10.5 用二元一次方程组解决问题
一．选择题（共 8 小题）
1．不考虑优惠，买 1 束玫瑰与 3 束百合共需 312 元，买 3 束玫瑰与 2 束百合共需 348 元，
则购 1 束玫瑰和 1 束百合共需（ ）
A．60 元 B．84 元 C．144 元 D．168 元
2．用白铁皮做罐头盒．每张铁皮可制盒身 16 个，或制盒底 48 个，一个盒身与两个盒底配
成一套罐头盒．现有 15 张白铁皮，用制盒身和盒底，可以刚好配多少套？（ ）
A．144 套 B．9 套 C．6 套 D．15 套
3．一个两位数的十位数字与个位数字的和是 7．如果把这个两位数加上 45，那么恰好成为
个位数字与十位数字对调后组成的二位数，则这个二位数是（ ）
A．36 B．25 C．61 D．16
4．修一条排水渠，甲队独做需 10 天，乙队独做需 15 天，现由两队合修，中途乙队被调走，
余下的任务由甲队单独做，又修了 5 天后完成．在这个过程中，甲、乙两队合修了（ ）
A．2 天 B．3 天 C．4 天 D．5 天
5．2018 年足球世界杯正在俄罗斯进行，这项起源于我国“蹴鞠”的运动项目近年来在我国
中小学校园得到大力推广，某次校园足球比赛规定：胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负
一场得 0 分，某足球队共进行了 8 场比赛，得了 12 分，该队获胜的场数不可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．如图，嘉淇同学拿 20 元钱正在和售货员对话，且一本笔记本比一支笔贵 3 元，请你仔细
看图，1 本笔记本和 1 支笔的单价分别为（ ）
A．5 元，2 元 B．2 元，5 元
C．4.5 元，1.5 元 D．5.5 元，2.5 元
7．开学后，书店向学校推销两种素质类教育书籍，若按原价买这两种书共需 880 元，书店
推销时第一种书打了八折，第二种书打了七五折，结果两种书共少用了 200 元，则原来
这两种书需要的钱数分别是（ ）A．400 元，480 元 B．480 元，400 元
C．320 元，360 元 D．360 元，320 元
8．童威购买 7 块橡皮、5 个作业本、1 支圆珠笔共花费 20 元；购买 10 块橡皮、7 个作业本、
1 支圆珠笔共花费 26 元；若购买 11 个橡皮、8 个作业本、2 支圆珠笔则要花费（ ）
元．
A．31 B．32 C．33 D．34
二．填空题（共 6 小题）
9．如图所示，8 个相同的长方形地砖拼成一个大长方形，则每块小长方形地砖的周长是 ．
10．某快递公司要在规定的时间内把邮件从甲地送往乙地，快递车若以 50 公里/小时的速度
行驶，会迟到 24 分钟；若以 75 公里/小时的速度行驶，可提前 24 分钟．则甲，乙两地
的距离为 ．
11．如图所示，已知前两架天平两端保持平衡．要使第三架天平两端保持平衡，则应在天平
的右托盘上放 个圆形物品．
12．一个两位数，个位数字比十位数字大 4，且个位数字与十位数字的和为 10，则这个两位
数为 ．
13．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明
文（解密）．安全员是数学爱好者，制定加密规则为：明文 x，y，z 对应密文 x+y+z，x﹣
y+z，x﹣y﹣z．例如：明文 1，2，3 对应密文 6，2，﹣4．当接收方收到密文 12，4，﹣
6 时，则解密得到的明文为 ．
14．明代数学读本《直接算法统宗》里有一道算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，
小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意即：100 个和尚分 100 个馒头，如果大和尚一人
分 3 个，小和尚 3 人分一个，正好分完．则大和尚有 人，小和尚有 人．
三．解答题（共 4 小题）15 ． 请 根 据 图 中 信 息 回 答 下 列 问 题 ：
（1）一个暖瓶与一个水杯分别是多少元？
（2）甲、乙两家商场同时出售同样的暖瓶和水杯，为了迎接新年，两家商场都在搞促销活
动，甲商场规定：这两种商品都打九折；乙商场规定：买一个暖瓶赠送一个水杯．若某
人想要买 4 个暖瓶和 15 个水杯，请问选择哪家商场购买更合算，并说明理由．
16．甲、乙两种商品原来的单价和为 100 元．因市场变化，甲商品降价 10%，乙商品提价
40%，调价后，两种商品的单价和比原来的单价和提高了 20%．问甲、乙两种商品原来的
单价各是多少元？
17．某服装店用 4400 元购进 A，B 两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润 2800 元（毛
利润＝售价﹣进价），这两种服装的进价，标价如表所示．
类型价格 A 型 B 型
进价（元/件） 60 100
标价（元/件） 100 160
（1）请利用二元一次方程组求这两种服装各购进的件数；
（2）如果 A 种服装按标价的 9 折出售，B 种服装按标价的 8 折出售，那么这批服装全部售
完后，服装店比按标价出售少收入多少元？
18．今年“五一节”前，某商场用 60 万元购进某种商品，该商品有甲、乙两种包装共 500
件，其中每件甲包装中有 75 个 A 种产品，每个 A 产品的成本为 12 元；每件乙包装中有 100
个 B 产品，每个 B 种产品的成本为 14 元．商场将 A 产品标价定为每个 18 元，B 产品标价
定为每个 20 元．
（1）甲、乙两种包装的产品各有多少件？
（2）“五一节”商场促销，将A 产品按原定标价打 9 折销售，B 种产品按原定标价打 8.5 折
销售，“五一节”期间该产品全部卖完，该商场销售该商品共获利多少元？参考答案与试题解析
一．选择题（共 8 小题）
1．不考虑优惠，买 1 束玫瑰与 3 束百合共需 312 元，买 3 束玫瑰与 2 束百合共需 348 元，
则购 1 束玫瑰和 1 束百合共需（ ）
A．60 元 B．84 元 C．144 元 D．168 元
【分析】设购买 1 束玫瑰需要x 元，购买 1 束百合需要 y 元，根据“买 1 束玫瑰与 3 束百合
共需 312 元，买 3 束玫瑰与 2 束百合共需 348 元”，即可得出关于x，y 的二元一次方程
组，解之即可得出 x，y 的值，再将其代入 x+y 中即可求出结论．
【解答】解：设购买 1 束玫瑰需要 x 元，购买 1 束百合需要 y 元，
根据题意得： ，
解得： ，
∴x+y＝60+84＝144．
故选：C．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解
题的关键．
2．用白铁皮做罐头盒．每张铁皮可制盒身 16 个，或制盒底 48 个，一个盒身与两个盒底配
成一套罐头盒．现有 15 张白铁皮，用制盒身和盒底，可以刚好配多少套？（ ）
A．144 套 B．9 套 C．6 套 D．15 套
【分析】设用制盒身的铁皮为 x 张，用制盒底的铁皮为 y 张，根据铁皮共 15 张且制作的盒
底的数量为盒身数量的 2 倍，即可得出关于 x，y 的二元一次方程组，解之即可得出 x 的
值，再将其代入 16x 中即可求出结论．
【解答】解：设用制盒身的铁皮为 x 张，用制盒底的铁皮为 y 张，
根据题意得： ，
解得： ，
∴16x＝16×9＝144．
故选：A．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．
3．一个两位数的十位数字与个位数字的和是 7．如果把这个两位数加上 45，那么恰好成为
个位数字与十位数字对调后组成的二位数，则这个二位数是（ ）
A．36 B．25 C．61 D．16
【分析】首先设个位数字为 x，十位数字为 y，由题意得等量关系：①十位数字与个位数字
的和是 7；②原两位数+45＝对调后组成的二位数，根据等量关系列出方程再解即可．
【解答】解：设个位数字为 x，十位数字为 y，由题意得：
，
解得： ．
则这个二位数是 16．
故选：D．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量
关系，列出方程组．
4．修一条排水渠，甲队独做需 10 天，乙队独做需 15 天，现由两队合修，中途乙队被调走，
余下的任务由甲队单独做，又修了 5 天后完成．在这个过程中，甲、乙两队合修了（ ）
A．2 天 B．3 天 C．4 天 D．5 天
【分析】甲、乙两队合修了 x 天，根据整个工程分两部分列出方程求解即可．
【解答】解：设甲、乙两队合修了 x 天，根据题意得：
（ + ）x+ ×5＝1，
解得：x＝3，
故选：B．
【点评】本题考查了方程的应用，解题的关键是能够根据题意找到等量关系并列出方程，难
度不大．
5．2018 年足球世界杯正在俄罗斯进行，这项起源于我国“蹴鞠”的运动项目近年来在我国
中小学校园得到大力推广，某次校园足球比赛规定：胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负
一场得 0 分，某足球队共进行了 8 场比赛，得了 12 分，该队获胜的场数不可能是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【分析】设该队获胜 x 场，踢平 y 场，则负了（8﹣x﹣y）场，根据得分＝3×获胜场数+踢
平场数结合该队得了 12 分，即可得出关于 x，y 的二元一次方程，由 x，y，8﹣x﹣y 均为整数即可得出结论．
【解答】解：设该队获胜 x 场，踢平 y 场，则负了（8﹣x﹣y）场，
根据题意得：3x+y＝12，
∴y＝12﹣3x．
当 x＝1 时，y＝9，8﹣x﹣y＝﹣2，舍去；
当 x＝2 时，y＝6，8﹣x﹣y＝0；
当 x＝3 时，y＝3，8﹣x﹣y＝2；
当 x＝4 时，y＝0，8﹣x﹣y＝4．
综上所述，获胜的场数可能为 2，3，4．
故选：D．
【点评】本题考查了二元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程是解题的
关键．
6．如图，嘉淇同学拿 20 元钱正在和售货员对话，且一本笔记本比一支笔贵 3 元，请你仔细
看图，1 本笔记本和 1 支笔的单价分别为（ ）
A．5 元，2 元 B．2 元，5 元
C．4.5 元，1.5 元 D．5.5 元，2.5 元
【分析】可设 1 本笔记本的单价为 x 元，1 支笔的单价为 y 元，由题意可得等量关系：①3
本笔记本的费用+2 支笔的费用＝19 元，②1 本笔记本的费用﹣1 支笔的费用＝3 元，根据
等量关系列出方程组，再解即可．
【解答】解：设 1 本笔记本的单价为 x 元，1 支笔的单价为 y 元，依题意有
，
解得 ．
答：1 本笔记本的单价为 5 元，1 支笔的单价为 2 元．
故选：A．【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量
关系，设出未知数，列出方程组．
7．开学后，书店向学校推销两种素质类教育书籍，若按原价买这两种书共需 880 元，书店
推销时第一种书打了八折，第二种书打了七五折，结果两种书共少用了 200 元，则原来
这两种书需要的钱数分别是（ ）
A．400 元，480 元 B．480 元，400 元
C．320 元，360 元 D．360 元，320 元
【分析】设原来第一种书是x 元，第二种书是 y 元．此题的等量关系：①原价买这两种书共
需要 880 元；②打折后买两种书共少用 200 元．
【解答】解：设原来第一种书是 x 元，第二种书是 y 元．
根据题意，得 ，
解，得 ．
答：原来每本书分别需要 400 元，480 元．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，要注意抓住题目中的一些关键性词语，找
出等量关系，列出方程组．注意：八折即原价的 80%，七五折即原价的 75%．
8．童威购买 7 块橡皮、5 个作业本、1 支圆珠笔共花费 20 元；购买 10 块橡皮、7 个作业本、
1 支圆珠笔共花费 26 元；若购买 11 个橡皮、8 个作业本、2 支圆珠笔则要花费（ ）
元．
A．31 B．32 C．33 D．34
【分析】首先假设铅笔的单价是x 元，作业本的单价是 y 元，圆珠笔的单价是 z 元．购买铅
笔 11 支 ， 作 业 本 8 本 ， 圆 珠 笔 2 支 共 需 a 元 ． 根 据 题 目 说 明 列 出 方 程 组
，解方程组求出 a 的值，即为所求结果．
【解答】解：设铅笔的单价是x 元，作业本的单价是 y 元，圆珠笔的单价是 z 元．购买铅笔
11 支，作业本 5 本，圆珠笔 2 支共需 a 元．
则由题意得： ，由②﹣①得 3x+2y＝6 ④
由②+①得 17x+12y+2z＝46 ⑤
由⑤﹣④×2﹣③得 0＝46﹣12﹣a
∴a＝34
故选：D．
【点评】此题主要考查了方程组的应用，解答此题的关键是列出方程组，用加减消元法求出
方程组的解．
二．填空题（共 6 小题）
9．如图所示，8 个相同的长方形地砖拼成一个大长方形，则每块小长方形地砖的周长是
72cm ．
【分析】设小长方形的长为xcm，宽为 ycm，由图形可列方程组，可求出 x，y 的值，即可求
每块小长方形地砖的周长．
【解答】解：设小长方形的长为 xcm，宽为 ycm
根据题意可得：
解得：
∴小长方形地砖的周长＝2（27+9）＝72cm
故答案为：72cm
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意列出正确的方程组是本题的关键．
10．某快递公司要在规定的时间内把邮件从甲地送往乙地，快递车若以 50 公里/小时的速度
行驶，会迟到 24 分钟；若以 75 公里/小时的速度行驶，可提前 24 分钟．则甲，乙两地
的距离为 120 公里 ．
【分析】设甲，乙两地的距离为x 公里，规定的时间为 y 小时，根据“快递车若以 50 公里/
小时的速度行驶，会迟到 24 分钟；若以 75 公里/小时的速度行驶，可提前 24 分钟”，列
出关于 x 和 y 的二元一次方程组，解之即可．
【解答】解：设甲，乙两地的距离为 x 公里，规定的时间为 y 小时，
根据题意得：，
解得： ，
即甲，乙两地的距离为 120 公里，
故答案为：120 公里．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，正确找出等量关系，列出二元一次方程组是解
题的关键．
11．如图所示，已知前两架天平两端保持平衡．要使第三架天平两端保持平衡，则应在天平
的右托盘上放 3 个圆形物品．
【分析】设圆形物品的质量为 x，三角形物品的质量为 y，正方形物品的质量为 z，根据图
示可以列出三元一次方程组，利用加减消元法消去 y，得到 z 与 x 的关系式，从而得到答
案．
【解答】解：设圆形物品的质量为 x，三角形物品的质量为 y，正方形物品的质量为 z，
根据题意得： ，
利用加减消元法，消去 y 得：z＝ x，
∴2z＝3x，
即应在右托盘上放 3 个圆形物品，
故答案为：3．
【点评】本题考查三元一次方程组的应用，找出等量关系列出三元一次方程组是解题的关键．
12．一个两位数，个位数字比十位数字大 4，且个位数字与十位数字的和为 10，则这个两位
数为 37 ．
【分析】设这个两位数个位数为 x，十位数字为 y，根据个位数字比十位数字大 4，个位数
字与十位数字的和为 10，列方程组求解．
【解答】解：设这个两位数个位数为 x，十位数字为 y，依题意得：，
解得： ．
则这个两位数为 37．
故答案为：37．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找
出合适的等量关系，列方程组求解．
13．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明
文（解密）．安全员是数学爱好者，制定加密规则为：明文 x，y，z 对应密文 x+y+z，x﹣
y+z，x﹣y﹣z．例如：明文 1，2，3 对应密文 6，2，﹣4．当接收方收到密文 12，4，﹣
6 时，则解密得到的明文为 3，4，5 ．
【分析】建立关于 x，y，z 的三元一次方程组，求解即可
【解答】解：依题意得： ，
解得
故答案是：3，4，5．
【点评】此题将三元一次方程组与实际生活相结合，体现了数学来源于生活，应用于生活理
念．
14．明代数学读本《直接算法统宗》里有一道算题：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争，
小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”意即：100 个和尚分 100 个馒头，如果大和尚一人
分 3 个，小和尚 3 人分一个，正好分完．则大和尚有 25 人，小和尚有 75 人．
【分析】分别利用大、小和尚一共 100 人以及馒头大和尚一人分 3 个，小和尚 3 人分一个，
馒头一共 100 个分别得出等式得出答案．
【解答】解：设大和尚有 x 人，则小和尚有（100﹣x）人，根据题意得
3x+ （100﹣x）＝100，
解得 x＝25，
100﹣x＝75．
答：大和尚有 25 人，则小和尚有 75 人．故答案为：25；75．
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，正确得出等量关系是解题关键．
三．解答题（共 4 小题）
15 ． 请 根 据 图 中 信 息 回 答 下 列 问 题 ：
（1）一个暖瓶与一个水杯分别是多少元？
（2）甲、乙两家商场同时出售同样的暖瓶和水杯，为了迎接新年，两家商场都在搞促销活
动，甲商场规定：这两种商品都打九折；乙商场规定：买一个暖瓶赠送一个水杯．若某
人想要买 4 个暖瓶和 15 个水杯，请问选择哪家商场购买更合算，并说明理由．
【分析】（1）设一个暖瓶x 元，一个水杯 y 元，根据“购买一个暖瓶、一个水杯共需 100 元，
购买两个暖瓶、三个水杯共需 230 元”，即可得出关于x，y 的二元一次方程组，解之即
可得出结论；
（2）根据两商城的促销方案，分别求出到两商城购买所需费用，比较后即可得出结论．
【解答】解：（1）设一个暖瓶 x 元，一个水杯 y 元，
根据题意得： ，
解得： ．
答：一个暖瓶 70 元，一个水杯 30 元
（2）若到甲商场购买，则所需的钱数为：（4×70+15×30）×90%＝657（元），
若到乙商场购买，则所需的钱数为：4×70+（15﹣4）×30＝610（元）．
∵657＞610，
∴到乙家商场购买更合算．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列
出二元一次方程组；（2）分别求出到两商城购买所需费用．
16．甲、乙两种商品原来的单价和为 100 元．因市场变化，甲商品降价 10%，乙商品提价
40%，调价后，两种商品的单价和比原来的单价和提高了 20%．问甲、乙两种商品原来的单价各是多少元？
【分析】如果设甲商品原来的单价是x 元，乙商品原来的单价是 y 元，那么根据“甲、乙两
种商品原来的单价和为 100 元”可得出方程为 x+y＝100 根据“甲商品降价 10%，乙商品
提价 40%，调价后，两种商品的单价之和比原来的单价之和提高了 20%”，可得出方程为x
（1﹣10%）+y（1+40%）＝100（1+20%）．
【解答】解：设甲种商品原来的单价是 x 元，乙种商品原来的单价是 y 元，依题意得
，
解得： ．
答：甲种商品原来的单价是 40 元，乙种商品原来的单价是 60 元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，根据实际问题中的条件列方程组时，要注意抓
住题目中的一些关键性词语，找出等量关系，列出方程组．
17．某服装店用 4400 元购进 A，B 两种新式服装，按标价售出后可获得毛利润 2800 元（毛
利润＝售价﹣进价），这两种服装的进价，标价如表所示．
类型价格 A 型 B 型
进价（元/件） 60 100
标价（元/件） 100 160
（1）请利用二元一次方程组求这两种服装各购进的件数；
（2）如果 A 种服装按标价的 9 折出售，B 种服装按标价的 8 折出售，那么这批服装全部售
完后，服装店比按标价出售少收入多少元？
【分析】（1）设购进A 种服装 x 件，购进 B 种服装 y 件，根据总价＝单价×数量结合总利润
＝单件利润×销售数量，即可得出关于 x、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据少获得的总利润＝单件少获得的利润×销售数量，即可求出结论．
【解答】解：（1）设购进 A 种服装 x 件，购进 B 种服装 y 件，
根据题意得： ，
解得： ．
答：购进 A 种服装 40 件，购进 B 种服装 20 件．
（2）40×100×（1﹣0.9）+20×160×（1﹣0.8）＝1040（元）．
答：服装店比按标价出售少收入 1040 元．【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列
出二元一次方程组；（2）根据数量关系，列式计算．
18．今年“五一节”前，某商场用 60 万元购进某种商品，该商品有甲、乙两种包装共 500
件，其中每件甲包装中有 75 个 A 种产品，每个 A 产品的成本为 12 元；每件乙包装中有 100
个 B 产品，每个 B 种产品的成本为 14 元．商场将 A 产品标价定为每个 18 元，B 产品标价
定为每个 20 元．
（1）甲、乙两种包装的产品各有多少件？
（2）“五一节”商场促销，将A 产品按原定标价打 9 折销售，B 种产品按原定标价打 8.5 折
销售，“五一节”期间该产品全部卖完，该商场销售该商品共获利多少元？
【分析】（1）设甲种包装的产品有x 件，乙种包装的产品有 y 件，根据“某商场用 60 万元
购进某种商品，该商品有甲、乙两种包装共 500 件，其中每件甲包装中有 75 个 A 种产品，
每个 A 产品的成本为 12 元；每件乙包装中有 100 个 B 产品，每个 B 种产品的成本为 14
元．”，列出关于x 和 y 的二元一次方程组，解之即可，
（2）根据“将 A 产品标价定为每个 18 元，B 产品标价定为每个 20 元，将 A 产品按原定标
价打 9 折销售，B 种产品按原定标价打 8.5 折销售”，结合（1）的结果，根据利润＝单间
产品的利润×数量，列式计算即可．
【解答】解：（1）设甲种包装的产品有 x 件，乙种包装的产品有 y 件，
根据题意得：
，
解得： ，
答：甲种包装的产品有 200 件，则乙种包装的产品有 300 件，
（2）甲种产品的销售价为：0.9×18＝16.2（元），
乙种产品的销售价为：0.85×20＝17（元），
（16.2﹣12）×75×200+（17﹣14）×100×300
＝63000+90000
＝153000（元），
答：该商场销售该产品共获利 153000 元．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键：（1）正确找出等量关系，列出
二元一次方程组，（2）根据利润＝单间产品的利润×数量，列式计算．
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