9.3 多项式乘多项式
一．选择题（共 5 小题）
1．若（x+2）（x﹣1）＝x2+mx+n，则 m+n＝（ ）
A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．2
2．若 2x3﹣ax2﹣5x+5＝（2x2+ax﹣1）（x﹣b）+3，其中 a、b 为整数，则 a+b 之值为何？
（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．4
3．设 M＝（x﹣3）（x﹣7），N＝（x﹣2）（x﹣8），则 M 与 N 的关系为（ ）
A．M＜N B．M＞N C．M＝N D．不能确定
4．如图，正方形卡片 A 类、B 类和长方形卡片 C 类各若干张，如果要拼一个长为（a+3b），
宽为（2a+b）的大长方形，则需要 A 类、B 类和 C 类卡片的张数分别为（ ）
A．2，3，7 B．3，7，2 C．2，5，3 D．2，5，7
5．已知（x﹣m）（x+n）＝x2﹣3x﹣4，则 m﹣n 的值为（ ）
A．1 B．﹣3 C．﹣2 D．3
二．填空题（共 3 小题）
6．如图，正方形卡片 A 类，B 类和长方形卡片 C 类若干张，如果要拼一个长为（a+2b），宽
为（a+b）的大长方形，则需要 C 类卡片 张．
7．有若干张如图所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为（2a+b），宽为（a+b）的
长方形，则需要 A 类卡片 张，B 类卡片 张，C 类卡片 张．
8．有足够多的长方形和正方形的卡片，如图．如果选取 1 号、2 号、3 号卡片分别为 1 张、2 张、3 张，可拼成一个长方形（不重叠无缝
隙）．
（1）请画出如图这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代
数意义．这个长方形的代数意义是 ．
（2）小明想用类似的方法拼成了一个边长为 a+3b 和 2a+b 的矩形框来解释某一个乘法公式，
那么小明需用 2 号卡片 张，3 号卡片 张．
三．解答题（共 10 小题）
9．若（x2+px﹣ ）（x2﹣3x+q）的积中不含 x 项与 x3 项，
（1）求 p、q 的值；
（2）求代数式（﹣2p2q）2+（3pq）﹣1+p2012q2014 的值．
10．已知代数式（mx2+2mx﹣1）（xm+3nx+2）化简以后是一个四次多项式，并且不含二次项，
请分别求出 m，n 的值，并求出一次项系数．
11．观察下列各式
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
…
①根据以上规律，则（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝ ．
②你能否由此归纳出一般性规律：（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）＝ ．
③根据②求出：1+2+22+…+234+235 的结果．
12．你能化简（x﹣1）（x99+x98+…+…+x+1）吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简
单的情形入手．然后归纳出一些方法．
（1）分别化简下列各式：
（x﹣1）（x+1）＝ ；
（x﹣1）（x2+x+1）＝ ；（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝ ；
…
（x﹣1）（x99+x98+…+x+1）＝ ．
（2）请你利用上面的结论计算：
299+298+…+2+1．
13．计算：
（1）（3x+2）（2x﹣1）；
（2）（2x﹣8y）（x﹣3y）；
（3）（2m﹣n）（3m﹣4n）；
（4）（2x2﹣1）（2x﹣3）；
（5）（2a﹣3）2；
（6）（3x﹣2）（3x+2）﹣6（x2+x﹣1）．
14．已知多项式 x2+ax+1 与 2x+b 的乘积中含 x2 的项的系数为 3，含 x 项的系数为 2，求 a+b
的值．
15．甲乙两人共同计算一道整式乘法：（2x+a）（3x+b），由于甲抄错了第一个多项式中 a 的
符号，得到的结果为 6x2+11x﹣10；由于乙漏抄了第二个多项式中的 x 的系数，得到的结
果为 2x2﹣9x+10．请你计算出 a、b 的值各是多少，并写出这道整式乘法的正确结果．
16．先阅读后作答：根据几何图形的面积关系可以说明整式的乘法．例如：（2a+b）（a 十
b）＝2a2+3ab+b2，就可以用图①的面积关系来说明．
（1）根据图②写出一个等式：
（2）（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，请你画出一个相应的几何图形加以说明．
17．如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴
影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？并求出当 a＝3，b
＝2 时的绿化面积．18．如图①，在边长为 3a+2b 的大正方形纸片中，剪掉边长 2a+b 的小正方形，得到图②，
把图②阴影部分剪下，按照图③拼成一个长方形纸片．
（1）求出拼成的长方形纸片的长和宽；
（2）把这个拼成的长方形纸片的面积加上 10a+6b 后，就和另一个长方形的面积相等．已知
另一长方形的长为 5a+3b，求它的宽．参考答案与试题解析
一．选择题（共 5 小题）
1．若（x+2）（x﹣1）＝x2+mx+n，则 m+n＝（ ）
A．1 B．﹣2 C．﹣1 D．2
【分析】依据多项式乘以多项式的法则进行计算，然后对照各项的系数即可求出m，n 的值，
再相加即可求解．
【解答】解：∵原式＝x2+x﹣2＝x2+mx+n，
∴m＝1，n＝﹣2．
∴m+n＝1﹣2＝﹣1．
故选：C．
【点评】本题考查了多项式的乘法，熟练掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键．
2．若 2x3﹣ax2﹣5x+5＝（2x2+ax﹣1）（x﹣b）+3，其中 a、b 为整数，则 a+b 之值为何？
（ ）
A．﹣4 B．﹣2 C．0 D．4
【分析】先把等式右边整理，在根据对应相等得出 a，b 的值，代入即可．
【解答】解：∵2x3﹣ax2﹣5x+5＝（2x2+ax﹣1）（x﹣b）+3，
∴2x3﹣ax2﹣5x+5＝2x3+（a﹣2b）x2﹣（ab+1）x+b+3，
∴﹣a＝a﹣2b，ab+1＝5，b+3＝5，
解得 b＝2，a＝2，
∴a+b＝2+2＝4．
故选：D．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式，让第一个多项式的每一项乘以第二个多项式的每一
项，再把所得的积相加．
3．设 M＝（x﹣3）（x﹣7），N＝（x﹣2）（x﹣8），则 M 与 N 的关系为（ ）
A．M＜N B．M＞N C．M＝N D．不能确定
【分析】根据多项式乘多项式的运算法则进行计算，比较即可得到答案．
【解答】解：M＝（x﹣3）（x﹣7）＝x2﹣10x+21，
N＝（x﹣2）（x﹣8）＝x2﹣10x+16，
M﹣N＝（x2﹣10x+21）﹣（x2﹣10x+16）＝5，则 M＞N．
故选：B．
【点评】本题考查的是多项式乘多项式，掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键．
4．如图，正方形卡片 A 类、B 类和长方形卡片 C 类各若干张，如果要拼一个长为（a+3b），
宽为（2a+b）的大长方形，则需要 A 类、B 类和 C 类卡片的张数分别为（ ）
A．2，3，7 B．3，7，2 C．2，5，3 D．2，5，7
【分析】根据长方形的面积＝长×宽，求出长为a+3b，宽为 2a+b 的大长方形的面积是多少，
判断出需要 A 类、B 类、C 类卡片各多少张即可．
【解答】解：长为 a+3b，宽为 2a+b 的长方形的面积为：
（a+3b）（2a+b）＝2a2+7ab+3b2，
∵A 类卡片的面积为 a2，B 类卡片的面积为 b2，C 类卡片的面积为 ab，
∴需要 A 类卡片 2 张，B 类卡片 3 张，C 类卡片 7 张．
故选：A．
【点评】此题主要考查了多项式乘多项式的运算方法，熟练掌握运算法则是解题的关键．
5．已知（x﹣m）（x+n）＝x2﹣3x﹣4，则 m﹣n 的值为（ ）
A．1 B．﹣3 C．﹣2 D．3
【分析】把原式的左边利用多项式乘多项式展开，合并后与右边对照 即可得到 m﹣n 的
值．
【解答】解：（x﹣m）（x+n）＝x2+nx﹣mx﹣mn＝x2+（n﹣m）x﹣mn，
∵（x﹣m）（x+n）＝x2﹣3x﹣4，
∴n﹣m＝﹣3，
则 m﹣n＝3，
故选：D．
【点评】此题考查了多项式乘多项式，熟练掌握法则是解本题的关键．
二．填空题（共 3 小题）
6．如图，正方形卡片 A 类，B 类和长方形卡片 C 类若干张，如果要拼一个长为（a+2b），宽
为（a+b）的大长方形，则需要 C 类卡片 3 张．【分析】拼成的大长方形的面积是（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2，即需要一个边长为 a 的正
方形，2 个边长为 b 的正方形和 3 个 C 类卡片的面积是 3ab．
【解答】解：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．
则需要 C 类卡片 3 张．
故答案为：3．
【点评】本题考查了多项式乘多项式的运算，需要熟练掌握运算法则并灵活运用，利用各个
面积之和等于总的面积也比较关键．
7．有若干张如图所示的正方形和长方形卡片，如果要拼一个长为（2a+b），宽为（a+b）的
长方形，则需要 A 类卡片 2 张，B 类卡片 1 张，C 类卡片 3 张．
【分析】首先分别计算大矩形和三类卡片的面积，再进一步根据大矩形的面积应等于三类卡
片的面积和进行分析所需三类卡片的数量．
【解答】解：长为 2a+b，宽为 a+b 的矩形面积为（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2，
A 图形面积为 a2，B 图形面积为 b2，C 图形面积为 ab，
则可知需要 A 类卡片 2 张，B 类卡片 1 张，C 类卡片 3 张．
故答案为：2；1；3．
【点评】此题考查的内容是整式的运算与几何的综合题，方法较新颖．注意对此类问题的深
入理解．
8．有足够多的长方形和正方形的卡片，如图．
如果选取 1 号、2 号、3 号卡片分别为 1 张、2 张、3 张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．
（1）请画出如图这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代
数意义．这个长方形的代数意义是 a2+3ab+2b2＝（a+b）（a+2b） ．
（2）小明想用类似的方法拼成了一个边长为 a+3b 和 2a+b 的矩形框来解释某一个乘法公式，
那么小明需用 2 号卡片 3 张，3 号卡片 7 张．
【分析】（1）画出相关草图，表示出拼合前后的面积即可；
（2）得到所给矩形的面积，看有几个 b2，几个 ab 即可．
【解答】解：（1）如图所示：
故答案为：a2+3ab+2b2＝（a+b）（a+2b）；
（2）（a+3b）（2a+b）＝2a2+ab+6ab+3b2＝2a2+7ab+3b2，
需用 2 号卡片 3 张，3 号卡片 7 张．
故答案为：a2+3ab+2b2＝（a+b）（a+2b）；3；7．
【点评】考查多项式与多项式相乘问题；根据面积的不同表示方法得到相应的等式是解决本
题的关键．
三．解答题（共 10 小题）
9．若（x2+px﹣ ）（x2﹣3x+q）的积中不含 x 项与 x3 项，
（1）求 p、q 的值；
（2）求代数式（﹣2p2q）2+（3pq）﹣1+p2012q2014 的值．
【分析】（1）形开式子，找出x 项与 x3 令其系数等于 0 求解．
（2）把 p，q 的值入求解．
【解答】解：（1）（x2+px﹣ ）（x2﹣3x+q）＝x4+（p﹣3）x3+（q﹣3p﹣ ）x2+（qp+1）
x+q，
∵积中不含 x 项与 x3 项，
∴P﹣3＝0，qp+1＝0∴p＝3，q＝﹣ ，
（2）（﹣2p2q）2+（3pq）﹣1+p2012q2014
＝[﹣2×32×（﹣ ）]2+ + ×（﹣ ）2
＝36﹣ +
＝35 ．
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键是正确求出 p，q 的值
10．已知代数式（mx2+2mx﹣1）（xm+3nx+2）化简以后是一个四次多项式，并且不含二次项，
请分别求出 m，n 的值，并求出一次项系数．
【分析】先把代数式按照多项式乘以多项式展开，因为化简后是一个四次多项式，所以x 的
最高指数 m+2＝4；不含二次项，即二次项的系数为 0，即可解答．
【解答】解：（mx2+2mx﹣1）（xm+3nx+2）＝mxm+2+3mnx3+2mx2+2mxm+1+6mnx2+4mx﹣xm﹣3nx﹣
2，
因为该多项式是四次多项式，
所以 m+2＝4，
解得：m＝2，
原式＝2x4+（6n+4）x3+（3+12n）x2+（8﹣3n）x﹣2
∵多项式不含二次项
∴3+12n＝0，
解得：n＝ ，
所以一次项系数 8﹣3n＝8.75．
【点评】本题考查了多项式乘以多项式，解决本题的关键是明确化简后是一个四次多项式，
所以 x 的最高指数 m+2＝4；不含二次项，即二次项的系数为 0，即可解答．
11．观察下列各式
（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1
…
①根据以上规律，则（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝ x7﹣1 ．②你能否由此归纳出一般性规律：（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）＝ xn+1﹣1 ．
③根据②求出：1+2+22+…+234+235 的结果．
【分析】①观察已知各式，得到一般性规律，化简原式即可；
②原式利用得出的规律化简即可得到结果；
③原式变形后，利用得出的规律化简即可得到结果．
【解答】解：①根据题意得：（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）＝x7﹣1；
②根据题意得：（x﹣1）（xn+xn﹣1+…+x+1）＝xn+1﹣1；
③原式＝（2﹣1）（1+2+22+…+234+235）＝236﹣1．
故答案为：①x7﹣1；②xn+1﹣1；③236﹣1
【点评】此题考查了多项式乘以多项式，弄清题中的规律是解本题的关键．
12．你能化简（x﹣1）（x99+x98+…+…+x+1）吗？遇到这样的复杂问题时，我们可以先从简
单的情形入手．然后归纳出一些方法．
（1）分别化简下列各式：
（x﹣1）（x+1）＝ x2﹣1 ；
（x﹣1）（x2+x+1）＝ x3﹣1 ；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝ x4﹣1 ；
…
（x﹣1）（x99+x98+…+x+1）＝ x100﹣1 ．
（2）请你利用上面的结论计算：
299+298+…+2+1．
【分析】（1）归纳总结得到规律，写出结果即可；
（2）原式变形后，利用得出的规律计算即可得到结果．
【解答】解：（1）（x﹣1）（x+1）＝x2﹣1；
（x﹣1）（x2+x+1）＝x3﹣1；
（x﹣1）（x3+x2+x+1）＝x4﹣1；
…
（x﹣1）（x99+x98+…+x+1）＝x100﹣1；
（2）299+298+…+2+1＝（2﹣1）×（299+298+…+2+1）＝2100﹣1．
故答案为：（1）x2﹣1；x3﹣1；x4﹣1；x100﹣1
【点评】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．13．计算：
（1）（3x+2）（2x﹣1）；
（2）（2x﹣8y）（x﹣3y）；
（3）（2m﹣n）（3m﹣4n）；
（4）（2x2﹣1）（2x﹣3）；
（5）（2a﹣3）2；
（6）（3x﹣2）（3x+2）﹣6（x2+x﹣1）．
【分析】根据多项式乘多项式的法则，用第一个多项式的每一项成第二个多项式的每一项，
把所得的积相加，可得（1）﹣﹣（4）的答案，根据乘法公式，可得（5）、（6）的答
案．
【解答】解（1）原式＝3x•2x﹣3x+2×2x﹣2＝6x2+x﹣2；
（2）原式＝2x•x﹣2x•3y﹣8y•x+8y•3y＝2x2﹣14xy+24y2；
（3）原式＝2m•3m﹣2m•4n﹣3m•n+n•4n＝6m2﹣11mn+4n2；
（4）原式＝2x2•2x+2x2×（﹣3）﹣2x+3＝4x3﹣6x2﹣2x+3；
（5）原式＝（2a）2﹣2•2a•3+32＝4a2﹣12a+9；
（6）原式＝（3x）2﹣4﹣6x2﹣6x+6＝3x2﹣6x+2．
【点评】本题考查了多项式乘多项式，根据法则计算是解题关键．
14．已知多项式 x2+ax+1 与 2x+b 的乘积中含 x2 的项的系数为 3，含 x 项的系数为 2，求 a+b
的值．
【分析】原式利用多项式乘以多项式法则计算，合并后根据题意求出a 与 b 的值，即可求出
a+b 的值．
【解答】解：根据题意得：（x2+ax+1）（2x+b）＝2x3+（b+2a）x2+（ab+2）x+b，
∵乘积中含 x2 的项的系数为 3，含 x 项的系数为 2，
∴b+2a＝3，ab+2＝2，
解得：a＝ ，b＝0；a＝0，b＝3，
则 a+b＝ 或 3．
【点评】此题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
15．甲乙两人共同计算一道整式乘法：（2x+a）（3x+b），由于甲抄错了第一个多项式中 a 的
符号，得到的结果为 6x2+11x﹣10；由于乙漏抄了第二个多项式中的 x 的系数，得到的结果为 2x2﹣9x+10．请你计算出 a、b 的值各是多少，并写出这道整式乘法的正确结果．
【分析】先按乙错误的说法得出的系数的数值求出a，b 的值，再把 a，b 的值代入原式求出
整式乘法的正确结果．
【解答】解：∵甲得到的算式：（2x﹣a）（3x+b）＝6x2+（2b﹣3a）x﹣ab＝6x2+11x﹣10
对应的系数相等，2b﹣3a＝11，ab＝10，
乙得到的算式：（2x+a）（x+b）＝2x2+（2b+a）x+ab＝2x2﹣9x+10
对应的系数相等，2b+a＝﹣9，ab＝10，
∴ ，
解得： ．
∴正确的式子：（2x﹣5）（3x﹣2）＝6x2﹣19x+10．
【点评】此题考查了多项式乘多项式；解题的关键是根据多项式乘多项式的运算法则分别进
行计算，是常考题型，解题时要细心．
16．先阅读后作答：根据几何图形的面积关系可以说明整式的乘法．例如：（2a+b）（a 十
b）＝2a2+3ab+b2，就可以用图①的面积关系来说明．
（1）根据图②写出一个等式：
（2）（x+p）（x+q）＝x2+（p+q）x+pq，请你画出一个相应的几何图形加以说明．
【分析】（1）利用长方形的面积公式即可证明．
（2）画一个长为 x+p，宽为 x+q 的长方形即可．
【解答】解：①（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2；
②画出的图形如下：（答案不唯一，只要画图正确即得分）
【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，应从整体和部分两方面来理解完全平方公式的几
何意义；主要围绕图形面积展开分析．
17．如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴
影部分进行绿化，中间将修建一座雕像，则绿化的面积是多少平方米？并求出当 a＝3，b
＝2 时的绿化面积．
【分析】根据多项式乘多项式的法则求出阴影部分的面积，代入计算即可．
【解答】解：阴影部分的面积＝（3a+b）（2a+b）﹣（a+b）2
＝6a2+5ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2
＝5a2+3ab，
当 a＝3，b＝2 时，原式＝5×32+3×3×2＝63（平方米）．
【点评】本题考查的是多项式乘多项式，多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，
先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．
18．如图①，在边长为 3a+2b 的大正方形纸片中，剪掉边长 2a+b 的小正方形，得到图②，
把图②阴影部分剪下，按照图③拼成一个长方形纸片．
（1）求出拼成的长方形纸片的长和宽；
（2）把这个拼成的长方形纸片的面积加上 10a+6b 后，就和另一个长方形的面积相等．已知
另一长方形的长为 5a+3b，求它的宽．
【分析】（1）根据图①表示出拼成长方形的长与宽；
（2）根据题意列出关系式，去括号合并即可得到结果．【解答】解：（1）长方形的长为：3a+2b+2a+b＝5a+3b．
长方形的宽为：（3a+2b）﹣（2a+b）＝3a+2b﹣2a﹣b＝a+b．
（2）另一个长方形的宽：[（5a+3b）（a+b）+10a+6b]÷（5a+3b）＝a+b+2．
【点评】此题考查了整式的混合运算，弄清题意是解本题的关键．
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