11.4 解一元一次不等式
一．选择题（共 3 小题）
1．已知 （m+4）x|m|﹣3+6＞0 是关于 x 的一元一次不等式，则 m 的值为（ ）
A．4 B．±4 C．3 D．±3
2．下列不等式中，属于一元一次不等式的是（ ）
A．4＞1 B．3x﹣2＜4 C． ＜2 D．4x﹣3＜2y﹣7
3．下列式子①7＞4；②3x≥2π+1；③x+y＞1；④x2+3＞2x；⑤ ＞4 中，是一元一次不等
式的有（ ）
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
二．填空题（共 13 小题）
4．若（m﹣2）x|3﹣m|+2≤7 是关于 x 的一元一次不等式，则 m＝ ．
5．不等式 3x≤x+4 的非负整数解是 ．
6．写出含有解为 x＝1 的一元一次不等式 （写出一个即可）．
7．不等式 3（x﹣1）≥5（x﹣3）+6 的正整数解是 ．
8．不等式 的所有自然数解的和等于 ．
9．不等式 2x﹣m≤0 的非负整数解只有 3 个，则 m 的取值范围是
10．对于任意实数 a、b，定义一种运算：a※b＝ab﹣a+b﹣2．例如，2※5＝2×5﹣2+5﹣2＝
11．请根据上述的定义解决问题：若不等式 3※x＜2，则不等式的正整数解是 ．
11．若不等式（m﹣3）x|m﹣2|+2＞0 是关于 x 的一元一次不等式，则 m 的值为 ．
12．关于 x 的不等式 3x﹣2m＜x﹣m 的正整数解为 1、2、3，则 m 取值范围是 ．
13．不等式 3﹣ ≥2+ 的非负整数解是 ．
14．若 x＝﹣3 是关于 x 的方程 x＝m+1 的解，则关于 x 的不等式 2（1﹣2x）≤1+m 的最小整
数解为 ．
15．不等式﹣2（x﹣3）＞1 的自然数解是 ．
16．解不等式：2x﹣9≤﹣x 的非负整数解有 个．
三．解答题（共 14 小题）
17．解不等式 ≥1，并把它的解集表示在数轴上．18．解不等式 2﹣ ＞ ，并把解集在数轴上表示出来；
19．解不等式： ﹣1，并把解集表示在数轴上．
20．阅读理解：我们把 称作二阶行列式，规定它的运算法则为 ＝ad﹣bc，例如
＝1×4﹣2×3＝﹣2，如果 ＞0，求 x 的取值范围，并在数轴上表示来．
21．已知关于 x，y 的二元一次方程组 的解满足不等式 x+y＜3，且实数 b 满足关
于 b 的一元一次不等式 3b﹣4＞2b﹣3．试比较实数 a，b 的大小．
22．解不等式，并把解集在数轴上表示．
﹣ ＜ ﹣2．
23．解不等式，并在数轴上表示它们的解集．
（1）2（1﹣x）＜x﹣2；
（2） ﹣ ≥ x﹣5．
24．已知关于 x，y 的方程组 的解满足不等式 x+ y≤3，求 m 的取值范围．
25．已知关于 x 的方程 x﹣1 的解比关于 x 的方程 2[x﹣2（4﹣2a）]＝ （x+a）
的解小 2，求 a 的值．
26．已知关于 x 的方程 3x+a＝x﹣7 的根是正数，求实数 a 的取值范围．
27．已知 x＝3 是关于 x 的不等式 3x﹣ 的解，求 a 的取值范围．
28．已知方程组 ，求 m 为何值时，x＞y．
29．已知关于 x，y 的二元一次方程组 的解满足 x+y＜3，求满足条件的 m 的所
有非负整数值．
30．m 为何值时，关于 x 的方程 x﹣1＝6m+5（x﹣m）的解为非负数．参考答案与试题解析
一．选择题（共 3 小题）
1．已知 （m+4）x|m|﹣3+6＞0 是关于 x 的一元一次不等式，则 m 的值为（ ）
A．4 B．±4 C．3 D．±3
【分析】根据一元一次不等式的定义，|m|﹣3＝1，m+4≠0，分别进行求解即可．
【解答】解：根据题意|m|﹣3＝1，m+4≠0 解得|m|＝4，m≠﹣4
所以 m＝4．
故选：A．
【点评】本题考查一元一次不等式的定义中的未知数的最高次数为 1 次，本题还要注意未知
数的系数不能是 0．
2．下列不等式中，属于一元一次不等式的是（ ）
A．4＞1 B．3x﹣2＜4 C． ＜2 D．4x﹣3＜2y﹣7
【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的次数是 1，可得答案．
【解答】解：A、是不等式，故 A 错误；
B、是一元一次不等式，故 B 正确；
C、是分式不等式，故 C 错误；
D、是二元一次不等式，故 D 错误；
故选：B．
【点评】本题主要是对一元一次不等式定义的“未知数的最高次数为 1 次”这一条件的考
查．
3．下列式子①7＞4；②3x≥2π+1；③x+y＞1；④x2+3＞2x；⑤ ＞4 中，是一元一次不等
式的有（ ）
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
【分析】根据一元一次不等式的定义求解即可．
【解答】解：②3x≥2π+1 是一元一次不等式，
故选：D．
【点评】本题考查一元一次不等式的定义中的未知数的最高次数为 1 次，本题还要注意未知
数的系数不能是 0．二．填空题（共 13 小题）
4．若（m﹣2）x|3﹣m|+2≤7 是关于 x 的一元一次不等式，则 m＝ 4 ．
【分析】根据一元一次不等式的定义即可求出答案．
【解答】解：由一元一次不等式的定义可知：
解得：m＝4
故答案为：4
【点评】本题考查一元一次不等式的定义，解题的关键是正确理解一元一次不等式的定义，
本题属于基础题型．
5．不等式 3x≤x+4 的非负整数解是 0，1，2 ．
【分析】首先求出不等式的解集，然后求得不等式的非负整数解．
【解答】解：解不等式 3x≤x+4 得，x≤2，
∴不等式 3x≤x+4 的非负整数解是 0，1，2，
故答案为：0，1，2．
【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关
键．解不等式应根据不等式的基本性质．
6．写出含有解为 x＝1 的一元一次不等式 x＞0（答案不唯一） （写出一个即可）．
【分析】根据一元一次不等式的定义写出的一元一次不等式的解集含有 x＝1 即可．
【解答】解：例如：x＞0（答案不唯一）．
故答案为：x＞0（答案不唯一）．
【点评】本题考查的是一元一次不等式的定义，即有一个未知数，未知数的次数是 1 的不等
式，叫做一元一次不等式．
7．不等式 3（x﹣1）≥5（x﹣3）+6 的正整数解是 1，2，3 ．
【分析】先求出不等式的解集，在取值范围内可以找到正整数解．
【解答】解：3（x﹣1）≥5（x﹣3）+6
3x﹣3≥5x﹣15+6，
3x﹣5x≥﹣15+6+3，
﹣2x≥﹣6，
∴x≤3
所以不等式 3（x﹣1）≥5（x﹣3）+6 的正整数解为：1，2，3．【点评】本题考查不等式的解法及整数解的确定．解不等式要用到不等式的性质：（1）不
等式的两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或
除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边乘（或除以）同一个负数，
不等号的方向改变．
8．不等式 的所有自然数解的和等于 3 ．
【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的自然数
数即可．
【解答】解：2（x﹣2）﹣3（1﹣x）＜8，
2x﹣4﹣3+3x＜8，
2x+3x＜8+4+3，
5x＜15，
x＜3，
∴不等式的所有自然数解的和为 0+1+2＝3，
故答案为：3．
【点评】本题考查了不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关键．解不等
式应根据不等式的基本性质．
9．不等式 2x﹣m≤0 的非负整数解只有 3 个，则 m 的取值范围是 4≤m＜6
【分析】首先确定不等式组的解集，先利用含m 的式子表示，根据非负整数解的个数就可以
确定有哪些整数解，根据解的情况可以得到关于 m 的不等式，从而求出 m 的范围．
【解答】解：解不等式 2x﹣m≤0，得：x≤ ，
∵不等式 2x﹣m≤0 的非负整数解只有 3 个，
∴不等式得非负整数解为 0、1、2，
则 2≤ ＜3，
解得：4≤m＜6，
故答案为：4≤m＜6．
【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解出不等式的解集，正确确定 的范围
是解决本题的关键．解不等式时要用到不等式的基本性质．
10．对于任意实数 a、b，定义一种运算：a※b＝ab﹣a+b﹣2．例如，2※5＝2×5﹣2+5﹣2＝11．请根据上述的定义解决问题：若不等式 3※x＜2，则不等式的正整数解是 1 ．
【分析】根据新定义可得出关于 x 的一元一次不等式，解之取其中的正整数即可得出结
论．
【解答】解：∵3※x＝3x﹣3+x﹣2＜2，
∴x＜ ，
∵x 为正整数，
∴x＝1．
故答案为：1．
【点评】本题考查一元一次不等式的整数解以及实数的运算，通过解不等式找出x＜ 是解
题的关键．
11．若不等式（m﹣3）x|m﹣2|+2＞0 是关于 x 的一元一次不等式，则 m 的值为 1 ．
【分析】利用一元一次不等式的定义判断即可确定出 m 的值．
【解答】解：∵不等式（m﹣3）x|m﹣2|+2＞0 是关于 x 的一元一次不等式，
∴|m﹣2|＝1，且 m﹣3≠0，
解得：m＝3（舍去）或 m＝1，
则 m 的值为 1，
故答案为：1
【点评】此题考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次不等式的定义是解本题的关
键．
12．关于 x 的不等式 3x﹣2m＜x﹣m 的正整数解为 1、2、3，则 m 取值范围是 6＜ m≤
8 ．
【分析】先表示出不等式 3x﹣2m＜x﹣m 的解集，再由正整数解为 1、2、3，可得出 3＜ ≤
4，解出即可．
【解答】解：解不等式得：x＜ ，
∵不等式的正整数解为 1、2、3，
∴3＜ ≤4
解得：6＜m≤8，
故答案为 6＜m≤8．【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，解答本题的关键是得出关于 m 的不等式．
13．不等式 3﹣ ≥2+ 的非负整数解是 0，1，2 ．
【分析】先求出不等式的解集，再求出整数解即可．
【解答】解：3﹣ ≥2+ ，
24﹣2（x﹣1）≥16+3（x﹣1），
24﹣2x+2≥16+3x﹣3，
﹣2x﹣3x≥16﹣3﹣24﹣2，
﹣5x≥﹣13，
x≤2.6，
所以不等式的非负整数解是 0，1，2，
故答案为：0，1，2．
【点评】本题考查了解一元一次不等式和不等式的整数解，能根据不等式的性质求出不等式
的解集是解此题的关键．
14．若 x＝﹣3 是关于 x 的方程 x＝m+1 的解，则关于 x 的不等式 2（1﹣2x）≤1+m 的最小整
数解为 2 ．
【分析】直接根据题意得出 m 的值，再利用不等式解法得出答案．
【解答】解：∵x＝﹣3 是关于 x 的方程 x＝m+1 的解，
∴﹣3＝m+1，
解得：m＝﹣4，
∵2（1﹣2x）≤1+m，
∴2﹣4x≤1﹣4，
解得：x≥ ，
故最小整数解为 2．
故答案为：2．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的整数解，正确得出 m 的值是解题关键．
15．不等式﹣2（x﹣3）＞1 的自然数解是 0，1，2 ．
【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的自然数
解即可．
【解答】解：﹣2x+6＞1﹣2x＞1﹣6
﹣2x＞﹣5
x＜2.5
所以不等式﹣2（x﹣3）＞1 的自然数解是 0，1，2；
故答案为：0，1，2
【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关
键．解不等式应根据不等式的基本性质．
16．解不等式：2x﹣9≤﹣x 的非负整数解有 4 个．
【分析】首先利用不等式的基本性质解不等式，再从不等式的解集中找出适合条件的非负整
数即可得到结论．
【解答】解：2x﹣9≤﹣x，
2x+x≤9，
3x≤9，
x≤3，
所以不等式：2x﹣9≤﹣x 的非负整数解有 0，1，2，3 四个，
故答案为 4．
【点评】本题考查了一元一次不等式的整数解，正确解不等式，求出解集是解答本题的关
键．解不等式应根据不等式的基本性质．同时考查了解一元一次方程．
三．解答题（共 14 小题）
17．解不等式 ≥1，并把它的解集表示在数轴上．
【分析】先去分母，再去括号，移项、合并同类项，把 x 的系数化为 1 即可．
【解答】解：去分母，得：2（2x﹣1）﹣3（3x﹣1）≥6，
去括号，得：4x﹣2﹣9x+3≥6，
移项，得：4x﹣9x≥6+2﹣3，
合并同类项，得：﹣5x≥5，
系数化为 1，得：x≤﹣1，
将不等式的解集表示在数轴上如下：【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的
关键．
18．解不等式 2﹣ ＞ ，并把解集在数轴上表示出来；
【分析】根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项可得．
【解答】解：去分母，得：12﹣3（x+4）＞2（1﹣x），
去括号，得：12﹣3x﹣12＞2﹣2x，
移项，得：﹣3x+2x＞2﹣12+12，
合并同类项，得：﹣x＞2，
系数化为 1，得：x＜﹣2，
将解集表示在数轴上如下：
【点评】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，
尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
19．解不等式： ﹣1，并把解集表示在数轴上．
【分析】先去分母，再去括号，移项、合并同类项，把 x 的系数化为 1 即可．
【解答】解：去分母，得：4（2x﹣1）≤3（3x+2）﹣12，
去括号，得：8x﹣4≤9x+6﹣12，
移项，得：8x﹣9x≤6﹣12+4，
合并同类项，得：﹣x≤﹣2，
系数化为 1，得：x≥2，
将解集表示在数轴上如下：
【点评】本题考查的是解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的基本步骤是解答此题的
关键．
20．阅读理解：我们把 称作二阶行列式，规定它的运算法则为 ＝ad﹣bc，例如
＝1×4﹣2×3＝﹣2，如果 ＞0，求 x 的取值范围，并在数轴上表示来．【分析】根据二阶行列式的运算法则，列出关于x 的一元一次不等式，解之并将 x 的取值范
围在数轴上表示出来即可．
【解答】解：根据题意得：
2x﹣（3﹣x）＞0，
2x﹣3+x＞0，
3x＞3，
x＞1，
x 的取值范围在数轴上表示如下：
【点评】本题考查解一元一次不等式，有理数的混合运算和在数轴上表示不等式的解集，正
确找出不等关系，列出一元一次不等式是解题的关键．
21．已知关于 x，y 的二元一次方程组 的解满足不等式 x+y＜3，且实数 b 满足关
于 b 的一元一次不等式 3b﹣4＞2b﹣3．试比较实数 a，b 的大小．
【分析】用加减消元法解二元一次方程组，得到含有 a 的 x 和 y 的值，根据“x+y＜3”，列
出关于 a 的一元一次不等式，解之即可求得 a 的取值范围，根据“3b﹣4＞2b﹣3”，解之
即可得到 b 的取值范围，即可得到答案．
【解答】解： ，
解得： ，
∵x+y＜3，
∴2a+1+2a﹣2＜3，
解得：a＜1，
解 3b﹣4＞2b﹣3 得：b＞1，
即 a＜b．
【点评】本题考查解一元一次不等式和解二元一次方程组，解题的关键是掌握解一元一次不
等式和二元一次方程组的方法．
22．解不等式，并把解集在数轴上表示．
﹣ ＜ ﹣2．【分析】不等式去分母，去括号，移项合并，把x 系数化为 1，求出解集，表示在数轴上即
可．
【解答】解：去分母得：2x﹣2﹣x﹣2＜3x﹣12，
移项合并得：﹣2x＜﹣8，
解得：x＞4，
【点评】此题考查了解一元一次不等式，以及在数轴上表示不等式的解集，熟练掌握运算法
则是解本题的关键．
23．解不等式，并在数轴上表示它们的解集．
（1）2（1﹣x）＜x﹣2；
（2） ﹣ ≥ x﹣5．
【分析】（1）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中
间找、大大小小无解了确定不等式组的解集；
（2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、
大大小小无解了确定不等式组的解集．
【解答】解：（1）去括号，得 2﹣2x＜x﹣2，
移项，得﹣2x﹣x＜﹣2﹣2，
合并同类项，得﹣3x＜﹣4，
系数化为 1，得 x＞ ．
在数轴上表示解集如下：
（2）去分母，得 4（2x﹣1）﹣2（10x+1）≥15x﹣60，
去括号，得 8x﹣4﹣20x﹣2≥15x﹣60，
移项，得 8x﹣20x﹣15x≥﹣60+4+2，
合并同类项，得﹣27x≥﹣54，
系数化为 1，得 x≤2．在数轴上表示解集如下：
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同
大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
24．已知关于 x，y 的方程组 的解满足不等式 x+ y≤3，求 m 的取值范围．
【分析】先解方程组，求得 x+3y 的值，再根据 x+ y≤3，解不等式即可．
【解答】解： ，
②﹣①得：x+3y＝m﹣3，
由 x+ y≤3 得 x+3y≤6，
∴m﹣3≤6，
解得 m≤9．
故 m 的取值范围是 m≤9．
【点评】本题考查了一元一次不等式和二元一次方程组的综合题，是中档题，难度适中．
25．已知关于 x 的方程 x﹣1 的解比关于 x 的方程 2[x﹣2（4﹣2a）]＝ （x+a）
的解小 2，求 a 的值．
【分析】分别求得关于 x 的方程 x﹣1、2[x﹣2（4﹣2a）]＝ （x+a）的解，然后
根据题意列出关于 a 的方程，通过解方程求得 a 的值．
【解答】解：∵ x﹣1，
∴x＝6a﹣6；
∵2[x﹣2（4﹣2a）]＝ （x+a），
∴x＝ ﹣5a；
∵方程 x﹣1 的解比关于 x 的方程 2[x﹣2（4﹣2a）]＝ （x+a）的解小 2，
∴6a﹣6+2＝ ﹣5a，
解得：a＝ ．
【点评】此题考查了一元一次方程的解，方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．26．已知关于 x 的方程 3x+a＝x﹣7 的根是正数，求实数 a 的取值范围．
【分析】首先解方程得出 x 的值，进而求出 a 的取值范围．
【解答】解：3x+a＝x﹣7
则 3x﹣x＝﹣a﹣7
解得：x＝ ，
∵关于 x 的方程 3x+a＝x﹣7 的根是正数，
∴ ＞0，
解得：a＜﹣7．
【点评】此题主要考查了解一元一次不等式以及一元一次方程的解，正确解方程与不等式是
解题关键．
27．已知 x＝3 是关于 x 的不等式 3x﹣ 的解，求 a 的取值范围．
【分析】将 x＝3 代入不等式，再求 a 的取值范围．
【解答】解：∵x＝3 是关于 x 的不等式 3x﹣ 的解，
∴9﹣ ＞2，
解得 a＜4．
故 a 的取值范围是 a＜4．
【点评】本题考查了不等式的解的定义及一元一次不等式的解法，根据不等式的解的定义得
出 9﹣ ＞2 是解题的关键．
28．已知方程组 ，求 m 为何值时，x＞y．
【分析】首先用含有 m 的代数式分别表示出 x，y 的值，再根据题意分别列出一元一次不等
式进行解答，据此即可得解．
【解答】解：
②×2﹣①得：x＝m﹣3，
将 x＝m﹣3 代入②得：y＝﹣m+5，
x＞y 即：m﹣3＞﹣m+5
解这个不等式得：m＞4，
所以当 m＞4 时，x＞y．【点评】本题主要考查了二元一次方程组的解法，以及一元一次不等式的解法，是比较简单
的题目．
29．已知关于 x，y 的二元一次方程组 的解满足 x+y＜3，求满足条件的 m 的所
有非负整数值．
【分析】方程组两方程相加表示出x+y，代入已知不等式求出 m 的范围，确定出 m 的所有非
负整数解即可．
【解答】解：
①+②得：4x＝4m+8
∴x＝m+2，
把 x＝m+2 代入②得 m+2﹣y＝6
∴y＝m﹣4，
∴x+y＝（m+2）+（m﹣4）＝2m﹣2，
∵x+y＜3
∴2m﹣2＜3，
∴ ，
所以满足条件的 m 的所有非负整数值为：0，1，2．
【点评】此题考查了二元一次方程组的解，以及一元一次不等式的整数解，熟练掌握运算法
则是解本题的关键．
30．m 为何值时，关于 x 的方程 x﹣1＝6m+5（x﹣m）的解为非负数．
【分析】先求出方程的解，根据题意得出不等式，求出不等式的解集即可．
【解答】解：解方程 x﹣1＝6m+5（x﹣m）得：x＝﹣ ，
∵方程的解为非负数，
∴﹣ ≥0，
解得：m≤1，
所以当 m≤1 时，关于 x 的方程 x﹣1＝6m+5（x﹣m）的解为非负数．
【点评】本题考查了解一元一次方程和解一元一次不等式，能得出关于m 的不等式是解此题
的关键．
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