2020年中考数学二轮复习重难题型突破类型二与切线有关的证明与计算.doc

1 类型二 与切线有关的证明与计算 例 1、如图，在△ABC 中，AB＝AC，点 D 在 BC 上，BD＝DC，过点 D 作 DE⊥AC，垂足为 E，⊙O 经过 A，B，D 三点． (1)求证：AB 是⊙O 的直径； (2)判断 DE 与⊙O 的位置关系，并加以证明； (3)若⊙O 的半径为 3，∠BAC＝60°，求 DE 的长． 【分析】：(1)连接 AD，证 AD⊥BC 可得；(2)连接 OD，利用中位线定理得到 OD 与 AC 平 行，可证∠ODE 为直角，由 OD 为半径，可证 DE 与圆 O 相切；(3)连接 BF，先证三角形 ABC 为等边三角形，再求出 BF 的长，由 DE 为三角形 CBF 中位线，即可求出 DE 的长． 【答案】：(1)连接 AD，∵AB＝AC，BD＝DC，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴AB 为圆 O 的直径 (2)DE 与圆 O 相切，证明：连接 OD，∵O，D 分别为 AB，BC 的中点，∴OD 为△ABC 的中 位线，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∵OD 为圆的半径，∴DE 与圆 O 相切 (3)∵AB＝AC，∠BAC＝60°，∴△ABC为等边三角形，∴AB＝AC＝BC＝6，连接 BF，∵AB 为圆 O 的直径，∴∠AFB＝∠DEC＝90°，∴AF＝CF＝3，DE∥BF，∵D 为 BC 的中点，∴E 为 CF 的中点，即 DE 为△BCF 中位线，在 Rt△ABF 中，AB＝6，AF＝3，根据勾股定理得 BF＝ 62－32＝3 3，则 DE＝ 1 2BF＝ 3 3 2 例 2、如图，△ABC 内接于⊙O，BD 为⊙O 的直径，BD 与 AC 相交于点 H，AC 的延长线与 过点 B 的直线相交于点 E，且∠A＝∠EBC. (1)求证：BE 是⊙O 的切线； (2)已知 CG∥EB，且 CG 与 BD，BA 分别相交于点 F，G，若 BG·BA＝48，FG＝ 2，DF＝ 2BF，求 AH 的值． 【分析】：(1)证∠EBD＝90°即可；(2)由△ABC∽△CBG 得 BC BG＝ AB BC，可求出 BC，再由2 △BFC∽△BCD 得 BC2＝BF·BD，可求出 BF，再求出 CF，CG，GB，通过计算发现 CG＝AG，可 证 CH＝CB，即可求出 AC. 【答案】：(1)连接 CD，∵BD 是直径，∴∠BCD＝90°，即∠D＋∠CBD＝90°，∵∠A＝ ∠D，∠A＝∠EBC，∴∠CBD＋∠EBC＝90°，∴BE⊥BD，∴BE 是⊙O 切线 (2)∵CG∥EB，∴∠BCG＝∠EBC，∴∠A＝∠BCG，又∵∠CBG＝∠ABC，∴△ABC∽△CBG， ∴ BC BG＝ AB BC，即 BC2＝BG·BA＝48，∴BC＝4 3，∵CG∥EB，∴CF⊥BD，∴△BFC∽△BCD，∴BC2 ＝BF·BD，∵DF＝2BF，∴BF＝4，在 Rt△BCF 中，CF＝ BC2－FB2＝4 2，∴CG＝CF＋FG＝ 5 2，在 Rt△BFG 中，BG＝ BF2＋FG2＝3 2，∵BG·BA＝48，∴BA＝8 2，∴AG＝5 2， ∴CG＝AG，∴∠A＝∠ACG＝∠BCG，∠CFH＝∠CFB＝90°，∴∠CHF＝∠CBF，∴CH＝CB＝ 4 3，∵△ABC∽△CBG，∴ AC CG＝ BC BG，∴AC＝ CB·CG BG ＝ 20 3 3 ，∴AH＝AC－CH＝ 8 3 3 例 3、如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，对角线 AC 为⊙O 的直径，过点 C 作 AC 的垂线交 AD 的延长线于点 E，点 F 为 CE 的中点，连接 DB，DC，DF. (1)求∠CDE 的度数； (2)求证：DF 是⊙O 的切线； (3)若 AC＝2 5DE，求 tan∠ABD 的值． 【答案】：(1)∵对角线 AC 为⊙O 的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠EDC＝90° (2)连接 DO，∵∠EDC＝90°，F 是 EC 的中点，∴DF＝FC，∴∠FDC＝∠FCD，∵OD＝OC， ∴∠OCD＝∠ODC，∵∠OCF＝90°，∴∠ODF＝∠ODC＋∠FDC＝∠OCD＋∠DCF＝∠OCF＝90°， ∴DF 是⊙O 的切线 (3)∵∠E＋∠DCE＝90°，∠DCA＋∠DCE＝90°，∴∠DCA＝∠E，又∵∠ADC＝∠CDE＝ 90°，∴△CDE∽△ADC，∴ DC AD＝ DE DC，∴DC2＝AD·DE.设 DE＝x，则 AC＝2 5x，AC2－AD2＝DC2 ＝AD·DE，即(2 5x)2－AD2＝AD·x，整理得 AD2＋AD·x－20x2＝0，解得 AD＝4x 或 AD＝－ 5x(舍去)，则 DC＝ （2 5x）2－（4x）2＝2x，故 tan∠ABD＝tan∠ACD＝ AD DC＝ 4x 2x＝2 例 4、如图，在矩形 ABCD 中，点 O 在对角线 AC 上，以 OA 的长为半径的圆 O 与 AD，AC 分别交于点 E，F，且∠ACB＝∠DCE. (1)判断直线 CE 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论；3 (2)若 tan∠ACB＝ 2 2 ，BC＝2，求⊙O 的半径． 【答案】：(1)直线 CE 与⊙O 相切. 理由如下：∵四边形 ABCD 是矩形，∴BC∥AD，∴∠ACB ＝∠DAC，又∵∠ACB＝∠DCE，∴∠DAC＝∠DCE，连接 OE，有 OA＝OE，则∠DAC＝∠AEO＝ ∠DCE.∵∠DCE＋∠DEC＝90°，∴∠AEO＋∠DEC＝90°，∴∠OEC＝90°，即 OE⊥CE.又 OE 是 ⊙O 的 半 径 ， ∴ 直 线 CE 与 ⊙O 相 切 　 (2)∵tan∠ACB ＝ AB BC＝ 2 2 ， BC ＝ 2 ， ∴AB ＝ BC·tan∠ACB＝ 2，∴AC＝ 6.又∵∠ACB＝∠DCE，∴tan∠DCE＝tan∠ACB＝ 2 2 ，∴DE＝ DC·tan∠DCE＝1.在 Rt△CDE 中，CE＝ CD2＋DE2＝ 3，设⊙O 的半径为 r，则在 Rt△COE 中，CO2＝OE2＋CE2，即( 6－r)2＝r2＋3，解得 r＝ 6 4 　　　　　　　　　　　　　　　　 例 5、如图，已知 AB 为⊙O 的直径，AC 为⊙O 的切线，OC 交⊙O 于点 D，BD 的延长线交 AC 于点 E. (1)求证：∠1＝∠CAD； (2)若 AE＝EC＝2，求⊙O 的半径． 【答案】：(1)∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°，∴∠ADO＋∠BDO＝90°，∵AC为⊙O 的切线，∴OA⊥AC，∴∠OAD＋∠CAD＝90°，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵∠1＝∠BDO， ∴∠1＝∠CAD (2)∵∠1＝∠CAD，∠C＝∠C，∴△CAD∽△CDE，∴CD∶CA＝CE∶CD，∴CD2＝CA·CE， ∵AE＝EC＝2，∴AC＝AE＋EC＝4，∴CD＝2 2，设⊙O 的半径为 x，则 OA＝OD＝x，在 Rt△AOC 中，OA2＋AC2＝OC2，∴x2＋42＝(2 2＋x)2，解得 x＝ 2，∴⊙O 的半径为 2 例 6、如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，AD 是⊙O 的直径，且 BD＝BC，延长 AD 到 E，4 且有∠EBD＝∠CAB. (1)求证：BE 是⊙O 的切线； (2)若 BC＝ 3，AC＝5，求圆的直径 AD 及切线 BE 的长． 【答案】：(1)连接 OB，∵BD＝BC，∴∠CAB＝∠BAD，∵∠EBD＝∠CAB，∴∠BAD＝ ∠EBD，∵AD 是⊙O 的直径，∴∠ABD＝90°，OA＝OB，∴∠BAD＝∠ABO，∴∠EBD＝∠ABO， ∴∠OBE＝∠EBD＋∠OBD＝∠ABO＋∠OBD＝∠ABD＝90°，∵点 B 在⊙O 上，∴BE 是⊙O 的切 线 (2)设圆的半径为 R，连接 CD，∵AD 为⊙O 的直径，∴∠ACD＝90°，∵BC＝BD， ∴OB⊥CD，∴OB∥AC，∵OA＝OD，∴OF＝ 1 2AC＝ 5 2，∵四边形 ACBD 是圆内接四边形，∴∠BDE ＝∠ACB，∵∠DBE＝∠CAB，∴△DBE∽△CAB，∴ DB CA＝ DE CB，∴ 3 5 ＝ DE 3，∴DE＝ 3 5，∵∠OBE＝ ∠OFD＝90°，∴DF∥BE，∴ OF OB＝ OD OE，∴ 5 2 R＝ R R＋ 3 5 ，∵R＞0，∴R＝3，∴AB＝ AD2－BD2＝ 33，∵ AC AB＝ BD BE，∴BE＝ 3 11 5 例 7、如图，CD 是⊙O 的直径，AB 是⊙O 的弦，AB⊥CD，垂足为 G，OG∶OC＝3∶5，AB＝ 8. (1)求⊙O 的半径； (2)点 E 为圆上一点，∠ECD＝15°，将CE︵ 沿弦 CE 翻折，交 CD 于点 F，求图中阴影部分 的面积． 【答案】：(1)连接 AO，∵CD 为⊙O 的直径，AB⊥CD，AB＝8，∴AG＝4，∵OG∶OC＝5 3∶5，∴设⊙O 的半径为 5k，则 OG＝3k，∴(3k)2＋42＝(5k)2，解得 k＝1 或 k＝－1(舍去)，∴5k ＝5，即⊙O 的半径是 5 (2)将阴影部分沿 CE 翻折，点 F 的对应点为 M，∵∠ECD＝15°，由对称性可知，∠DCM ＝30°，S 阴影＝S 弓形 CBM，连接 OM，则∠MOD＝60°，∴∠MOC＝120°，过点 M 作 MN⊥CD 于 点 N，∴MN＝MO·sin60°＝5× 3 2 ＝ 5 3 2 ，∴S 阴影＝S 扇形 OMC－S△OMC＝ 120 × π × 52 360 － 1 2 ×5× 5 3 2 ＝ 25π 3 － 25 3 4 ，即图中阴影部分的面积是 25π 3 － 25 3 4 例 8、如图，在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝CB，以 AB 为直径的⊙O 交 AC 于点 D， 点 E 是 AB 边上一点(点 E 不与点 A，B 重合)，DE 的延长线交⊙O 于点 G，DF⊥DG，且交 BC 于点 F. (1)求证：AE＝BF； (2)连接 GB，EF，求证：GB∥EF； (3)若 AE＝1，EB＝2，求 DG 的长． 【答案】：(1)连接 BD，在Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝BC，∴∠A＝∠C＝45°，∵AB 为圆 O 的直径，∴∠ADB＝90°，即BD⊥AC，∴AD＝DC＝BD＝ 1 2AC，∠CBD＝∠C＝45°，∴∠A ＝∠FBD，∵DF⊥DG，∴∠FDG＝90°，∴∠FDB＋∠BDG＝90°，又∵∠EDA＋∠BDG＝90°， ∴∠EDA＝∠FDB，可证△AED≌△BFD(ASA)，∴AE＝BF (2)连接 EF，BG，∵△AED≌△BFD，∴DE＝DF，∵∠EDF＝90°，∴△EDF 是等腰直角三 角形，∴∠DEF＝45°，∵∠G＝∠A＝45°，∴∠G＝∠DEF，∴GB∥EF (3)∵AE＝BF，AE＝1，∴BF＝1，在 Rt△EBF 中，∠EBF＝90°，∴根据勾股定理得 EF2 ＝EB2＋BF2，∵EB＝2，BF＝1，∴EF＝ 22＋12＝ 5，∵△DEF 为等腰直角三角形，∠EDF＝ 90°，∴cos∠DEF＝ DE EF＝ 2 2 ，∵EF＝ 5，∴DE＝ 5× 2 2 ＝ 10 2 ，∵∠G＝∠A，∠GEB＝∠AED， ∴△GEB∽△AED，∴ GE AE＝ EB ED，即 GE·ED＝AE·EB，∴ 10 2 ·GE＝2，∴GE＝ 2 10 5 ，则 GD＝GE ＋ED＝ 9 10 10