12.2 证明
一．选择题（共 9 小题）
1．甲、乙、丙、丁 4 人进行乒乓球单循环比赛（每两个人都要比赛一场），结果甲胜了丁，
并且甲、乙、丙胜的场数相同，则丁胜的场数是
A．3 B．2 C．1 D．0
2．某届世界杯的小组比赛规则：四个球队进行单循环比赛（每两队赛一场），胜一场得 3 分，
平一场得 1 分，负一场得 0 分，某小组比赛结束后，甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、
二、三、四名，各队的总得分恰好是四个连续奇数，则与乙打平的球队是
A．甲 B．甲与丁 C．丙 D．丙与丁
3．（思维拓展）如图所示，①代表 0，②代表 9，③代表 6，则④代表
A．1 B．3 C．5 D．7
4．一排有 10 个座位，其中某些座位已有人，若再来 1 人，他无论坐在何处，都与 1 人相邻，
则原来最少就座的人有
A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个
5．一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且只有标号为①和②的两个小矩形为正方形，
在满足条件的所有分割中．若知道九个小矩形中 个小矩形的周长，就一定能算出这个
大矩形的面积，则 的最小值是
A．3 B．4 C．5 D．6
6．某旅行团在一城市游览，有甲、乙、丙、丁四个景点，导游说：“①要游览甲，就得去
乙；②乙、丙只能去一个；③丙、丁要么都去，要么都不去；”根据导游的说法，在下
列选项中，该旅行团可能游览的景点是
( )
( )
( )
( )
n
n ( )
( )A．甲、丙 B．甲、丁 C．乙、丁 D．丙、丁
7．小明、小林和小颖共解出 100 道数学题，每人都解出了其中的 60 道，如果将其中只有 1
人解出的题叫做难题，2 人解出的题叫做中档题，3 人都解出的题叫做容易题，那么难题
比容易题多多少道
A．15 B．20 C．25 D．30
8．甲，乙，丙，丁，戊与小强六位同学参加乒乓球比赛，每两人都要比赛一场，到现在为
止，甲已经赛了 5 场，乙已经赛了 4 场，丙已经赛了 3 场，丁已经赛了 2 场，戊已经赛
了 1 场，小强已经赛了
A．1 场 B．2 场 C．3 场 D．4 场
9．某班有 20 位同学参加围棋、象棋比赛，甲说：“只参加一项的人数大于 14 人．”乙说：
“两项都参加的人数小于 5．”对于甲、乙两人的说法，有下列四个命题，其中真命题的
是
A．若甲对，则乙对 B．若乙对，则甲对
C．若乙错，则甲错 D．若甲错，则乙对
二．填空题（共 3 小题）
10．某气象台发现：在某段时间里，如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么
早晨是晴天．已知这段时间有 9 天下了雨，并且有 6 天晚上是晴天，7 天早晨是晴天，则
这一段时间有 天．
11．字母 ， ， ， 各代表正方形、线段、正三角形、圆四个图形中的一种，将它们两
两组合，并用字母连接表示，如表是三种组合与连接的对应表，由此可推断图形 的
连接方式为 ．
12． 、 、 、 、 、 六足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出 、
、 、 、 、五队已分别比赛了 5、4、3、2、1 场球，则还没与 队比赛的球队
是 ．
三．解答题（共 5 小题）
( )
( )
( )
a b c d
A B C D E F A
B C D E B13． ， ， ， 四支足球队分在同一小组进行单循环足球比赛，争夺出线权，比赛规
则规定：胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分，小组中积分最高的两个队（有
且只有两个队）出线，小组赛结束后，如果 队没有全胜，那么 队的积分至少要几分
才能保证一定出线？请说明理由．
注：单循环比赛就是小组内的每一个队都要和其他队赛一场 ．
14．大冠买了一包宣纸练习书法，每星期一写 1 张，每星期二写 2 张，每星期三写 3 张，每
星期四写 4 张，每星期五写 5 张，每星期六写 6 张，每星期日写 7 张．若大冠从某年的 5
月 1 日开始练习，到 5 月 30 日练习完后累积写完的宣纸总数已超过 120 张，则 5 月 30
日可能为星期几？请求出所有可能的答案并完整说明理由．
15．某足球协会举办了一次足球联赛，其积分规则为：胜 ，平 ，负 ，当全部比赛
结束（每队平均比赛 12 场）时， 队共积 19 分，请通过计算，判断 队胜、平、负各
几场．
16．在学习中，小明发现：当 ，2，3 时， 的值都是负数．于是小明猜想：当
为任意正整数时， 的值都是负数．小明的猜想正确吗？请简要说明你的理由．
17．阅读以下材料， 并解答以下问题 ．
“完成一件事有两类不同的方案， 在第一类方案中有 种不同的方法， 在第二类方案中
有 种不同的方法 ． 那么完成这件事共有 种不同的方法， 这是分类加法计
数原理；完成一件事需要两个步骤， 做第一步有 种不同的方法， 做第二步有 种不同
的方法 ． 那么完成这件事共有 种不同的方法， 这就是分步乘法计数原理 ． ”
如完成沿图 1 所示的街道从 点出发向 点行进这件事 （规 定必须向北走， 或向东走）
，会有多种不同的走法， 其中从 点出发到某些交叉点的走法数已在图 2 填出 ．
（1） 根据以上原理和图 2 的提示， 算出从 出发到达其余交叉点的走法数， 将数字填入
图 2 的空圆中， 并回答从 点出发到 点的走法共有多少种？
（2） 运用适当的原理和方法算出从 点出发到达 点， 并禁止通过交叉点 的走法有多
少种？
（3） 现由于交叉点 道路施工， 禁止通行 ． 求如任选一种走法， 从 点出发能顺利开车
到达 点 （无 返回） 概率是多少？
A B C D
A A
[ ]
3− 1− 0−
A A
1n = 2 6n n− n
2 6n n−
m
n N m n= +
m n
N m n= ×
A B
A
A
A B
A B C
C A
B参考答案与试题解析
一．选择题（共 9 小题）
1．甲、乙、丙、丁 4 人进行乒乓球单循环比赛（每两个人都要比赛一场），结果甲胜了丁，
并且甲、乙、丙胜的场数相同，则丁胜的场数是
A．3 B．2 C．1 D．0
【分析】四个人共有 6 场比赛，由于甲、乙、丙三人胜的场数相同，所以只有两种可能性：
甲胜 1 场或甲胜 2 场；由此进行分析即可．
【解答】解：四个人共有 6 场比赛，由于甲、乙、丙三人胜的场数相同，
所以只有两种可能性：甲胜 1 场或甲胜 2 场；
若甲只胜一场，这时乙、丙各胜一场，说明丁胜三场，这与甲胜丁矛盾，
所以甲只能是胜两场，
即：甲、乙、丙各胜 2 场，此时丁三场全败，也就是胜 0 场．
答：甲、乙、丙各胜 2 场，此时丁三场全败，丁胜 0 场．
故选： ．
【点评】此题是推理论证题目，解答此题的关键是先根据题意，通过分析，进而得出两种可
能性，继而分析即可．
2．某届世界杯的小组比赛规则：四个球队进行单循环比赛（每两队赛一场），胜一场得 3 分，
平一场得 1 分，负一场得 0 分，某小组比赛结束后，甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、
二、三、四名，各队的总得分恰好是四个连续奇数，则与乙打平的球队是
A．甲 B．甲与丁 C．丙 D．丙与丁
【分析】直接利用已知得出甲得分为 7 分，2 胜 1 平，乙得分 5 分，1 胜 2 平，丙得分 3 分，1
胜 0 平，丁得分 1 分，0 胜 1 平，进而得出答案．
【解答】解： 甲、乙、丙、丁四队分别获得第一、二、三、四名，各队的总得分恰好是四
个连续奇数，
甲得分为 7 分，2 胜 1 平，乙得分 5 分，1 胜 2 平，丙得分 3 分，1 胜 0 平，丁得分 1 分，0
胜 1 平，
甲、乙都没有输球， 甲一定与乙平，
丙得分 3 分，1 胜 0 平，乙得分 5 分，1 胜 2 平，
与乙打平的球队是甲与丁．
( )
D
( )
∴
∴
∴故选： ．
【点评】此题主要考查了推理与论证，正确分析得出每队胜负场次是解题关键．
3．（思维拓展）如图所示，①代表 0，②代表 9，③代表 6，则④代表
A．1 B．3 C．5 D．7
【分析】根据图形得出图①可以代表 0 点，图②可以代表 9 点，图③可以代表 6 点，进而得
出答案．
【解答】解： 如图所示，①代表 0，②代表 9，③代表 6，
，
图①可以代表 0 点，图②可以代表 9 点，图③可以代表 6 点，
则④代表 3 点．
故选： ．
【点评】此题主要考查了推理与论证，利用已知图形得出各点所代表的数结合钟表数字得出
是解题关键．
4．一排有 10 个座位，其中某些座位已有人，若再来 1 人，他无论坐在何处，都与 1 人相邻，
则原来最少就座的人有
A．3 个 B．4 个 C．5 个 D．6 个
【分析】先根据所给的条件再来 1 人，他无论坐在何处，分别进行判断，即可求出答案．
【解答】解： 一排有 10 个座位，若再来 1 人，他无论坐在何处，都与 1 人相邻，
第一个座位可以没人坐，第二个必须有人坐，第三个、第四个可以无人坐，
第五个座位必须有人坐，第六个、第七个可以无人坐，
第八个座位必须有人坐，第九个可以无人坐，
第十个座位必须有人坐，
原来最少就座的人有 4 人，
或：第一、四、七、十个座位必须有人坐，
剩下的可以无人坐，共有 4 人．
B
( )
∴
∴
B
( )
∴
∴故选： ．
【点评】此题考查了推理与论证；解题的关键是读懂题意，能够根据叙述进行分析求出答
案．
5．一个大矩形按如图方式分割成九个小矩形，且只有标号为①和②的两个小矩形为正方形，
在满足条件的所有分割中．若知道九个小矩形中 个小矩形的周长，就一定能算出这个
大矩形的面积，则 的最小值是
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】根据题意结合正方形的性质得出只有表示出矩形的各边长才可以求出面积，进而得
出符合题意的答案．
【解答】解：如图所示：设①的周长为： ，③的周长为 ，④的周长为 ，即可得出①
的边长以及③和④的邻边和，
设②的周长为： ，则②的边长为 ，可得③和④中都有一条边为 ，
则③和④的另一条边长分别为： ， ，
故大矩形的边长分别为： ， ，
故大矩形的面积为： ，其中 ， ， 都为已知数，
故 的最小值是 3．
故选： ．
【点评】此题主要考查了推理与论证，正确结合正方形面积表示出矩形各边长是解题关
键．
6．某旅行团在一城市游览，有甲、乙、丙、丁四个景点，导游说：“①要游览甲，就得去
乙；②乙、丙只能去一个；③丙、丁要么都去，要么都不去；”根据导游的说法，在下
B
n
n ( )
4x 2y 2b
4a a a
y a− b a−
b a x a b x− + + = + y a x a y x− + + = +
( )( )b x y x+ + b x y
n
A列选项中，该旅行团可能游览的景点是
A．甲、丙 B．甲、丁 C．乙、丁 D．丙、丁
【分析】根据导游说的分两种情况进行分析：①假设要去甲；②假设去丙；然后分析可得答
案．
【解答】解：导游说：“①要游览甲，就得去乙；②乙、丙只能去一个，；③丙、丁要么都
去，要么都不去”，
①假设要去甲，就得去乙，就不能去丙，不去丙，就不能去丁，因此可以只去甲和乙；
②假设去丙，就得去丁，就不能去乙，不去乙也不能去甲，因此可以只去丙丁；
故选： ．
【点评】此题主要考查了推理与论证，关键是正确分情况，进行讨论．
7．小明、小林和小颖共解出 100 道数学题，每人都解出了其中的 60 道，如果将其中只有 1
人解出的题叫做难题，2 人解出的题叫做中档题，3 人都解出的题叫做容易题，那么难题
比容易题多多少道
A．15 B．20 C．25 D．30
【分析】设容易题有 道，中档题有 道，难题有 道，然后根据题目数量和三人解答的题
目数量列出方程组，然后根据系数的特点整理即可得解．
【解答】解：设容易题有 道，中档题有 道，难题有 道，
由题意得， ，
① ②得， ，
所以，难题比容易题多 20 道．
故选： ．
【点评】此类题注意运用方程的知识进行求解，观察系数的特点巧妙求解更简便．
8．甲，乙，丙，丁，戊与小强六位同学参加乒乓球比赛，每两人都要比赛一场，到现在为
止，甲已经赛了 5 场，乙已经赛了 4 场，丙已经赛了 3 场，丁已经赛了 2 场，戊已经赛
了 1 场，小强已经赛了
A．1 场 B．2 场 C．3 场 D．4 场
【分析】根据甲参赛了 5 场，则甲和每人参赛了一场，所以根据戊已经赛了 1 场，戊只和甲
( )
D
( )
x y z
x y z
100
3 2 3 60
x y z
x y z
+ + =
+ + = ×
①
②
2× − 20z x− =
B
( )比赛了一场；再根据乙已经赛了 4 场，则乙和甲、丙、丁、小强各参赛了一场．根据丁
已经赛了 2 场，则丁只和甲、乙进行了比赛；再根据丙已经赛了 3 场，则丙和甲、乙、
小强各比赛了一场．所以小强比赛了 3 场．
【解答】解：由于每两人比赛一场，因此每个人最多比 5 场．
甲已经赛了 5 场，则说明甲和其他 5 人都比了一场；
由此可知：
甲与小强比了一场，戊只和甲赛了一场；
乙赛了 4 场，除去和甲赛的一场外，还和其他三人各赛一场，因此这三人必为：丙、丁和小
强；
丁赛了 2 场，由上面两个人的比赛情况可知：丁只与甲、乙进行了比赛；
丙赛了 3 场，除去和甲、丁的两场比赛，还剩下一场，而丁和戊都没有和丙比赛，因此丙剩
下的一场比赛必为和小强的比赛．
因此小强赛了三场，且对手为甲、乙、丙．
故选： ．
【点评】本题要首尾结合进行逐步推理．
9．某班有 20 位同学参加围棋、象棋比赛，甲说：“只参加一项的人数大于 14 人．”乙说：
“两项都参加的人数小于 5．”对于甲、乙两人的说法，有下列四个命题，其中真命题的
是
A．若甲对，则乙对 B．若乙对，则甲对
C．若乙错，则甲错 D．若甲错，则乙对
【分析】分别假设甲说的对和乙说的正确，进而得出答案．
【解答】解：若甲对，即只参加一项的人数大于 14 人，不妨假设只参加一项的人数是 15 人，
则两项都参加的人数为 5 人，故乙错．
若乙对，即两项都参加的人数小于 5 人，则两项都参加的人数至多为 4 人，
此时只参加一项的人数为 16 人，故甲对．
故选： ．
【点评】此题主要考查了推理与论证，关键是分两种情况分别进行分析．
二．填空题（共 3 小题）
10．某气象台发现：在某段时间里，如果早晨下雨，那么晚上是晴天；如果晚上下雨，那么
C
( )
B早晨是晴天．已知这段时间有 9 天下了雨，并且有 6 天晚上是晴天，7 天早晨是晴天，则
这一段时间有 11 天．
【分析】解法一：根据题意设有 天早晨下雨，这一段时间有 天；有 9 天下雨，即早上下
雨或晚上下雨都可称之为当天下雨，①总天数 早晨下雨 早晨晴天；②总天数 晚上
下雨 晚上晴天；列方程组解出即可．
解法二：列三元一次方程组，解出即可．
【解答】解：解法一：设有 天早晨下雨，这一段时间有 天，
根据题意得： ，
① ②得： ，
．
所以一共有 11 天；
解法二：设一共有 天，早晨下雨的有 天，晚上下雨的有 天，
根据题意得： ，
解得： ．
所以一共有 11 天．
故答案为：11．
【点评】此题考查了推理与论证，本题以天气为背景，考查了学生生活实际问题，恰当准确
设未知数是本题的关键；根据生活实际可知，早晨和晚上要么下雨，要么晴天；本题也
可以用算术方法求解： ．
11．字母 ， ， ， 各代表正方形、线段、正三角形、圆四个图形中的一种，将它们两
两组合，并用字母连接表示，如表是三种组合与连接的对应表，由此可推断图形 的
连接方式为 ．
x y
− = −
=
x y
( )
7
9 6
y x
y x
− = − − =
①
②
+ 2 22y =
11y =
x y z
9
6
7
y z
x z
x y
+ =
− =
− =
11
4
3
x
y
z
=
=
=
(9 6 7) 2 11+ + ÷ =
a b c d
a c⊕【分析】首先根据已知图形中两个图形中共同含有的图形，就可以判断每个符号所代表的图
形，即可得出结论．
【解答】解：结合前两个图可以看出： 代表正方形；
结合后两个图可以看出： 代表圆；
因此 代表线段， 代表三角形，
图形 的连接方式为
故答案为： ．
【点评】本题主要考查推理与论证，观察、分析识别图形的能力；解决此题的关键是通过观
察图形确定 ， ， ， 各代表什么图形．
12． 、 、 、 、 、 六足球队进行单循环比赛，当比赛到某一天时，统计出 、
、 、 、 、五队已分别比赛了 5、4、3、2、1 场球，则还没与 队比赛的球队是
．
【分析】由已知，通过 比了 5 场， 比了 1 场运用排除法得到没与 队比赛的球队．
【解答】解： 比了 5 场，
所以 与 比过，
又 只比了 1 场，
而 比了 4 场，
所以 与 没比过．
故答案为： ．
【点评】此题考查的知识点是推理与论证．此题解答的关键是由 比了 5 场一定与 比过，
而 只比了 1 场得到答案．
三．解答题（共 5 小题）
13． ， ， ， 四支足球队分在同一小组进行单循环足球比赛，争夺出线权，比赛规
则规定：胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分，小组中积分最高的两个队（有
且只有两个队）出线，小组赛结束后，如果 队没有全胜，那么 队的积分至少要几分
才能保证一定出线？请说明理由．
b
d
a c
∴ a c⊕
a c⊕
a b c d
A B C D E F A
B C D E B
E
A E B
A
A E
E
B
B E
E
A E
E
A B C D
A A注：单循环比赛就是小组内的每一个队都要和其他队赛一场 ．
【分析】根据题意每队都进行 3 场比赛，本组进行 6 场比赛，根据规则每场比赛，两队得分
的和是 3 分或 2 分，据此对 队的胜负情况进行讨论，从而确定．
【解答】解：至少要 7 分才能保证一定出线；
每队都进行 3 场比赛，本组进行 6 场比赛．
若 队两胜一平，则积 7 分．
因此其它队的积分不可能是 9 分，依据规则，不可能有球队积 8 分，
每场比赛，两队得分的和是 3 分或 2 分．
6 场比赛两队的得分之和最少是 12 分，最多是 18 分，
最多只有两个队得 7 分．
所以积 7 分保证一定出线．
若 队两胜一负，积 6 分．
如表格所示，根据规则，这种情况下， 队不一定出线．
同理，当 队积分是 5 分、4 分、3 分、2 分时不一定出线．
总之，至少 7 分才能保证一定出线．
【点评】本题考查了正确进行推理论证，在本题中正确确定 队可能的得分情况是关键．
14．大冠买了一包宣纸练习书法，每星期一写 1 张，每星期二写 2 张，每星期三写 3 张，每
星期四写 4 张，每星期五写 5 张，每星期六写 6 张，每星期日写 7 张．若大冠从某年的 5
月 1 日开始练习，到 5 月 30 日练习完后累积写完的宣纸总数已超过 120 张，则 5 月 30
日可能为星期几？请求出所有可能的答案并完整说明理由．
【分析】首先得出 5 月 1 日 月 30 日，包括四个完整的星期，分别分析 5 月 30 日当分别
为星期一到星期天时所有的可能，进而得出答案．
【解答】解： 月 1 日 月 30 日共 30 天，包括四个完整的星期，
月 1 日 月 28 日写的张数为： ，
若 5 月 30 日为星期一，所写张数为 ，
若 5 月 30 日为星期二，所写张数为 ，
[ ]
A
A
∴
A
A
A
A
~ 5
5 ~ 5
5∴ ~ 5 7 (1 7)4 1122
× +× =
112 7 1 120+ + =
112 1 2 120+ +
112 5 6 120+ + >
112 6 7 120+ + >
3− 1− 0−
A A
1n = 2 6n n− n
2 6n n−
2 6 ( 6)n n n n− = − 6n
7n = 2 6 7 0n n− = >
2 6 ( 6)n n n n− = − 6n
2 6 0n n−
m
n N m n= +数原理；完成一件事需要两个步骤， 做第一步有 种不同的方法， 做第二步有 种不同
的方法 ． 那么完成这件事共有 种不同的方法， 这就是分步乘法计数原理 ． ”如
完成沿图 1 所示的街道从 点出发向 点行进这件事 （规 定必须向北走， 或向东走）
，会有多种不同的走法， 其中从 点出发到某些交叉点的走法数已在图 2 填出 ．
（1） 根据以上原理和图 2 的提示， 算出从 出发到达其余交叉点的走法数， 将数字填入
图 2 的空圆中， 并回答从 点出发到 点的走法共有多少种？
（2） 运用适当的原理和方法算出从 点出发到达 点， 并禁止通过交叉点 的走法有多
少种？
（3） 现由于交叉点 道路施工， 禁止通行 ． 求如任选一种走法， 从 点出发能顺利开车
到达 点 （无 返回） 概率是多少？
【分析】（1） 根据完成一件事有两类不同的方案， 在第一类方案中有 种不同的方法，
在第二类方案中有 种不同的方法 ． 那么完成这件事共有 种不同的方法， 则
到达 点以外的任意交叉点的走法数只能是与其相邻的南边交叉点和西边交叉点的数字
之和 ． 从而计算出从 点到达其余各交叉点的走法数；
（2） 此题有两种计算方法： 方法一是先求从 点到 点， 并经过交叉点 的走法数， 再
用从 点到 点总走法数减去它；方法二是删除与 点紧相连的线段， 运用分类加法计
数原理， 算出从 点到 点并禁止通过交叉点 的走法；
（3） 结合 （1） 和 （2） 的结论， 即可求得概率 ．
【解答】解： （1） 完成从 点到 点必须向北走， 或向东走，
到达 点以外的任意交叉点的走法数只能是与其相邻的南边交叉点和西边交叉点的数字
之和，
m n
N m n= ×
A B
A
A
A B
A B C
C A
B
m
n N m n= +
A
A
A B C
A B C
A B C
A B
∴ A故使用分类加法计数原理， 由此算出从 点到达其余各交叉点的走法数， 填表如图 1 ．
答： 从 点到 点的走法共有 35 种 ．
（2） 方法一： 可先求从 点到 点， 并经过交叉点 的走法数， 再用从 点到 点总
走法数减去它， 即得从 点到 点， 但不经过交叉点 的走法数 ．
完成从 点出发经 点到 点这件事可分两步， 先从 点到 点， 再从 点到 点，
使用分类加法计数原理， 算出从 点到 点的走法是 3 种， 见图 2 ；算出从 点到
点的走法为 6 种， 见图 3 ，再运用分步乘法计数原理， 得到从 点经 点到 点的
走法有 种 ．
从 点到 点但不经过 点的走法数为 种 ．
方法二： 由于交叉点 道路施工， 禁止通行， 故视为相邻道路不通， 可删除与 点紧相
连的线段， 运用分类加法计数原理， 算出从 点到 点并禁止通过交叉点 的走法有
17 种 ． 从 点到各交叉点的走法数见图 4 ，
从 点到 点并禁止经过 点的走法数为 种 ．
（3） （顺 利开车到达 点） ．
答： 任选一种走法， 顺利开车到达 点的概率是 ．
【点评】能够根据题意中的方法进行计算， 掌握这两种不同的计算方法可以使此类题的计
算过程更简便 ．
A
A B
A B C A B
A B C
A C B A C C B
A C C B
A C B
3 6 18× =
∴ A B C 35 18 17− =
C C
A B C
A
∴ A B C 35 18 17− =
P B 17
35
=
B 17
35
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