的条件是 k＝（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
10．已知 ，则 a：b：c＝（ ）
A．1：2：3 B．1：2：1 C．1：3：1 D．3：2：1
11．关于 x，y 的方程组 的解是方程 3x+2y＝10 的解，那么 a 的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
二．填空题（共 7 小题）
12．已知方程组 ，则 a+b+c＝ ．
13．若 则 5x﹣y﹣z﹣1 的立方根是 ．
14．若方程组 的解中 x 与 y 的值相等，则 k 为 ．
15．把方程组 消去未知数 z，转化为只含 x、y 的方程组为 ．
16．若方程组 的解满足方程 x+y+a＝0，则 a 的值为 17．若方程组 中 x 和 y 值相等，则 k＝ ．
18．方程组 经“消元”后可得到一个关于 x、y 的二元一次方程组为 ．
三．解答题（共 2 小题）
19．若方程组 的解 x、y 的和为﹣5，求 k 的值，并解此方程组．
20．二元一次方程组 的解 x，y 的值相等，求 k．参考答案与试题解析
一．选择题（共 11 小题）
1．三元一次方程组 的解是（ ）
A． B． C． D．
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可．
【解答】解： ，
把③代入①得：y+z＝5④，
把③代入②得：4y+3z＝18⑤，
④×4﹣⑤得：z＝2，
把 z＝2 代入④得：y＝3，
把 y＝3，z＝2 代入③得：x＝5，
则方程组的解为 ，
故选：A．
【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与
加减消元法．
2．三元一次方程组 的解是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】由①+②消去 z，②×3+③消去 z，组成关于 x、y 的二元一次方程组，进一步解二
元一次方程组，求得答案即可．【解答】解：
由①+②，得 2x+4y＝﹣2，即 x+2y＝﹣1 ④
由②×3+③，得 3x+8y＝﹣8 ⑤
④⑤组成二元一次方程组得
解得 ，
代入②得 z＝﹣2．
故原方程组的解为
故选：B．
【点评】本题考查三元一次方程组的解法，有加减法和代入法两种，一般选用加减法解方程
组较简单．
3．下列四组数值中，（ ）是方程组 的解．
A． B．
C． D．
【分析】①+③得出 4a＝﹣4，求出 a 的值，②+③得出 5a﹣2b＝﹣9，代入后求出 b，即可
求出答案．
【解答】解：
①+③得：4a＝﹣4，
解得：a＝﹣1，
②+③得：5a﹣2b＝﹣9④，
把 a＝﹣1 代入④得：﹣5﹣2b＝﹣9，
解得：b＝2，
把 a＝﹣1，b＝2 代入①得：﹣1+2+c＝0，解得：c＝﹣1，
故原方程组的解为 ，
故选：B．
【点评】本题考查了三元一次方程组的解法，能正确消元是解此题的关键．
4．三元一次方程组 ，消去未知数 z 后，得到的二元一次方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据解三元一次方程组的方法可以解答本题．
【解答】解：
①﹣②，得
4x+3y＝2④
②+③×4，得
7x+5y＝3⑤
由④⑤可知，选项 A 正确，
故选：A．
【点评】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是明确题意，会用消元法解方程．
5．三元一次方程组 消去未知数 y 后，得到的方程组可能是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】利用加减消元法解出方程组即可．【解答】解： ，
③×3﹣①得，7x+z＝4④，
③×2﹣②得，5x﹣z＝12⑤，
由④⑤组成方程组得， ，
故选：A．
【点评】本题考查的是二元一次方程组、三元一次方程组的解法，掌握加减消元法是解题的
关键．
6．三元一次方程组 消去一个未知数后，所得二元一次方程组是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据解三元一次方程组的方法可以解答本题．
【解答】解：
②﹣①，得 a+b＝1④
①×3+③，得 5a﹣2b＝19⑤
由④⑤可知，D 选项正确，
故选：D．
【点评】本题考查解三元一次方程组，解题的关键是明确题意，会用消元法解方程．
7．已知 ，则 x+y+z 的值是（ ）
A．80 B．40 C．30 D．不能确定
【分析】先把这三个方程分别进行相加，得到 2x+2y+2z＝800，再同时除以 2，即可得出答
案．
【解答】解： ，
①+②+③得：2x++2y+2z＝80，∴x+y+z＝40；
故选：B．
【点评】此题考查了解三元一次方程组，解题的关键是用加法解三元一次方程组，不要把
x，y，z 的值单独计算，要以整体的形式进行解答．
8．已知 x+4y﹣3z＝0，且 4x﹣5y+2z＝0，x：y：z 为（ ）
A．1：2：3 B．1：3：2 C．2：1：3 D．3：1：2
【分析】将两个方程联立构成方程组，然后把z 看作字母已知数，分别用含有 z 的式子表示
出 x 与 y，然后求出比值即可．
【解答】解：联立得： ，
①×5+②×4 得：21x＝7z，解得：x＝ z，代入①得：y＝ z，
则 x：y：z＝ z： z：z＝ ： ：1＝1：2：3．
故选：A．
【点评】此题考查学生利用消元的数学思想解方程组的能力，是一道基础题．解题的关键是
把 z 看作字母已知数来求出方程组的解．
9．三个二元一次方程 2x+5y﹣6＝0，3x﹣2y﹣9＝0，y＝kx﹣9 有公共解的条件是 k＝（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】理解清楚题意，运用三元一次方程组的知识，把三个方程组成方程组再求解．
【解答】解：由题意得： ，
①×3﹣②×2 得 y＝0，
代入①得 x＝3，
把 x，y 代入③，
得：3k﹣9＝0，
解得 k＝3．
故选：B．
【点评】本题的实质是解三元一次方程组，用加减法或代入法来解答．
10．已知 ，则 a：b：c＝（ ）
A．1：2：3 B．1：2：1 C．1：3：1 D．3：2：1【分析】先确定 a，b，c 的关系，再求比值即可．
【解答】解：原方程变形为 ，
①﹣②得﹣b+2c＝0，即 b＝2c，
原方程组变形为 ，
③﹣④得﹣a+c＝0，即 a＝c，
∴a：b：c＝c：2c：c＝1：2：1，
故选：B．
【点评】本题考查了解三元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键．
11．关于 x，y 的方程组 的解是方程 3x+2y＝10 的解，那么 a 的值为（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
【分析】理解清楚题意，运用三元一次方程组的知识，把x，y 用 a 表示出来，代入方程 3x+2y
＝10 求得 a 的值．
【解答】解：（1）﹣（2）得：6y＝﹣3a，
∴y＝﹣ ，
代入（1）得：x＝2a，
把 y＝﹣ ，x＝2a 代入方程 3x+2y＝10，
得：6a﹣a＝10，
即 a＝2．
故选：B．
【点评】本题的实质是解三元一次方程组，用加减法或代入法来解答．
二．填空题（共 7 小题）
12．已知方程组 ，则 a+b+c＝ 2 ．
【分析】方程组三方程相加即可求出所求．
【解答】解： ，
①+②+③得：2（a+b+c）＝4，
则 a+b+c＝2，故答案为：2
【点评】此题考查了解三元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与
加减消元法．
13．若 则 5x﹣y﹣z﹣1 的立方根是 3 ．
【分析】先根据方程组解出 x、y、z，然后代入 5x﹣y﹣z﹣1 后即可求出答案．
【解答】解：
由③可得：z＝3x+2y﹣18④
把④代入①中得，17x+4y＝85⑤
把④代入②得，7x﹣y＝35⑥
联立⑤⑥可得：x＝5，y＝0，
将 x＝5，y＝0 代入④得，z＝﹣3
∴5x﹣y﹣z﹣1＝5×5﹣0+3﹣1＝27
∴27 的立方根是 3，
故答案为：3
【点评】本题考查方程组的解法，解题的关键是熟练运用方程组的解法以及正确理解立方根
的定义，本题属于基础题型．
14．若方程组 的解中 x 与 y 的值相等，则 k 为 2 ．
【分析】将 4x+3y＝14 与 x＝y 组成方程组，求出 x、y 的值，再代入 kx+（k﹣1）y＝6 即可
求出 k 的值．
【解答】解：根据题意得： ，
解得 ①，
将①代入 kx+（k﹣1）y＝6 得，
2k+2（k﹣1）＝6，
解得 k＝2．
【点评】此题考查了用消元法解方程组．先求出已知方程组的解，再将解代入第三个方程，即可求出 k 的值．
15．把方程组 消去未知数 z，转化为只含 x、y 的方程组为 ．
【分析】先把第 2 和和第 3 个方程相加消去 z，然后把它与第 1 个方程可组成关于 x、y 的
二元一次方程组．
【解答】解： ，
②+③得 5x+3y＝10④，
由①④组成关于 x、y 的二元一次方程组 ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了解三元一次方程组：利用加减或代入消元法把解三元一次方程组的问题
转化为解二元一次方程组的问题．
16．若方程组 的解满足方程 x+y+a＝0，则 a 的值为 5
【分析】首先解方程组求得 x、y 的值，然后代入方程中即可求出 a 的值．
【解答】解： ，
①代入②，得：2（y+5）﹣y＝5，解得 y＝﹣5，
将 y＝﹣5 代入①得，x＝0；
故 x+y＝﹣5，代入方程 x+y+a＝0 中，得：
﹣5+a＝0，即 a＝5．
故 a 的值为 5．
【点评】此题主要考查的是二元一次方程组的解法以及方程解的定义．
17．若方程组 中 x 和 y 值相等，则 k＝ 1 ．
【分析】x 和 y 值相等，则 x＝y，代入 2x+3y＝5 得，x＝1，y＝1．代入方程组中第一个方
程得：k＝1
【解答】解：∵x＝y
把 x＝y 代入 2x+3y＝5 得：x＝1，y＝1
再把 x＝1，y＝1 代入 4x﹣3y＝k 中得：k＝1．
【点评】当给出的未知数较多时，应选择只含有 2 个相同未知数的 2 个方程组成方程组先求解．
18 ． 方 程 组 经 “ 消 元 ” 后 可 得 到 一 个 关 于 x 、 y 的 二 元 一 次 方 程 组 为
． ．
【分析】先把第 1 个方程和第 3 个方程相加消去z，然后把所得的新方程和第 2 个方程组成
方程组即可．
【解答】解： ，
①+③得 x+3y＝6④，
由②④组成方程组得 ．
故答案为 ．
【点评】本题考查了解三元一次方程组：利用加减消元法或代入消元法把解三元一次方程组
的问题转化为解二元一次方程组的问题．
三．解答题（共 2 小题）
19．若方程组 的解 x、y 的和为﹣5，求 k 的值，并解此方程组．
【分析】解关于x、y 的方程组，x，y 即可用 k 表示出来，再根据 x、y 的和为﹣5，即可得
到关于 k 的方程，从而求得 k 的值．
【解答】解：
②×2﹣①，得 7x+6y＝6，③
又由题意，得 x+y＝﹣5，④
联立③④，得方程组 解得
代入①，得 k＝13．
【点评】本题主要考查了方程组解的定义，方程组的解就是能够使方程组中的方程同时成立
的未知数的解．
20．二元一次方程组 的解 x，y 的值相等，求 k．
【分析】由于x＝y，故把 x＝y 代入第一个方程中，求得 x 的值，再代入第二个方程即可求得 k 的值．
【解答】解：由题意可知 x＝y，
∴4x+3y＝7 可化为 4x+3x＝7，
∴x＝1，y＝1．
将 x＝1，y＝1 代入 kx+（k﹣1）y＝3 中得：
k+k﹣1＝3，
∴k＝2
【点评】由两个未知数的特殊关系，可将一个未知数用含另一个未知数的代数式代替，化
“二元”为“一元”，从而求得两未知数的值．
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