7.4 认识三角形
一．选择题（共 5 小题）
1．如图，有一△ABC，今以 B 为圆心，AB 长为半径画弧，交 BC 于 D 点，以 C 为圆心，AC 长
为半径画弧，交 BC 于 E 点．若∠B＝40°，∠C＝36°，则关于 AD、AE、BE、CD 的大小
关系，下列何者正确？（ ）
A．AD＝AE B．AD＜AE C．BE＝CD D．BE＜CD
2．如图，∠EOF 内有一定点 P，过点 P 的一条直线分别交射线 OE 于 A，射线 OF 于 B．当满
足下列哪个条件时，△AOB 的面积一定最小（ ）
A．OA＝OB B．OP 为△AOB 的角平分线
C．OP 为△AOB 的高 D．OP 为△AOB 的中线
3．在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为 1 的正方形，点 A、B 是方格纸中的两个格点
（即正方形的顶点），在这个 5×5 的方格纸中，找出格点 C 使△ABC 的面积为 2 个平方单
位，则满足条件的格点 C 的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
4．下列说法中，正确的个数是（ ）
①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都
在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条
高分别交于一点．A．1 B．2 C．3 D．4
5．如图，G 是△ABC 的重心，直线 L 过 A 点与 BC 平行．若直线 CG 分别与 AB，L 交于 D，E
两点，直线 BG 与 AC 交于 F 点，则△AED 的面积：四边形 ADGF 的面积＝（ ）
A．1：2 B．2：1 C．2：3 D．3：2
二．填空题（共 7 小题）
6．如图，对面积为 s 的△ABC 逐次进行以下操作：
第一次操作，分别延长 AB、BC、CA 至点 A1、B1、C1，使得 A1B＝2AB，B1C＝2BC，C1A＝2CA，
顺次连接 A1、B1、C1，得到△A1B1C1，记其面积为 S1；
第二次操作，分别延长 A1B1、B1C1、C1A1 至点 A2、B2、C2，使得 A2B1＝2A1B1，B2C1＝2B1C1，C2A1
＝2C1A1 顺次连接 A2、B2、C2，得到△A2B2C2，记其面积为 S2；
…；
按此规律继续下去，可得到△AnBn∁n，则其面积 Sn＝ ．
7．从 1，2，3…2004 中任选 k 个数，使所选的 k 个数中，一定可以找到能构成三角形边长
的三个数（这里要求三角形边长互不相等），试问满足条件的 k 的最小值是 ．
8．三角形的边长均为正整数，且周长等于 15，这样的三角形共有 个．
9．如图，在△ABC 中，点 D，E，F 分别在三边上，E 是 AC 的中点，AD，BE，CF 交于一点 G，
BC＝3DC，S△GEC＝3，S△GBD＝8，则△ABC 的面积是 ．
10．如图，△ABC 中，AD⊥BC，垂足为 D，AD＝BD＝5，CD＝3，点 P 从点 B 出发沿线段 BC 的方向移动到点 C 停止，过点 P 作 PQ⊥BC，交折线 BA﹣AC 于点 Q，连接 DQ、CQ，若△ADQ
与△CDQ 的面积相等，则线段 BP 的长度是 ．
11．周长为 30，各边互不相等且都是整数的三角形共有 个．
12．如图，在△ABC 中，E 是 BC 的中点，F 在 AE 上，AE＝3AF，BF 延长线交 AC 于 D 点．若△
ABC 的面积是 48，则△AFD 的面积等于 ．
三．解答题（共 38 小题）
13．两条平行直线上各有 n 个点，用这 n 对点按如下的规则连接线段；
①平行线之间的点在连线段时，可以有共同的端点，但不能有其它交点；
②符合①要求的线段必须全部画出；
图 1 展示了当 n＝1 时的情况，此时图中三角形的个数为 0；
图 2 展示了当 n＝2 时的一种情况，此时图中三角形的个数为 2；
（1）当 n＝3 时，请在图 3 中画出使三角形个数最少的图形，此时图中三角形的个数为
个；
（2）试猜想当 n 对点时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？
（3）当 n＝2006 时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？
14．四边形 ABCD 是任意四边形，AC 与 BD 交点 O．求证：AC+BD＞ （AB+BC+CD+DA）．
证明：在△OAB 中有 OA+OB＞AB
在△OAD 中有 ，
在△ODC 中有 ，在△ 中有 ，
∴OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OB＞AB+BC+CD+DA
即： ，
即：AC+BD＞ （AB+BC+CD+DA）
15．如图，AD 是△ABC 的 BC 边上的高，AE 平分∠BAC，若∠B＝42°，∠C＝70°，求∠AEC
和∠DAE 的度数．
16．我们知道三角形一边上的中线将这个三角形分成两个面积相等的三角形．如图 1，AD 是△
ABC 边 BC 上的中线，则 S△ABD＝S△ACD
（1）如图 2，△ABC 的中线 AD、BE 相交于点 F，△ABF 与四边形 CEFD 的面积有怎样的数量
关系？为什么？
（2）如图 3，在△ABC 中，已知点 D、E、F 分别是线段 BC、AD、CE 的中点，且 S△ABC＝8，
求△BEF 的面积 S△BEF
（3）如图 4，△ABC 的面积为 1．分别倍长（延长一倍）AB，BC，CA 得到△A1B1C1．再分别
倍长 A1B1，B1C1，C1A1 得到△A2B2C2…按此规律，倍长 n 次后得到的△AnBn∁n 的面积为 ．
17．如图，在△ABC 中（AC＞AB），AC＝2BC，BC 边上的中线 AD 把△ABC 的周长分成 60cm 和
40cm 两部分，求边 AC 和 AB 的长．（提示：设 CD＝x cm）18．已知 a，b，c 是△ABC 的三边长，a＝4，b＝6，设三角形的周长是 x．
（1）直接写出 c 及 x 的取值范围；
（2）若 x 是小于 18 的偶数
①求 c 的长；
②判断△ABC 的形状．
19．三角形的三边长是三个连续的自然数，且三角形的周长小于 20，求三边的长．
20．已知 a、b、c 为△ABC 的三边，有 ＝ ＝ ＝k，且满足 4b2 ﹣c2 ＝
2bc+c2．
（1）求 k 的值；
（2）试判断△ABC 的形状．
21．在平面内，分别用 3 根、5 根、6 根…火柴首尾依次相接，能搭成什么形状的三角形呢？
通过尝试，列表如下所示，问：
（1）4 根火柴能搭成三角形吗？
（2）8 根、12 根火柴能搭成几种不同形状的三角形？并画出它们的示意图．
22．如图，△ABC 的周长是 21cm，AB＝AC，中线 BD 分△ABC 为两个三角形，且△ABD 的周长
比△BCD 的周长大 6cm，求 AB，BC．
23．探索：在如图 1 至图 3 中，△ABC 的面积为 a．
（1）如图 1，延长△ABC 的边 BC 到点 D，使 CD＝BC，连接 DA．若△ACD 的面积为 S1，则 S1
＝ （用含 a 的代数式表示）；
（2）如图 2，延长△ ABC 的边 BC 到点 D，延长边 CA 到点 E，使 CD＝BC，AE＝CA，连接
DE．若△DEC 的面积为 S2，则 S2＝ （用含 a 的代数式表示），并写出理由；
（3）在图 2 的基础上延长 AB 到点 F，使 BF＝AB，连接 FD、FE，得到△DEF（如图 3）．若阴
影部分的面积为 S3，则 S3＝ （用含 a 的代数式表示）．
发现：
像上面那样，将△ABC 各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF（如图 3），此时，
我们称△ABC 向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC
面积的 倍．
应用：
去年在面积为 10m2 的△ABC 空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把△ABC 向外
进行两次扩展，第一次由△ABC 扩展成△DEF，第二次由△DEF 扩展成△MGH（如图 4）．求
这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少平方米？
24．如图，在△ABC 中，BC 边上依次有 B、D、E、C，AC 边上依次有 A、G、F，满足 BD＝CE＝
BC，CF＝AG＝ AC，BF 交 AE 于点 J，交 AD 于 I，BG 交 AE 于点 K，交 AD 于点 H，且 S△
ABC＝1，求 S 四边形 KHIJ．25．如图，在△BCD 中，BC＝4，BD＝5，
（1）求 CD 的取值范围；
（2）若 AE∥BD，∠A＝55°，∠BDE＝125°，求∠C 的度数．
26．小辉用 7 根木条钉成一个七边形的木架，他为了使该木架稳固，想在其中加上四根木条，
请你在图 1、2、3 中画出你的三种想法，并说明加上木条后使该木架稳固所用的数学道
理
27．已知 a、b、c 是三角形三边长，试化简：|b+c﹣a|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|﹣| a﹣
b+c|．
28．操作与探究
探索：在如图 1 至图 3 中，△ABC 的面积为 a．
（1）如图 1，延长△ABC 的边 BC 到点 D，使 CD＝BC，连接 DA、若△ACD 的面积为 S1，则 S1
＝ （用含 a 的代数式表示）；
（2）如图 2，延长△ABC 的边 BC 到点 D，延长边 CA 到点 E，使 CD＝BC，AE＝CA，连接 DE、
若△DEC 的面积为 S2，则 S2＝ （用含 a 的代数式表示）；
（3）在图 2 的基础上延长 AB 到点 F，使 BF＝AB，连接 FD，FE，得到△DEF（如图 3）、若阴
影部分的面积为 S3，则 S3＝ （用含 a 的代数式表示）．
发现：像上面那样，将△ABC 各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF（如图 3），
此时，我们称△ABC 向外扩展了一次、可以发现，扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC 面 积 的
倍．
29．△ABC 的面积是 1 平方厘米，如图所示，AD＝DE＝EC，BG＝GF＝FC，求阴影四边形的面
积．
30．已知，a、b、c 为△ABC 的三边长，b、c 满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且 a 为方程|a﹣4|
＝2 的解，求△ABC 的周长，并判断△ABC 的形状．
31．（1）如图 1，已知△ABC，点 D，E，F 分别是 BC，AB，AC 的中点，若△ABC 的面积为
16，则△ABD 的面积是 ，△EBD 的面积是 ．
（2）如图 2，点 D，E，F 分别是 BC，AD，EC 的中点，若△ABC 的面积为 16，求△BEF 的面
积是多少？
32．已知△ABC 的三边长分别为 a，b，c，且|b+c﹣2a|+（b+c﹣5）2＝0，求 b 的取值范
围．
33．已知，a、b、c 为△ABC 的边长，b、c 满足（b﹣2）2+ ＝0，且 a 为方程|a﹣4|＝
2 的解，求△ABC 的周长，并判断△ABC 的形状．
34．如图，已知 D、E、F 分别是锐角△ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点，且 AD、BE、CF 相交
于点 P，AP＝BP＝CP＝6，设 PD＝x，PE＝y，PF＝z，若 xy+yz+zx＝28，求 xyz 的大小．35．已知 a，b，c 为△ABC 的三边长，化简 ﹣ ．
36．已知△ABC 中，三边长 a，b，c 都是整数，且满足 a＞b＞c，a＝8，那么满足条件的三
角形共多少个？
37．一条直线截△ABC 的边 BC、CA、AB（或它们的延长线）于点 D、E、F．
求证： ．
38．附加题：如图，已知△ABC 的面积为 1cm2，如果 AD＝2AC，BF＝3BA，CE＝4CB，求△DEF
的面积．
39．在△ABC 中，BE 和 CF 是高，AB＞AC，求证：AB+CF≥AC+BE．
40．已知△ABC 的三边长为 5，12，3x﹣4，周长为偶数，求整数 x 及周长．先求 x 的取值范
围．
41．从 1、2、3、4…、2004 中任选 k 个数，使所选的 k 个数中一定可以找到能构成三角形
边长的三个数（这里要求三角形三边长互不相等），试问满足条件的 k 的最小值是多少？
42．已知：如图，△ABC 中，中线 BD 和中线 CE 相交于点 O，求证：BO＝2DO．43．已知：a，b，c 分别为△ABC 的三条边的长度，请用所学知识说明：b2+c2﹣a2﹣2bc 是
正数、负数或零．
44．阅读：如图 1，在△ABC 和△DEF 中，∠ABC＝∠DEF＝90°，AB＝DE＝a，BC＝EF＝b（a
＜b），B、C、D、E 四点都在直线 m 上，点 B 与点 D 重合．
连接 AE、FC，我们可以借助于 S△ACE 和 S△FCE 的大小关系证明不等式：a2+b2＞2ab（b＞a＞
0）．
证明过程如下：
∵BC＝b，BE＝a，EC＝b﹣a．
∴ ， ．
∵b＞a＞0
∴S△FCE＞S△ACE
即
∴b2﹣ab＞ab﹣a2
∴a2+b2＞2ab
解决下列问题：
（1）现将△DEF 沿直线 m 向右平移，设 BD＝k（b﹣a），且 0≤k≤1．如图 2，当 BD＝EC 时，
k＝ ．利用此图，仿照上述方法，证明不等式：a2+b2＞2ab（b＞a＞0）．
（2）用四个与△ABC 全等的直角三角形纸板进行拼接，也能够借助图形证明上述不等式．请
你画出一个示意图，并简要说明理由．45．已知△ABC 的三边长为，a，b，c，a 和 b 满足 +（b﹣2）2＝0 求 c 的取值范围．
46．如图，在△ABC 的边上取两点 D、E，且 BD＝CE，求证：AB+AC＞AD+AE．
47．如图所示，四边形 ABCD 中，E、F、G、H 依次是各边中点，O 是四边形形内一点，若
S 四边形 AEOH＝3，S 四边形 BFOE＝4，S 四边形 CGOF＝5，求 S 四边形 DHOG．
48．探究规律：
如图，已知直线 m∥n，A，B 为直线 m 上的两点，C，P 为直线 n 上两点．
（1）请写出图中面积相等的各对三角形： ．
（2）如果 A，B，C 为三个定点，点 P 在 n 上移动，那么，无论 P 点移动到任何位置，总有
与△ABC 的面积相等．理由是： ．
49．已知木棒 a 长度为 35 厘米、木棒 b 长度为 70 厘米，
（1）若现要求选择第三根木棒 c 与木棒 a、b 首尾顺次连接组成一个三角形，请求出木棒 c
长度的取值范围；
（2）有一木棒长度为 130 厘米，现要求把其切割分为两根木棒 d、e（木棒 d、e 的长度之
和恰好为 130 厘米），若在 a、d、e 中任选 2 根木棒，它们与木棒 b 首尾顺次连接都能组
成三角形，求木棒 d 长度的取值范围；
（3）若木棒 d 的长为偶数，求（2）中所有可能组成的三角形里最小的周长以及最大的周长
分别是多少厘米？
50．如图，它是由 6 个面积为 1 的小正方形组成的矩形，点 A，B，C，D，E，F，G 是小正方形的顶点，以这七个点中的任意三个点为顶点，可组成多少个面积为 1 的三角形？请你
写出所有这样的三角形．参考答案与试题解析
一．选择题（共 5 小题）
1．如图，有一△ABC，今以 B 为圆心，AB 长为半径画弧，交 BC 于 D 点，以 C 为圆心，AC 长
为半径画弧，交 BC 于 E 点．若∠B＝40°，∠C＝36°，则关于 AD、AE、BE、CD 的大小
关系，下列何者正确？（ ）
A．AD＝AE B．AD＜AE C．BE＝CD D．BE＜CD
【分析】由∠C＜∠B 利用大角对大边得到 AB＜AC，进一步得到 BE+ED＜ED+CD，从而得到 BE
＜CD．
【解答】解：∵∠C＜∠B，
∴AB＜AC，
∵AB＝BDAC＝EC
∴BE+ED＜ED+CD，
∴BE＜CD．
故选：D．
【点评】考查了三角形的三边关系，解题的关键是正确的理解题意，了解大边对大角．
2．如图，∠EOF 内有一定点 P，过点 P 的一条直线分别交射线 OE 于 A，射线 OF 于 B．当满
足下列哪个条件时，△AOB 的面积一定最小（ ）
A．OA＝OB B．OP 为△AOB 的角平分线
C．OP 为△AOB 的高 D．OP 为△AOB 的中线
【分析】当点 P 是 AB 的中点时 S△AOB 最小；过点 P 的另一条直线 CD 交 OE、OF 于点 C、D，
设 PD＜PC，过点 A 作 AG∥OF 交 CD 于 G，由全等三角形的性质可以得出 S 四边形 AODG＝S△AOB，S 四边形 AODG＜S△COD，从而求得 S△AOB＜S△COD，即可得出结论；
【解答】解：当点 P 是 AB 的中点时 S△AOB 最小；
如图，过点 P 的另一条直线 CD 交 OE、OF 于点 C、D，设 PD＜PC，过点 A 作 AG∥OF 交 CD 于
G，
在△APG 和△BPD 中，
，
∴△APG≌△BPD（ASA），
S 四边形 AODG＝S△AOB．
∵S 四边形 AODG＜S△COD，
∴S△AOB＜S△COD，
∴当点 P 是 AB 的中点时 S△AOB 最小；
故选：D．
【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质的运用，四边形的面积和三角形的面积的关系，
解答时建立数学模型解答是关键．
3．在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为 1 的正方形，点 A、B 是方格纸中的两个格点
（即正方形的顶点），在这个 5×5 的方格纸中，找出格点 C 使△ABC 的面积为 2 个平方单
位，则满足条件的格点 C 的个数是（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【分析】首先分别在 AB 的两侧找到一个使其面积是 2 个平方单位的点，再分别过这两点作
AB 的平行线．找到所有的格点即可．即有 5 个．【解答】解：满足条件的 C 点有 5 个，如图平行于 AB 的直线上，与网格的所有交点就是．
故选：A．
【点评】此题主要是注意：根据两条平行线间的距离处处相等，只需在两侧各找一个符合条
件的点，再作平行线，即可找到所有符合条件的点．
4．下列说法中，正确的个数是（ ）
①三角形的中线、角平分线、高都是线段；②三角形的三条角平分线、三条中线、三条高都
在三角形内部；③直角三角形只有一条高；④三角形的三条角平分线、三条中线、三条
高分别交于一点．
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据三角形的三条中线都在三角形内部；
三角形的三条角平分线都在三角形内部；
三角形三条高可以在内部，也可以在外部，直角三角形有两条高在边上．
【解答】解：①三角形的中线、角平分线、高都是线段，故正确；
②钝角三角形的高有两条在三角形外部，故错误；
③直角三角形有两条直角边和直角到对边的垂线段共三条高，故错误；
④三角形的三条角平分线、三条中线分别交于一点是正确的，三条高线所在的直线一定交于
一点，高线指的是线段，故错误．
所以正确的有 1 个．
故选：A．
【点评】本题考查对三角形的中线、角平分线、高的正确理解．
5．如图，G 是△ABC 的重心，直线 L 过 A 点与 BC 平行．若直线 CG 分别与 AB，L 交于 D，E
两点，直线 BG 与 AC 交于 F 点，则△AED 的面积：四边形 ADGF 的面积＝（ ）A．1：2 B．2：1 C．2：3 D．3：2
【分析】根据重心的概念得出 D，F 分别是三角形的中点．若设△ABC 的面积是 2，则△BCD
的面积和△BCF 的面积都是 1．又因为 BG：GF＝CG：GD，可求得△CGF 的面积．则四边形
ADGF 的面积也可求出．根据 ASA 可以证明△ADE≌△BDC，则△ADE 的面积是 1．则△AED
的面积：四边形 ADGF 的面积可求．
【解答】解：设三角形 ABC 的面积是 2
∴三角形 BCD 的面积和三角形 BCF 的面积都是 1
∵BG：GF＝CG：GD＝2
∴三角形 CGF 的面积是
∴四边形 ADGF 的面积是 2﹣1﹣ ＝
∵△ADE≌△BDC（ASA）
∴△ADE 的面积是 1
∴△AED 的面积：四边形 ADGF 的面积＝1： ＝3：2．
故选：D．
【点评】此题考查了重心的概念和性质：三角形的重心是三角形三条中线的交点，且重心到
顶点的距离是它到对边中点的距离的 2 倍．
二．填空题（共 7 小题）
6．如图，对面积为 s 的△ABC 逐次进行以下操作：
第一次操作，分别延长 AB、BC、CA 至点 A1、B1、C1，使得 A1B＝2AB，B1C＝2BC，C1A＝2CA，
顺次连接 A1、B1、C1，得到△A1B1C1，记其面积为 S1；
第二次操作，分别延长 A1B1、B1C1、C1A1 至点 A2、B2、C2，使得 A2B1＝2A1B1，B2C1＝2B1C1，C2A1
＝2C1A1 顺次连接 A2、B2、C2，得到△A2B2C2，记其面积为 S2；
…；
按此规律继续下去，可得到△AnBn∁n，则其面积 Sn＝ 19n•S ．【分析】连接 A1C，找出延长各边后得到的三角形是原三角形的 19 倍的规律，利用规律求
延长第 n 次后的面积．
【解答】解：连接 A1C；
S△AA1C＝3S△ABC＝3S，
S△AA1C1＝2S△AA1C＝6S，
所以 S△A1B1C1＝6S×3+1S＝19S；
同理得 S△A2B2C2＝19S×19＝361S；
S△A3B3C3＝361S×19＝6859S，
S△A4B4C4＝6859S×19＝130321S，
S△A5B5C5＝130321S×19＝2476099S，
从中可以得出一个规律，延长各边后得到的三角形是原三角形的 19 倍，所以延长第 n 次后，
得到△AnBn∁n，
则其面积 Sn＝19n•S．
【点评】本题的关键是作辅助线，连接A1C，找出延长各边后得到的三角形是原三角形的 19
倍的规律，利用规律求延长第 n 次后的面积．
7．从 1，2，3…2004 中任选 k 个数，使所选的 k 个数中，一定可以找到能构成三角形边长
的三个数（这里要求三角形边长互不相等），试问满足条件的 k 的最小值是 17 ．
【分析】这一问题等价于在 1，2，3，2004 中选k 个数，使其中任意三个数都不能成为三边
互不相等的一个三角形三边的长，试问满足这一条件的 k 的最大值是多少？符合上述条
件的数组，当 k＝4 时，最小的三个数就是 1，2，3，由此可不断扩大该数组，只要加入
的数大于或等于已得数组中最大的两个数之和．
【解答】解：为使 k 达到最大，可选加入之数等于已得数组中最大的两数之和，这样得：
1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597 ①
共 16 个数，对符合上述条件的任数组，a1，a2…an 显然总有 ai 大于等于①中的第 i 个数，
所以 n≤17≤k，从而知 k 的最小值为 17．故答案为：17．
【点评】本题考查了三角形三边关系．解题关键是得到加入之数等于已得数组中最大的两数
之和的 16 个数，从而列不等式求出 k 的最小值．
8．三角形的边长均为正整数，且周长等于 15，这样的三角形共有 7 个．
【分析】三角形的边长均为正整数，且周长等于 15，根据在三角形中任意两边之和大于第
三边，任意两边之差小于第三边．即可求解．
【解答】解：这样的三角形的三边长分别为：5，5，5 或 4，5，6 或 3，5，7 或 4，4，7，
或 1，7，7 或 2，6，7 或 3，6，6，共有 7 个．
【点评】本题利用了三角形中三边的关系求解．注意不要漏掉哪一种情况．
9．如图，在△ABC 中，点 D，E，F 分别在三边上，E 是 AC 的中点，AD，BE，CF 交于一点 G，
BC＝3DC，S△GEC＝3，S△GBD＝8，则△ABC 的面积是 30 ．
【分析】根据题意得到 S△GDC＝ S△GBD＝4，求出 S△EBC，根据 E 是 AC 的中点解答．
【解答】解：∵BC＝3DC，
∴BD＝2CD，
∴S△GDC＝ S△GBD＝4，
∴S△EBC＝S△GBD+S△GBD+S△GEC＝15，
∵E 是 AC 的中点，
∴S△EBA＝S△EBC＝15，
∴△ABC 的面积是 30，
故答案为：30．
【点评】本题考查的是三角形的面积计算，掌握三角形的面积公式、两个高相等是三角形的
面积比等于两底之比是解题的关键．
10．如图，△ABC 中，AD⊥BC，垂足为 D，AD＝BD＝5，CD＝3，点 P 从点 B 出发沿线段 BC 的
方向移动到点 C 停止，过点 P 作 PQ⊥BC，交折线 BA﹣AC 于点 Q，连接 DQ、CQ，若△ADQ与△CDQ 的面积相等，则线段 BP 的长度是 或 6.5 ．
【分析】分两种情况计算：①点 Q 在 AB 边上时，先求出三角形 ABD 的面积，设出 BP＝x，
再将三角形 DCQ 和 AQD 的面积用 x 表示出来，用面积相等建立方程即可；②当点 Q 在 AC
边时，由面积相等即可得出点 Q 是 AC 中点，进而得出点 P'是 CD 的中点，即可求出 DP'，
即可得出结论．
【解答】解：①点 Q 在 AB 边上时，
∵AD⊥BC，垂足为 D，AD＝BD＝5，CD＝3，
∴S△ABD＝ BD•AD＝ ×5×5＝ ，∠B＝45°
∵PQ⊥BC，
∴BP＝PQ，
设 BP＝x，则 PQ＝x，
∵CD＝3，
∴S△DCQ＝ ×3x＝x，
S△AQD＝S△ABD﹣S△BQD＝ ﹣ ×5×x＝ ﹣ x，
∵△ADQ 与△CDQ 的面积相等，
∴x＝ ﹣ x，
解得：x＝ ，
②如图，
当 Q 在 AC 上时，记为 Q'，过点 Q'作 Q'P'⊥BC，
∵AD⊥BC，垂足为 D，∴Q'P'∥AD
∵△ADQ 与△CDQ 的面积相等，
∴AQ'＝CQ'
∴DP'＝CP'＝ CD＝1.5
∵AD＝BD＝5，
∴BP'＝BD+DP'＝6.5，
综上所述，线段 BP 的长度是 或 6.5．
故答案为 或 6.5．
【点评】此题是三角形的面积，主要考查了三角形的中线将三角形分成面积相等的两个三角
形，三角形的面积公式，解本题的关键是判断出点 Q'是 AC 的中点．
11．周长为 30，各边互不相等且都是整数的三角形共有 12 个．
【分析】不妨设三角形三边为 a、b、c，且 a＜b＜c，由三角形三边关系定理及题设条件可
确定 c 的取值范围，以此作为解题的突破口．
【解答】解：设三角形三边为 a、b、c，且 a＜b＜c．
∵a+b+c＝30，a+b＞c
∴10＜c＜15
∵c 为整数
∴c 为 11，12，13，14
∵①当 c 为 14 时，有 5 个三角形，分别是：14，13，3；14，12，4；14，11，5；14，10，
6；14，9，7；
②当 c 为 13 时，有 4 个三角形，分别是：13，12，5；13，11，6；13，10，7；13，9，8；
③当 c 为 12 时，有 2 个三角形，分别是：12，11，7；12，10，8；
④当 c 为 11 时，有 1 个三角形，分别是：11，10，9；
故答案为：12 个．
【点评】此题主要考查学生对三角形三边关系的理解及运用能力．
12．如图，在△ABC 中，E 是 BC 的中点，F 在 AE 上，AE＝3AF，BF 延长线交 AC 于 D 点．若△
ABC 的面积是 48，则△AFD 的面积等于 1.6 ．【分析】先过E 作 EG∥BD，交 AC 于 G，设 S△ADF＝x，S△CEG＝y，由于△ABC 的面积为 48，E
是 BC 中点，可求 S△ABE，S△ACE，又 F 是 AE 的三等分点，可求 S△ABE．在△CBD 中，EG∥
BD，E 是 BC 中点，利用平行线分线段成比例定理的推论，可知 CG＝DG，从而可知△CEG∽△
CBD，再利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，可得 S△CBD＝4y，同理可求 S△AEG＝
9x，再利用三角形面积之间的加减关系可得关于 x、y 的二元一次方程，解即可．
【解答】解：过点 E 作 EG∥BD，交 AC 于 G，如右图，
设 S△ADF＝x，S△CEG＝y，
在△CBD 中，∵E 是 BC 中点，EG∥BD
∴△CEG∽△CBD，S△ABE＝S△ACE＝24，
∴S△CBD：S△CEG＝4：1，
∴S△CBD＝4y，
在△AEG 中，∵AE＝3AF，EG∥BD，
∴△ADF∽△AGE，S△ABF＝8，S△BEF＝16，
∴S△AEG：S△AFD＝9：1，
∴S△AEG＝9x，那么有
，
解得 ．
故答案为：1.6．
【点评】本题考查了三角形的面积计算、平行线分线段成比例的推论、相似三角形的判定、
相似三角形的面积比等于相似比的平方．关键是作辅助线，所作的平行线能用到两个三
角形中．
三．解答题（共 38 小题）13．两条平行直线上各有 n 个点，用这 n 对点按如下的规则连接线段；
①平行线之间的点在连线段时，可以有共同的端点，但不能有其它交点；
②符合①要求的线段必须全部画出；
图 1 展示了当 n＝1 时的情况，此时图中三角形的个数为 0；
图 2 展示了当 n＝2 时的一种情况，此时图中三角形的个数为 2；
（1）当 n＝3 时，请在图 3 中画出使三角形个数最少的图形，此时图中三角形的个数为 4
个；
（2）试猜想当 n 对点时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？
（3）当 n＝2006 时，按上述规则画出的图形中，最少有多少个三角形？
【分析】（1）根据题意，作图可得答案；（2）分析可得，当n＝1 时的情况，此时图中三角
形的个数为 0，有 0＝2（1﹣1）；当 n＝2 时的一种情况，此时图中三角形的个数为 2，
有 2＝2（2﹣1）；…故当有 n 对点时，最少可以画 2（n﹣1）个三角形；（3）当 n＝2006
时，按上述规则画出的图形中，最少有 2×（2006﹣1）＝4010 个三角形．
【解答】解：（1）
4 个；
（2）当有 n 对点时，最少可以画 2（n﹣1）个三角形；
（3）2×（2006﹣1）＝4010 个．
答：当 n＝2006 时，最少可以画 4010 个三角形．
【点评】此题考查了平面图形的有规律变化，要求学生通过观察图形，分析、归纳发现其中
的规律，并应用规律解决问题．
14．四边形 ABCD 是任意四边形，AC 与 BD 交点 O．求证：AC+BD＞ （AB+BC+CD+DA）．
证明：在△OAB 中有 OA+OB＞AB在△OAD 中有 OA+OD＞AD ，
在△ODC 中有 OD+OC＞CD ，
在△ OBC 中有 OB+OC＞BC ，
∴OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OB＞AB+BC+CD+DA
即： 2（AC+BD）＞AB+BC+CD+DA ，
即：AC+BD＞ （AB+BC+CD+DA）
【分析】直接根据三角形的三边关系进行解答即可．
【解答】证明：∵在△OAB 中 OA+OB＞AB
在△OAD 中有 OA+OD＞AD，
在△ODC 中有 OD+OC＞CD，
在△OBC 中有 OB+OC＞BC，
∴OA+OB+OA+OD+OD+OC+OC+OB＞AB+BC+CD+DA
即 2（AC+BD）＞AB+BC+CD+DA，
即 AC+BD＞ （AB+BC+CD+DA）．
故答案为：OA+OD＞AD；OD﹣OC＞CD；OBC；OB+OC＞BC；2（AC+BD）＞AB+BC+CD+DA．
【点评】本题考查的是三角形的三边关系，即三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之
差小于第三边．
15．如图，AD 是△ABC 的 BC 边上的高，AE 平分∠BAC，若∠B＝42°，∠C＝70°，求∠AEC
和∠DAE 的度数．
【分析】由三角形内角和定理可求得∠BAC 的度数，在 Rt△ADC 中，可求得∠DAC 的度数，AE是角平分线，有∠EAC＝ ∠BAC，故∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC．
【解答】解：∵∠B＝42°，∠C＝70°，
∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝68°，
∵AE 是角平分线，
∴∠EAC＝ ∠BAC＝34°．
∵AD 是高，∠C＝70°，
∴∠DAC＝90°﹣∠C＝20°，
∴∠EAD＝∠EAC﹣∠DAC＝34°﹣20°＝14°，
∠AEC＝90°﹣14°＝76°．
【点评】本题考查三角形的内角和定理及角平分线的性质，高线的性质，解答的关键是熟练
掌握三角形的内角和定理．
16．我们知道三角形一边上的中线将这个三角形分成两个面积相等的三角形．如图 1，AD 是△
ABC 边 BC 上的中线，则 S△ABD＝S△ACD
（1）如图 2，△ABC 的中线 AD、BE 相交于点 F，△ABF 与四边形 CEFD 的面积有怎样的数量
关系？为什么？
（2）如图 3，在△ABC 中，已知点 D、E、F 分别是线段 BC、AD、CE 的中点，且 S△ABC＝8，
求△BEF 的面积 S△BEF
（3）如图 4，△ABC 的面积为 1．分别倍长（延长一倍）AB，BC，CA 得到△A1B1C1．再分别
倍长 A1B1，B1C1，C1A1 得到△A2B2C2…按此规律，倍长 n 次后得到的△AnBn∁n 的面积为 7n ．
【分析】（1）根据三角形中线的性质列出等式，得出答案．
（2）根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形用 S△ABC 表示出△ABD、△ACD、
△BDE，△CDE 的面积，然后表示出△BCE 的面积，再表示出△BEF 的面积，即可得解．
（3）根据等底等高的三角形的面积相等可得三角形的中线把三角形分成两个面积相等的三
角形，然后求出第一次倍长后△A1B1C1 的面积是△ABC 的面积的 7 倍，依此类推写出即可．
【解答】（1）答：S△ABF＝S 四边形 CEFD．理由：
解：如图，
∵AD 和 BE 是△ABC 的两条中线，
∴△ABD 面积＝△ACD 面积，△BCE 面积＝△ABE 面积，
即 S1+S4＝S2+S3①，S2+S4＝S1+S3②，
①﹣②得：S1﹣S2＝S2﹣S1，
∴S1＝S2．
∴S△ABF＝S 四边形 CEFD．
（2）解：∵点 D、E 分别为 BC、AD 的中点，
∴S△ABD＝S△ACD＝ S△ABC，
S△BDE＝ S△ABD＝ S△ABC，
S△CDE＝ S△ACD＝ S△ABC，
∴S△BCE＝S△BDE+S△CDE＝ S△ABC+ S△ABC＝ S△ABC，
∵F 是 CE 的中点，
∴S△BEF＝ S△BCE＝ × S△ABC＝ S△ABC，
∴S△BEF：S△ABC＝1：4．
又∵S△ABC＝8
∴S△BEF＝2．（3）解：连接 AB1、BC1、CA1，根据等底等高的三角形面积相等，
△A1BC、△A1B1C、△AB1C、△AB1C1、△ABC1、△A1BC1、△ABC 的面积都相等，
所以，S△A1B1C1＝7S△ABC，
同理 S△A2B2C2＝7S△A1B1C1，＝72S△ABC，
依此类推，S△AnBnCn＝7nS△ABC，
∵△ABC 的面积为 1，
∴S△AnBnCn＝7n．
故答案为：7n．
【点评】主要考查了三角形的中线把三角形分成面积相等的两个三角形，是此类题目常用的
方法，要熟练掌握并灵活运用．本题考查了三角形的面积，根据等底等高的三角形的面
积相等求出一次倍长后所得的三角形的面积等于原三角形的面积的 7 倍是解题的关键．
17．如图，在△ABC 中（AC＞AB），AC＝2BC，BC 边上的中线 AD 把△ABC 的周长分成 60cm 和
40cm 两部分，求边 AC 和 AB 的长．（提示：设 CD＝x cm）
【分析】先根据AD 是 BC 边上的中线得出 BD＝CD，设 BD＝CD＝x，AB＝y，则 AC＝4x，再分△ACD 的周长是 60 与△ABD 的周长是 60 两种情况进行讨论即可．
【解答】解：∵AD 是 BC 边上的中线，AC＝2BC，
∴BD＝CD，
设 BD＝CD＝x，AB＝y，则 AC＝4x，
分为两种情况：
①AC+CD＝60，AB+BD＝40，
则 4x+x＝60，x+y＝40，
解得：x＝12，y＝28，
即 AC＝4x＝48，AB＝28；
②AC+CD＝40，AB+BD＝60，
则 4x+x＝40，x+y＝60，
解得：x＝8，y＝52，
即 AC＝4x＝32，AB＝52，BC＝2x＝16，
此时不符合三角形三边关系定理；
综合上述：AC＝48cm，AB＝28cm．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系定理的应用，注意：要分情况进
行讨论．
18．已知 a，b，c 是△ABC 的三边长，a＝4，b＝6，设三角形的周长是 x．
（1）直接写出 c 及 x 的取值范围；
（2）若 x 是小于 18 的偶数
①求 c 的长；
②判断△ABC 的形状．
【分析】（1）利用三角形三边关系进而得出c 的取值范围，进而得出答案；
（2）①根据偶数的定义，以及 x 的取值范围即可求解；
②利用等腰三角形的判定方法得出即可．
【解答】解：（1）因为 a＝4，b＝6，
所以 2＜c＜10．
故周长 x 的范围为 12＜x＜20．
（2）①因为周长为小于 18 的偶数，
所以 x＝16 或 x＝14．当 x 为 16 时，c＝6；
当 x 为 14 时，c＝4．
②当 c＝6 时，b＝c，△ABC 为等腰三角形；
当 c＝4 时，a＝c，△ABC 为等腰三角形．
综上，△ABC 是等腰三角形．
【点评】此题主要考查了等腰三角形的判定和三角形三边关系，得出c 的取值范围是解题关
键．
19．三角形的三边长是三个连续的自然数，且三角形的周长小于 20，求三边的长．
【分析】利用三角形的三边长是三个连续的自然数，可设三角形三边的长分别为 x﹣1，x，
x+1，根据三角形三边的关系得到 x﹣1+x＞x+1，解得 x＞2，根据三角形的周长小于 20
得到 x﹣1+x+x+1＜20，解得 x＜ ，从而得到 x 为 3，4，5，6，然后分别计算出三角
形三边的长．
【解答】解：设三角形三边的长分别为 x﹣1，x，x+1，则 x﹣1+x＞x+1，解得 x＞2，
∵x﹣1+x+x+1＜20，解得 x＜ ，
∴2＜x＜ 且 x 为整数，
∴x 为 3，4，5，6，
当 x＝3 时，三角形三边为 2，3，4；
当 x＝4 时，三角形三边为 3，4，5；
当 x＝5 时，三角形三边为 4，5，6；
当 x＝6 时，三角形三边为 5，6，7．
【点评】本题考查了三角形三边关系：三角形两边之和大于第三边．
20．已知 a、b、c 为△ABC 的三边，有 ＝ ＝ ＝k，且满足 4b2 ﹣c2 ＝
2bc+c2．
（1）求 k 的值；
（2）试判断△ABC 的形状．
【分析】（1）对原等式进行整理，再根据三角形三边关系不难求得k 的值；
（2）对 4b2﹣c2＝2bc+c2 整理可得 b＝c，再代入 ＝ ＝ ＝k 即可得到 a＝c，
从而得到该三角形是个等边三角形．【解答】解：（1）根据题意有：2b﹣c＝ka，2c﹣a＝kb，2a﹣b＝kc
∴a+b+c＝k（a+b+c），
∵a、b、c 为△ABC 的三边，
∴a+b+c≠0，
∴k＝1．
（2）∵4b2﹣c2＝2bc+c2，
∴（4b2﹣c2）﹣（2bc+c2）＝0，
（2b+c）（2b﹣c）﹣c（2b+c）＝0，
2（2b+c）（b﹣c）＝0，
∵2b+c≠0，
∴b﹣c＝0 即 b＝c，
∵k＝ ＝ ＝ ＝1，
∴a＝c，即 a＝b＝c，
∴△ABC 为等边三角形．
【点评】此题主要考查学生对三角形三边关系及等边三角形的判定的综合运用．
21．在平面内，分别用 3 根、5 根、6 根…火柴首尾依次相接，能搭成什么形状的三角形呢？
通过尝试，列表如下所示，问：
（1）4 根火柴能搭成三角形吗？
（2）8 根、12 根火柴能搭成几种不同形状的三角形？并画出它们的示意图．
【分析】（1）把 4 分成 3 个数只能分成 1，1，2 三个数，这三条线段不能组成三角形．
（2）把 8 和 12 进行合理分解，得到的三条线段应能组成三角形．
【解答】解：（1）4 根火柴不能搭成三角形；
（2）8 根火柴能搭成一种三角形（3，3，2）；示意图： （等腰三角形）
12 根火柴能搭成 3 种不同三角形（4，4，4；5，5，2；3，4，5）．示意图：
【点评】本题用到的知识点为：三角形任意两边之和大于第三边．
22．如图，△ABC 的周长是 21cm，AB＝AC，中线 BD 分△ABC 为两个三角形，且△ABD 的周长
比△BCD 的周长大 6cm，求 AB，BC．
【分析】由BD 是中线，可得，△ABD 的面积与△CBD 的面积的比为 1：1，AD＝CD，又由△ABD
的周长比△BCD 的周长大 6cm，△ABC 的周长是 21cm，AB＝AC，可得 AB﹣BC＝6cm，2AB+BC
＝21cm，继而求得答案．
【解答】解：∵BD 是中线，
∴AD＝CD＝ AC，
∵△ABD 的周长比△BCD 的周长大 6cm，
∴（AB+AD+BD）﹣（BD+CD+BC）＝AB﹣BC＝6cm①，
∵△ABC 的周长是 21cm，AB＝AC，
∴2AB+BC＝21cm②，
联立①②得：AB＝9cm，BC＝3cm．
【点评】此题考查了三角形面积与三角形的中线．注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
23．探索：
在如图 1 至图 3 中，△ABC 的面积为 a．（1）如图 1，延长△ABC 的边 BC 到点 D，使 CD＝BC，连接 DA．若△ACD 的面积为 S1，则 S1
＝ a （用含 a 的代数式表示）；
（2）如图 2，延长△ ABC 的边 BC 到点 D，延长边 CA 到点 E，使 CD＝BC，AE＝CA，连接
DE．若△DEC 的面积为 S2，则 S2＝ 2a （用含 a 的代数式表示），并写出理由；
（3）在图 2 的基础上延长 AB 到点 F，使 BF＝AB，连接 FD、FE，得到△DEF（如图 3）．若阴
影部分的面积为 S3，则 S3＝ 6a （用含 a 的代数式表示）．
发现：
像上面那样，将△ABC 各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF（如图 3），此时，
我们称△ABC 向外扩展了一次．可以发现，扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC
面积的 7 倍．
应用：
去年在面积为 10m2 的△ABC 空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把△ABC 向外
进行两次扩展，第一次由△ABC 扩展成△DEF，第二次由△DEF 扩展成△MGH（如图 4）．求
这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少平方米？
【分析】（1）根据三角形的面积公式，等底同高的两个三角形的面积相等；
（2）运用分割法：连接 AD．根据三角形的面积公式进行分析：等底同高的两个三角形的面
积相等；
（3）在（2）的基础上，阴影部分的面积是（2）中求得的面积的 3 倍；再加上原来三角形
的面积进行计算．
应用：根据上述结论，即扩展一次后得到的三角形的面积是原三角形的面积的 7 倍，则扩展
两次后，得到的三角形的面积是原三角形的面积的 72＝49 倍．从而得到扩展的区域的面积是原来的 48 倍．
【解答】解：（1）∵BC＝CD，
∴△ACD 和△ABC 是等底同高的，即 S1＝a；
（2）2a；
理由：连接 AD，
∵CD＝BC，AE＝CA，
∴S△DAC＝S△DAE＝S△ABC＝a，
∴S2＝2a；
（3）结合（2）得：2a×3＝6a；
发现：扩展一次后得到的△DEF 的面积是 6a+a＝7a，即是原来三角形的面积的 7 倍．
应用：拓展区域的面积：（72﹣1）×10＝480（m2）．
【点评】命题立意：考查学生探索知识、发现知识、应用知识的综合创新能力．
点评：本题的探索过程由简到难，运用类比方法可依次求出．从而使考生在身临数学的情境
中潜移默化，逐渐感悟到数学思维的力量，使学生对知识的发生及发展过程、解题思想
方法的感悟体会得淋漓尽致，是一道新课标理念不可多得的好题．
24．如图，在△ABC 中，BC 边上依次有 B、D、E、C，AC 边上依次有 A、G、F，满足 BD＝CE＝
BC，CF＝AG＝ AC，BF 交 AE 于点 J，交 AD 于 I，BG 交 AE 于点 K，交 AD 于点 H，且 S△
ABC＝1，求 S 四边形 KHIJ．【分析】作平行线 GP 和 FM，根据平行线分线段成比例定理列比例式得： ，
＝ ，从而得：BH：HK：KG＝52：32：7，BI：IJ：JF＝20：32：13，由同高三角形面
积的比等于对应底边的比，可以得出 S△ABF＝ ，S△ABG＝ ，S△AIJ＝ S△ABF＝ × ＝
，S△AHK＝ S△ABG＝ × ＝ ，作差可得 S 四边形 KHIJ．
【解答】解：过 G 作 GP∥BC，交 AD 于 P，AE 于 Q，则 ＝ ，
∵BD＝ BC，
∴ ＝ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
同理可得： ＝ ，
即 ＝ ，
∴ ，
∴ ＝ ，
∴BH：HK：KG＝52：32：7，
过 F 作 FM∥BC，交 AD 于 M，AE 于 N，
同理得：BI：IJ：JF＝20：32：13，
∵S△ABC＝1，
∴S△ABF＝ ，S△ABG＝ ，
∴S△AIJ＝ S△ABF＝ × ＝ ，
S△AHK＝ S△ABG＝ × ＝ ，
∴S 四边形 KHIJ＝S△AIJ﹣S△AHK，
＝ ﹣ ，＝ ．
【点评】本题计算三角形和多边形面积，考查了平行线分线段成比例定理、同高三角形面积
的关系，作好本题要从以下几点入手：①作平行线，②根据平行线分线段成比例定理得
线段的比，③根据边的比得出面积的比．
25．如图，在△BCD 中，BC＝4，BD＝5，
（1）求 CD 的取值范围；
（2）若 AE∥BD，∠A＝55°，∠BDE＝125°，求∠C 的度数．
【分析】（1）三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，据此可得CD 的取
值范围；
（2）先根据平行线的性质，得到∠AEF 的度数，再根据三角形外角性质，即可得到∠C 的度
数．
【解答】解：（1）∵△BCD 中，BC＝4，BD＝5，
∴5﹣4＜CD＜5+4，
∴CD 的取值范围是：1＜CD＜9；
（2）∵AE∥BD，
∴∠AEF＝∠BDE＝125°，
∵∠AEF 是△ACE 的外角，
∴∠C＝∠AEF﹣∠A＝125°﹣55°＝70°．
【点评】本题主要考查了三角形三边关系以及平行线的性质的运用，解题时注意：三角形两
边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边．
26．小辉用 7 根木条钉成一个七边形的木架，他为了使该木架稳固，想在其中加上四根木条，请你在图 1、2、3 中画出你的三种想法，并说明加上木条后使该木架稳固所用的数学道
理
【分析】根据三角形具有稳定性进行画图即可．
【解答】解：如图所示：
根据三角形具有稳定性．
【点评】此题主要考查了三角形的稳定性，当三角形三边的长度确定后，三角形的形状和大
小就能唯一确定下来，故三角形具有稳定性．这一特性主要应用在实际生活中．
27．已知 a、b、c 是三角形三边长，试化简：|b+c﹣a|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|﹣| a﹣
b+c|．
【分析】根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边判断出正负情况，再根
据正数的绝对值等于它本身，负数的绝对值等于它的相反数去掉绝对值号，然后再进行
整式的加减．
【解答】解：∵a、b、c 是三角形三边长，
∴b+c﹣a＞0，b﹣c﹣a＜0，c﹣a﹣b＜0，a﹣b+c＞0，
∴|b+c﹣a|+|b﹣c﹣a|+|c﹣a﹣b|﹣|a﹣b+c|，
＝b+c﹣a﹣b+c+a﹣c+a+b﹣a+b﹣c
＝2b．
【点评】本题主要利用三角形的三边关系和绝对值的性质求解，利用三边关系判断出正负情
况是去掉绝对值号的关键．
28．操作与探究
探索：在如图 1 至图 3 中，△ABC 的面积为 a．
（1）如图 1，延长△ABC 的边 BC 到点 D，使 CD＝BC，连接 DA、若△ACD 的面积为 S1，则 S1
＝ a （用含 a 的代数式表示）；（2）如图 2，延长△ABC 的边 BC 到点 D，延长边 CA 到点 E，使 CD＝BC，AE＝CA，连接 DE、
若△DEC 的面积为 S2，则 S2＝ 2a （用含 a 的代数式表示）；
（3）在图 2 的基础上延长 AB 到点 F，使 BF＝AB，连接 FD，FE，得到△DEF（如图 3）、若阴
影部分的面积为 S3，则 S3＝ 6a （用含 a 的代数式表示）．
发现：像上面那样，将△ABC 各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到△DEF（如图 3），
此时，我们称△ABC 向外扩展了一次、可以发现，扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△
ABC 面 积 的 7
倍．
【分析】（1）根据等底等高的三角形面积相等解答即可；
（2）分别过 A、E 作 BD 的垂线，根据三角形中位线定理及三角形的面积公式求解即可；
（3）由△BFD、△ECD 及△AEF 的边长为△ABC 边长的一半，高与△AEF 的高相等解答即
可．
【解答】解：（1）∵CD＝BC，△ABC 的面积为 a，△ABC 与△ACD 的高相等，
∴S1＝S△ABC＝a；
（2）分别过 A、E 作 AG⊥BD，EF⊥BD，G、F 为垂足，则 AG∥EF，
∵A 为 CE 的中点，∴AG＝ EF，
∵BC＝CD，
∴S2＝2S1＝2a；
（3）∵△BDF 的边长 BD 是△ABC 边长 BC 的 2 倍，两三角形的两边互为另一三角形两边的延
长线，
∴S△BDF＝2S△ABC，∵△ABC 面积为 a，∴S△BDF＝2a．
同理可得，S△ECD＝2a，S△AEF＝2a，∴S3＝S△BDF+S△ECD+S△AEF＝2a+2a+2a＝6a．
∵S3＝S△BDF+S△ECD+S△AEF＝6a，
∴S△EDF＝S3+S△ABC＝6a+a＝7a，
∴ ＝ ＝7，
∴扩展一次后得到的△DEF 的面积是原来△ABC 面积的 7 倍．
【点评】本题比较复杂，只要根据三角形的面积公式进行分析即可．
29．△ABC 的面积是 1 平方厘米，如图所示，AD＝DE＝EC，BG＝GF＝FC，求阴影四边形的面
积．
【分析】设AG 与 BE 交于 N，AF 与 BE 交于 P，连接 NC，ND，PC，PD，设△NGB 的面积为 x，△
NGE 的面积为 y，求得，△ACF 的面积是 平方厘米，△NGB 的面积是 平方厘米；设△
PCF 的面积为 u，△PCE 的面积为 v，解得 ，然后即可求得阴影四边形的面积．
【解答】解：如图，设 AG 与 BE 交于 N，AF 与 BE 交于 P，连接 NC，ND，PC，PD
设△NGB 的面积为 x，△NDE 的面积为 y，则有△NCG 的面积为 2x，△NEA 的面积为 2y
因为△ABC 的面积是 1 平方厘米
且 AD＝DE＝EC，BG＝GF＝FC
所以△BCE，△ACF 的面积是 平方厘米
△ACG 的面积是 平方厘米
所以 解得
所以△NGB 的面积是 平方厘米设△PCF 的面积为 u，△PCE 的面积为 v，则有
所以 即
即四边形 PECF 的面积是 平方厘米
所以阴影四边形的面积＝ （平方厘米）
【点评】此题尽管是主要考查学生对三角形面积的理解和掌握，但是需要设△NGB 的面积为
x，△NGE 的面积为 y，设△PCF 的面积为 u，△PCE 的面积为 v，求得 x、y 和 u+v，因此
是一道难题．
30．已知，a、b、c 为△ABC 的三边长，b、c 满足（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，且 a 为方程|a﹣4|
＝2 的解，求△ABC 的周长，并判断△ABC 的形状．
【分析】利用绝对值的性质以及偶次方的性质得出 b，c 的值，进而利用三角形三边关系得
出 a 的值，进而求出△ABC 的周长进而判断出其形状．
【解答】解：∵（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，
∴b﹣2＝0，c﹣3＝0，
解得：b＝2，c＝3，
∵a 为方程|a﹣4|＝2 的解，
∴a﹣4＝±2，
解得：a＝6 或 2，
∵a、b、c 为△ABC 的三边长，b+c＜6，
∴a＝6 不合题意，舍去，
∴a＝2，
∴△ABC 的周长为：2+2+3＝7，
∴△ABC 是等腰三角形．【点评】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质和偶次方的性质，得出a 的值是
解题关键．
31．（1）如图 1，已知△ABC，点 D，E，F 分别是 BC，AB，AC 的中点，若△ABC 的面积为
16，则△ABD 的面积是 8 ，△EBD 的面积是 4 ．
（2）如图 2，点 D，E，F 分别是 BC，AD，EC 的中点，若△ABC 的面积为 16，求△BEF 的面
积是多少？
【分析】（1）由点D，E，F 分别是 BC，AB，AC 的中点，三角形中线等分三角形的面积；
（2）由三角形中线等分三角形的面积即可结果；
【解答】解：（1）∵点D，E，F 分别是 BC，AB，AC 的中点，三角形中线等分三角形的面积，
∴S△ABD＝ S△ABC＝ ＝8，
S△EBD＝ S△ABD＝ ＝4，
故答案为：8，4；
（2）∵在△ABC 中，D 是 BC 边的中点，
∴S△ABD＝ S△ABC＝8，
∵E 是 AD 的中点，
∴S△BED＝ S△ABD＝4，
同理得，S△CDE＝4；
∴S△BCE＝8，
∵F 是 CE 的中点，
∴S△BEF＝ S△BCE＝4．
【点评】本题是面积及等积变换综合题目，考查了三角形的面积及等积变换，本题有一定难
度，运用三角形中线等分三角形的面积才能得出结果．
32．已知△ABC 的三边长分别为 a，b，c，且|b+c﹣2a|+（b+c﹣5）2＝0，求 b 的取值范围．
【分析】根据非负数的性质得b+c﹣2a＝0，b+c﹣5＝0，两式联立求出 a 的值，再根据三角
形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边列不等式求解即可．
【解答】解：由题意得：b+c﹣2a＝0，b+c﹣5＝0，
解得：b+c＝5，
把 b+c＝5 代入 b+c﹣2a＝0 中得：5﹣2a＝0，
解得：a＝2.5，
那么 c＝5﹣b，
根据三角形的三边关系：|5﹣b﹣2.5|＜b 且 b＜5﹣b+2.5，
即 2.5﹣b＜b＜2.5+5﹣b，
解得： ＜b＜ ．
所以 b 的取值范围是 ＜b＜ ．
【点评】本题主要利用非负数的性质和三角形的三边关系求解．几个表示非负数的算式的和
等于 0，则每一个运算式都等于 0．
33．已知，a、b、c 为△ABC 的边长，b、c 满足（b﹣2）2+ ＝0，且 a 为方程|a﹣4|＝
2 的解，求△ABC 的周长，并判断△ABC 的形状．
【分析】根据 a 为方程|a﹣4|＝2 的解，可知 a＝6 或 2，再根据（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，可
知 b﹣2＝0，c﹣3＝0，可知 b，c 的值，再根据三角形的两边之和大于第三边即可判断出△
ABC 的形状．
【解答】解：∵（b﹣2）2+|c﹣3|＝0，
∴b﹣2＝0，c﹣3＝0，
∴b＝2，c＝3，
∵|a﹣4|＝2，
∴a＝6 或 2，
当 a＝6，b＝2，c＝3 时不能构成三角形，
当 a＝2，b＝2，c＝3 时周长为 7，是等腰三角形．
【点评】本题考查了三角形中两边之和大于第三边，以及非负数的性质，根据非负数的性质
求出三边的长是关键，难度适中．
34．如图，已知 D、E、F 分别是锐角△ABC 的三边 BC、CA、AB 上的点，且 AD、BE、CF 相交于点 P，AP＝BP＝CP＝6，设 PD＝x，PE＝y，PF＝z，若 xy+yz+zx＝28，求 xyz 的大小．
【分析】先求证 ＝ ，同理： ＝ ， ＝ ，再利用S△ABC＝S△
PBC+S△PCA+S△PAB，将分式化简，再将 xy+yz+zx＝28 代入即可．
【解答】解：如图：∵S△PBC＝ PM•BC，S△ABC＝ AN•BC，
∴ ＝ ＝ ＝ ，
同理： ＝ ， ＝ ，
∵S△ABC＝S△PBC+S△PCA+S△PAB，
∴ + + ＝1．
即 1﹣ +1﹣ +1﹣ ＝1，
∴ + + ＝1，
∴3（yz+zx+xy）+36（x+y+z）+324
＝xyz+6（xy+yz+zx）+36（x+y+z）+216，
∴xy+yz+zx＝28．
∴xyz＝108﹣3（xy+yz+zx）＝24．
答：xyz 的大小为：24．
【点评】此题主要考查学生对三角形面积计算的理解和掌握，解答此题的关键是求证＝ ， ＝ ， ＝ ．此题有一定的拔高难度，属于难题．
35．已知 a，b，c 为△ABC 的三边长，化简 ﹣ ．
【分析】直接利用三角形三边关系得出 a﹣b﹣c＜0，b﹣a+c＞0，进而化简得出答案．
【解答】解：∵a，b，c 为△ABC 的三边长，
∴a﹣b﹣c＜0，b﹣a+c＞0，
∴ ﹣
＝﹣（a﹣b﹣c）﹣（b﹣a+c）
＝﹣a+b+c﹣b+a﹣c
＝0．
【点评】此题主要考查了二次根式的性质与化简以及三角形三边关系，正确掌握三角形三边
关系是解题关键．
36．已知△ABC 中，三边长 a，b，c 都是整数，且满足 a＞b＞c，a＝8，那么满足条件的三
角形共多少个？
【分析】首先根据三角形的三边关系可得b+c＞a，再根据条件 b＞c 可确定 b＞4，再由 a＞
b 可得 4＜b＜8，进而可确定 b 的值，然后再确定 c 的值即可．
【解答】解：根据三角形的三边关系可得 b+c＞a，
∵b＞c，
∴b＞4，
∵a＞b，a＝8，
∴4＜b＜8，
∵b 为整数，
∴b＝5，6，7，
∴a＝8，b＝5，c＝4，
a＝8，b＝6，c＝5 或 4 或 3，
a＝8，b＝7，c＝6 或 5 或 4 或 3 或 2．
因此满足条件的三角形共有 1+3+5＝9（个）．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边．
37．一条直线截△ABC 的边 BC、CA、AB（或它们的延长线）于点 D、E、F．求证： ．
【分析】连接 BE、AD，并把线段之比转化为两三角形面积之比，然后约分即可求证．
【解答】证明：如图，连接 BE、AD，
∵△BDE 与△DCE 等高，∴ ＝ ，
∵△DCE 与△ADE 等高，∴ ＝ ，
∵△ADF 与△BDF 等高，∴ ＝ ，
∵△AEF 与△BEF 等高，∴ ＝ ，
∴ ＝ ，
∴ • • ＝ • • ＝1．
【点评】此题考查学生对三角形面积的理解和掌握，解答此题的关键是连接 BE、AD，并把
线段之比转化为两三角形面积之比．
38．附加题：如图，已知△ABC 的面积为 1cm2，如果 AD＝2AC，BF＝3BA，CE＝4CB，求△DEF
的面积．【分析】连接AE、BD、CF，把△DEF 分解成七部分，根据等高的三角形的面积的比等于底边
的比，结合△ABC 的面积，求出另外六个三角形的面积，△DEF 的面积即可求出．
【解答】解：如图，连接 AE、BD、CF，
∵AD＝2AC，
∴AC＝CD，
∴S△BCD＝S△ABC＝1，S△ACF＝S△CDF，
∵BF＝3BA，
∴AF＝2AB，
∴S△ACF＝2S△ABC＝2，S△AEF＝2S△AEB，
∵CE＝4CB，
∴BE＝3BC，
∴S△BDE＝3S△BCD＝3，S△AEB＝3S△ABC＝3，
∴S△BEF＝S△AEB+S△AEF＝3+6＝9，
S△DCE＝S△BCD+S△BDE＝1+3＝4，
S△ADF＝S△ACF+S△CDF＝2+2＝4，
∴△DEF 的面积＝1+9+4+4＝18．
【点评】本题比较复杂，主要根据等高的三角形的面积的比等于底边的比求解，作辅助线把
△DEF 分成七个小三角形是解题的关键．
39．在△ABC 中，BE 和 CF 是高，AB＞AC，求证：AB+CF≥AC+BE．
【分析】在△ABC 中，BE 和 CF 是高，AB＞AC，根据三角形三边关系及角平分线，中线和高
的知识即可证明．
【解答】证明：∵BE 和 CF 是高， ∴△AFC∽△ABE，∵AB＞AC∴ ＜1， ＜1，AF＜AE
∴（AC）2﹣（CF）2＜（AB）2﹣（BE）2 即（AC）2+（BE）2＜（AB）2+（CF）2，
∵AC×BE＝AB×CF
∴（AC）2+2 AC×BE+（BE）2≤（AB）2+2AB×CF+（CF）2，
∴（AC+BE）2≤（AB+CF）2，
∴AC+BE≤AB+CF，即证明之．
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【点评】本题考查了三角形三边关系及及角平分线，中线和高，难度较大，关键是根据已知
条件进行变形求证．
40．已知△ABC 的三边长为 5，12，3x﹣4，周长为偶数，求整数 x 及周长．先求 x 的取值范
围．
【分析】首先根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，从而确定整数x 的值，然后根
据其周长为偶数确定其周长即可．
【解答】解：∵12﹣5＜3x﹣4＜12+5，即 ，而 x 为整数，
∴x＝4、5 或 6．若周长 12+5+3x﹣4＝13+3x 是偶数，则 x 为奇数，
∴x＝5，从而周长为 5+12+3x﹣4＝28．
【点评】此题主要考查了三角形三边关系，要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第
三边，任意两边之差小于第三边．
41．从 1、2、3、4…、2004 中任选 k 个数，使所选的 k 个数中一定可以找到能构成三角形
边长的三个数（这里要求三角形三边长互不相等），试问满足条件的 k 的最小值是多少？
【分析】这一问题等价于在 1，2，3，2004 中选 k﹣1 个数，使其中任意三个数都不能成为
三边互不相等的一个三角形三边的长，试问满足这一条件的 k 的最大值是多少？符合上
述条件的数组，当 k＝4 时，最小的三个数就是 1，2，3，由此可不断扩大该数组，只要
加入的数大于或等于已得数组中最大的两个数之和．
【解答】解：为使 k 达到最大，可选加入之数等于已得数组中最大的两数之和，这样得：
1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597 ①
共 16 个数，对符合上述条件的任数组，a1，a2…an 显然总有 ai 大于等于①中的第 i 个数，
所以 n≤16≤k﹣1，
k﹣1≥16，解得 k≥17．
故 k 的最小值为 17．
【点评】本题考查了三角形三边关系．解题关键是得到加入之数等于已得数组中最大的两数
之和的 16 个数，从而列不等式求出 k 的最小值．
42．已知：如图，△ABC 中，中线 BD 和中线 CE 相交于点 O，求证：BO＝2DO．
【分析】连接 DE，根据三角形中位线的性质得出 DE∥BC，DE＝ BC，进而根据平行线分线
段成比例定理即可证得结论．
【解答】证明：连接 DE，
∵BD、CE 是 AC 和 AB 的中线，
∴AE＝BE，AD＝CD，
∴DE∥BC，DE＝ BC，
∵DE∥BC，
∴ ＝ ＝ ，
∴BO＝2DO．
【点评】本题考查了三角形重心的性质，三角形中位线定理以及平行线分线段成比例定理，
作出辅助线构建平行线是解题的关键．
43．已知：a，b，c 分别为△ABC 的三条边的长度，请用所学知识说明：b2+c2﹣a2﹣2bc 是
正数、负数或零．
【分析】能够正确运用因式分解的知识，把代数式分解成乘积的形式，再根据三角形的三边关系进行分析．
【解答】解：根据三角形的三边关系，得
b﹣（a+c）＜0，a+b﹣c＞0．
∴b2+c2﹣a2﹣2bc＝（b﹣c）2﹣a2＝（b﹣c﹣a）（b﹣c+a）＜0．
即 b2+c2﹣a2﹣2bc 是负数．
【点评】考查了三角形的三边关系以及因式分解的知识．
44．阅读：如图 1，在△ABC 和△DEF 中，∠ABC＝∠DEF＝90°，AB＝DE＝a，BC＝EF＝b（a
＜b），B、C、D、E 四点都在直线 m 上，点 B 与点 D 重合．
连接 AE、FC，我们可以借助于 S△ACE 和 S△FCE 的大小关系证明不等式：a2+b2＞2ab（b＞a＞
0）．
证明过程如下：
∵BC＝b，BE＝a，EC＝b﹣a．
∴ ， ．
∵b＞a＞0
∴S△FCE＞S△ACE
即
∴b2﹣ab＞ab﹣a2
∴a2+b2＞2ab
解决下列问题：
（1）现将△DEF 沿直线 m 向右平移，设 BD＝k（b﹣a），且 0≤k≤1．如图 2，当 BD＝EC 时，
k＝ ．利用此图，仿照上述方法，证明不等式：a2+b2＞2ab（b＞a＞0）．
（2）用四个与△ABC 全等的直角三角形纸板进行拼接，也能够借助图形证明上述不等式．请
你画出一个示意图，并简要说明理由．【分析】（1）连接AD、BF，构成同底的两个三角形，再利用两个三角形的边之间的关系，
代入三角形的面积公式求解即可；
（2）答案不唯一，举例说明：根据直角三角形及矩形的面积公式求得面积后，再根据它们
之间的数量关系来比较．
【解答】解：（1） ；
证明：连接 AD、BF．
可得 ，
∴
＝
＝
＝
＝
＝ ．
∵b＞a＞0，∴S△ABD＜S△FBD，即 ，
∴ab﹣a2＜b2﹣ab．∴a2+b2＞2ab；
（2）答案不唯一，图（1 分），理由：
举例：如图，理由：
延长 BA、FE 交于点 I．
∵b＞a＞0，∴S 矩形 IBCE＞S 矩形 ABCD，
即 b（b﹣a）＞a（b﹣a）．
∴b2﹣ab＞ab﹣a2．
∴a2+b2＞2ab．
举例：如图，理由：
四个直角三角形的面积和 ，
大 正 方 形 的 面 积 S2 ＝ a2+b2 ． ∵ b ＞ a ＞ 0 ， ∴ S2 ＞ S1 ． ∴ a2+b2 ＞2ab．
【点评】做这类题目时，结合图形来解答会降低题的难度．
45．已知△ABC 的三边长为，a，b，c，a 和 b 满足 +（b﹣2）2＝0 求 c 的取值范围．
【分析】首先根据非负数的性质求出 a，b 的值，然后根据三角形三边关系定理：三角形两
边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边即可求出 c 的取值范围．
【解答】解：∵ +（b﹣2）2＝0，
∴a＝1，b＝2，
∴2﹣1＜c＜2+1，
1＜c＜3．
【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，以及非负数的性质，关键是求出 a，b 的值，
熟练掌握三角形的三边关系．
46．如图，在△ABC 的边上取两点 D、E，且 BD＝CE，求证：AB+AC＞AD+AE．
【分析】取BC 的中点 F，连接 AF 并延长至 G，使 FG＝AF，连接 GB，GC，GD，GE，依据四边
形 ABGC 和四边形 ADGE 是平行四边形，即可得到 BG＝AC，DG＝AE，延长 AD 至 H，交 BG
于 H，依据三角形三边关系，即可得到 AB+BH＞AD+DH，DH+HG＞DG，进而得出 AB+BG＞
AD+DG，即 AB+AC＞AD+AE．
【解答】证明：取 BC 的中点 F，连接 AF 并延长至 G，使 FG＝AF，连接 GB，GC，GD，GE，∵BD＝CE，
∴DF＝EF，
∴四边形 ABGC 和四边形 ADGE 是平行四边形，
∴BG＝AC，DG＝AE，
延长 AD 至 H，交 BG 于 H，
∵AB+BH＞AD+DH，DH+HG＞DG，
∴AB+BH+DH+HG＞AD+DH+DG，
∴AB+BG＞AD+DG，
即 AB+AC＞AD+AE．
【点评】本题主要考查了三角形三边关系的运用，解决问题的关键是作辅助线构造平行四边
形，利用三角形三边关系进行判断．
47．如图所示，四边形 ABCD 中，E、F、G、H 依次是各边中点，O 是四边形形内一点，若
S 四边形 AEOH＝3，S 四边形 BFOE＝4，S 四边形 CGOF＝5，求 S 四边形 DHOG．
【分析】连接OC，OB，OA，OD，易证 S△OBF＝S△OCF，S△ODG＝S△OCG，S△ODH＝S△OAH，S△OAE＝S△
OBE，所以 S 四边形 AEOH+S 四边形 CGOF＝S 四边形 DHOG+S 四边形 BFOE，所以可以求出 S 四边形 DHOG．
【解答】解：连接 OC，OB，OA，OD，∵E、F、G、H 依次是各边中点，
∴△AOE 和△BOE 等底等高，所以 S△OAE＝S△OBE，
同理可证，S△OBF＝S△OCF，S△ODG＝S△OCG，S△ODH＝S△OAH，
∴S 四边形 AEOH+S 四边形 CGOF＝S 四边形 DHOG+S 四边形 BFOE，
∵S 四边形 AEOH＝3，S 四边形 BFOE＝4，S 四边形 CGOF＝5，
∴3+5＝4+S 四边形 DHOG，
解得 S 四边形 DHOG＝4．
【点评】此题主要考查了三角形面积，解决本题的关键将各个四边形划分，充分利用给出的
中点这个条件，证得三角形的面积相等，进而证得结论．
48．探究规律：
如图，已知直线 m∥n，A，B 为直线 m 上的两点，C，P 为直线 n 上两点．
（1）请写出图中面积相等的各对三角形： △AOC 与△BOP，△ABC 与△ABP，△ACP 与△BCP ．
（2）如果 A，B，C 为三个定点，点 P 在 n 上移动，那么，无论 P 点移动到任何位置，总有 △
ABP 与△ABC 的面积相等．理由是： 两平行线之间的距离相等 ．
【分析】根据两条平行线间的距离处处相等，再结合三角形的面积公式，
首先判断出：△ABC 与△ABP，△ACP 与△BCP 这两对三角形分别是同底等高的，故两对三角
形的面积分别相等．再根据等式的性质，让其中一对三角形的面积都减去公共的部分，
即可得到第三对三角形的面积相等，即△AOC 与△BOP．
【解答】解：（1）△AOC 与△BOP，△ABC 与△ABP，△ACP 与△BCP．
（2）△ABP；两平行线之间的距离相等．
【点评】注意：两条平行线间的距离处处相等．只要两个三角形是等底等高的，则两个三角
形的面积一定相等．还要根据等式的性质进一步进行变形．49．已知木棒 a 长度为 35 厘米、木棒 b 长度为 70 厘米，
（1）若现要求选择第三根木棒 c 与木棒 a、b 首尾顺次连接组成一个三角形，请求出木棒 c
长度的取值范围；
（2）有一木棒长度为 130 厘米，现要求把其切割分为两根木棒 d、e（木棒 d、e 的长度之
和恰好为 130 厘米），若在 a、d、e 中任选 2 根木棒，它们与木棒 b 首尾顺次连接都能组
成三角形，求木棒 d 长度的取值范围；
（3）若木棒 d 的长为偶数，求（2）中所有可能组成的三角形里最小的周长以及最大的周长
分别是多少厘米？
【分析】（1）已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出
第三边长的范围；
（2）分三种情况讨论：①a、d、b 能组成三角形；②a、e、b 能组成三角形；③d、e、b 能
组成三角形．分别根据三角形三边关系定理列出不等式组，求解即可；
（3）由木棒 d 的长为偶数，根据（2）中木棒 d 长度的取值范围确定三种情况下 d 的最小值
与最大值，再根据周长的定义计算，然后比较即可．
【解答】解：（1）根据三角形的三边关系，得
70﹣35＜c＜70+35，
即 35＜c＜105．
故木棒 c 长度的取值范围是 35cm＜c＜105cm；
（2）a＝35cm，b＝70cm，d+e＝130cm．
①如果 a、d、b 能组成三角形，那么 35cm＜d＜105cm；
②如果 a、e、b 能组成三角形，那么 35cm＜e＜105cm，
∵d+e＝130cm，
∴25cm＜d＜95cm；
③如果 d、e、b 能组成三角形，那么|e﹣b|＜d＜e+b，
即|130﹣d﹣70|＜d＜130﹣d+70，
解得 30cm＜d＜100cm．
综上所述，35cm＜d＜100cm；
（3）若木棒 d 的长为偶数，①如果 a、d、b 能组成三角形，那么 d 最小值为 36cm，最大值为 104cm，
此时最小的周长是：35+70+36＝141（cm），最大的周长：35+70+104＝209（cm）；
②如果 a、e、b 能组成三角形，那么 d 最小值为 26cm，最大值为 94cm，
此时最小的周长是：35+70+36＝141（cm），最大的周长：35+70+104＝209（cm）；
③如果 d、e、b 能组成三角形，那么周长是：130+70＝200（cm）；
综上所述，最小的周长是 141cm，最大的周长是 209cm．
【点评】此题考查了三角形的三边关系．注意三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之
差小于第三边．也考查了不等式的性质以及一元一次不等式组的解法．
50．如图，它是由 6 个面积为 1 的小正方形组成的矩形，点 A，B，C，D，E，F，G 是小正方
形的顶点，以这七个点中的任意三个点为顶点，可组成多少个面积为 1 的三角形？请你
写出所有这样的三角形．
【分析】观察图形，发现：根据三角形的面积公式，只要保证该三角形的高是 1 或 2，对应
的底是 2 或 1 即可．
【解答】解：由题意得符合条件的三角形高是 1 或 2，对应的底是 2 或 1，如：△ADE，△
BDE，△AEF，△BEF，△BFG，△AFG，△ABD，△ABE，△ABF，△ABG，△DCF，△ECG，△
BCF，△ACG．
【点评】此题要有顺序地写，做到不重不漏．
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