1
类型二 新运算型
1．定义一种运算
例 1 规定一种新的运算： ，则 ．
【解答】解：把 代入式子 计算即可： ．
2．定义一个规则
例 2 为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密）；接收方由密文→
明文（解密）.已知加密规则为：明文 对应密文， .例如：
明文 1，2，3，4 对应的密文 5，7，18，16.当接收方收到密文 14，9，23，28 时，则解密
得到的明文为（ ）
A．4，6，1，7 B．4，1，6，7 C．6，4，1，7 D．1，6，4，7
【解答】解：根据对应关系， 可以求得 ；代入 得 ；
在代入 得 ；代入 得 ．故选 C．
3．定义一种变换
例 3 把一个图形先沿着一条直线进行轴对称变换，再沿着与这条直线平行的方向平移，
我们把这样的图形变换叫做滑动对称变换．在自然界和日常生活中，大量地存在这种图形变
换（如图甲）．结合轴对称变换和平移变换的有关性质，你认为在滑动对称变换过程中，两
个对应三角形（如图乙）的对应点所具有的性质是( )
A．对应点连线与对称轴垂直
B．对应点连线被对称轴平分
C．对应点连线被对称轴垂直平分
D．对应点连线互相平行
【解答】：D
4．定义一类数
例 4 定义 为一次函数 的特征数．
（1）若特征数是 的一次函数为正比例函数，求 的值；
（2）设点 分别为抛物线 与 轴的交点，其中 ，且
的面积为 4， 为原点，求图象过 两点的一次函数的特征数．
【解答】解：（1） 特征数为 的一次函数为 ，
， ．
baba 11 +=⊗ =⊗ 21
baba 11 +=⊗ =⊗ 2121 == ba ，
2
3
dcba ,,, ddccbba 4,32,2,2 +++
284 =d 7=d 2332 =+ dc 1=c
92 =+ cb 4=b 142 =+ ba 6=a
[ ]p q， y px q= +
[ ]2 2k −， k
A B， ( )( 2)y x m x= + − x y， 0m > OAB△
O A B，
[2 2]k −， 2 2y x k= + −
2 0k∴ − = 2k∴ =2
（2） 抛物线与 轴的交点为 ，
与 轴的交点为 ．
若 ，则 ；
若 ，则 ．
当 时，满足题设条件．
此时抛物线为 ．
它与 轴的交点为 ，与 轴的交点为 ，
一次函数为 或 ，
特征数为 或 ．
5．定义一个函数
例 5 设 关 于 的 一 次 函 数 与 ， 则 称 函 数
（其中 ）为此两个函数的生成函数．
（1）当 时，求函数 与 的生成函数的值；
（2）若函数 与 的图象的交点为 ，判断点 P 是否在此两个函
数的生成函数的图象上，并说明理由．
【解答】解：（1）当 时，
（2）点 在此两个函数的生成函数的图象上，
设点 的坐标为 ，
∵ ，
∴当 时， ，
，
即点 在此两个函数的生成图象上．
6．定义一个公式
例 6 阅读材料：如图 1，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧
两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫
△ABC 的“铅垂高(h)”.我们可得出
一种计算三角形面积的新方法： ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的
一半．
x 1 2( 0) (2 0)A m A− ，， ，
y (0 2 )B m−，
1
4OBAS =△ 2,422
1 ==⋅ mmm
2
4OBAS =△ 2,4222
1 ==×× mm
∴ 2m =
∴ ( 2)( 2)y x x= + −
x ( 2 0) (2 0)− ，，， y (0 4)−，
∴ 2 4y x= − − 2 4y x= −
∴ [ 2 4]− −， [2 4]−，
x 11 bxay += 22 bxay +=
)()( 2211 bxanbxamy +++= 1=+ nm
1=x 1+= xy xy 2=
11 bxay += 22 bxay += P
1=x ( ) 2222)2()1( =+=+=++= nmnmxnxmy
P
P ( )ba,
bbaabbaa =+×=+× 2211 ,
ax = )()( 2211 bxanbxamy +++=
( ) bnmbnbmbbaanbaam =+=+=+×++×= )()( 2211
P
ahS ABC 2
1=∆3
解答下列问题：
如图 2，抛物线顶点坐标为点 C(1,4),交 x 轴于点 A(3,0)，交 y 轴于点 B.
（1）求抛物线和直线 AB 的解析式；
（2）点 P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结 PA，PB，当 P 点运动到顶点 C 时，
求△CAB 的铅垂高 CD 及 ；
（3）是否存在一点 P，使 S△PAB= S△CAB，若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理
由.
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为：
把 A（3,0）代入解析式求得
所以
设直线 AB 的解析式为：
由 求得 B 点的坐标为
把 ， 代入 中
解得： ，所以
（2）因为 C 点坐标为(１,4)
所以当 x＝１时，y1＝4，y2＝2，所以 CD＝4-2＝2
（平方单位）
（3）假设存在符合条件的点 P，设 P 点的横坐标为 x，△PAB 的铅垂高为 h，
则
由 S△PAB= S△CAB，得：
322
1 ++−= xxy )3,0(
)0,3(A )3,0(B bkxy +=2
3,1 =−= bk 32 +−= xy
3232
1 =××=∆CABS
xxxxxyyh 3)3()32( 22
21 +−=+−−++−=−=
8
9 38
9)3(32
1 2 ×=+−×× xx
B
C
铅垂高
水平宽
h
a
图 1 图 2
x
C
O
y
A
B
D
1
1
CABS∆
8
9
( ) 41 2
1 +−= xay
1−=a
( ) 3241 22
1 ++−=+−−= xxxy
bkxy +=24
化简得： ，解得，
将 代入 中，解得 P 点坐标为
7．定义一个图形
7.1 定义“点”
例 7 联想三角形外心的概念，我们可引入如下概念．
定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．
举例：如图 1，若 PA=PB，则点 P 为△ABC 的准外心．
应用：如图 2，CD 为等边三角形 ABC 的高，准外心 P 在高 CD 上，且 PD= AB，求∠APB 的
度数．
探究：已知△ABC 为直角三角形，斜边 BC=5，AB=3，准外心 P 在 AC 边上，试探究 PA 的
长．
【解答】解：①若 PB=PC，连接 PB，则∠PCB=∠PBC，
∵CD 为等边三角形的高，∴AD=BD，∠PCB=30°，
∴∠PBD=∠PBC=30°，∴PD= DB= AB，
与已知 PD= AB 矛盾，∴PB≠PC，
②若 PA=PC，连接 PA，同理可得 PA≠PC，
③若 PA=PB，由 PD= AB，得 PD=BD，
∴∠APD=45°，故∠APB=90°；
探究：解：∵BC=5，AB=3，∴AC= ，
①若 PB=PC，设 PA=x，则 ，∴ ，即 PA= ，
09124 2 =+− xx 2
3=x
2
3=x 322
1 ++−= xxy
4
15
2
3，
1
2
3
3
3
6
1
2
1
2
2 2 2 2BC AB 5 3 4− = − =
2 2 23 (4 )x x+ = − 7
8x = 7
85
②若 PA=PC，则 PA=2，
③若 PA=PB，由图知，在 Rt△PAB 中，不可能．
故 PA=2 或 ．
7.2 定义“线”
例 8 如图，定义：若双曲线 y＝
k
x(k＞0)与它的其中一条对称轴 y＝x 相交于 A、B 两点，
则线段 AB 的长度为双曲线 y＝
k
x(k＞0)的对径．
（1）求双曲线 y＝
1
x的对径；
（2）若双曲线 y＝
k
x(k＞0)的对径是 10 2，求 k 的值；
（3）仿照上述定义，定义双曲线 y＝
k
x(k＜0)的对径．
【解答】解：过 A 点作 AC⊥x 轴于 C，如图，
(1)解方程组 ，得 ，
∴A 点坐标为(1，1)，B 点坐标为(－1，－1)，
∴OC＝AC＝1，∴OA＝ OC＝ ，
∴AB＝2OA＝ ， ∴双曲线 y＝ 的对径是 ；
(2)∵双曲线的对径为 ，即 AB＝ ，OA＝ ，
∴OA＝ OC＝ AC，∴OC＝AC＝5，∴点 A 坐标为(5，5)，
把 A(5，5)代入双曲线 y＝ (k＞0)得 k＝5×5＝25，
即 k 的值为 25；
(3)若双曲线 y＝ (k＜0)与它的其中一条对称轴 y＝－x 相交于 A、B 两点，
7
8
=
=
xy
xy 1
−=
−=
=
=
1
1,1
1
2
2
1
1
y
x
y
x
2 2
22 x
1 22
210 210 25
2 2
x
k
x
k6
O2
N
M
O1
N
M
B
A
P
O2
A
y
O
B
x
则线段 AB 的长称为双曲线 y＝ (k＞0)的对径．
7.3 定义“角”
例 9 如图，A、B 是⊙O 上的两个定点，P 是⊙O 上的动点（P 不与 A，B 重合），我们称∠APB
是⊙O 上关于 A、B 的滑动角．
（1）已知∠APB 是⊙O 上关于 A、B 的滑动角．
①若 AB 是⊙O 的直径，则∠APB= ；
②若⊙O 的半径是 1，AB= ，求∠APB 的度数.
（2）已知 O2 是⊙O1 外一点，以 O2 为圆心做一个圆与⊙O1 相交于 A、B 两点，∠APB 是⊙O1
上关于 A、B 的滑动角，直线 PA、PB 分别交⊙O2 于点 M、N（点 M 与点 A、点 N 与点 B
均不重合），连接 AN，试探索∠APB 与∠MAN、∠ANB 之间的数量关系．
【解答】解：（1）①∵AB 是⊙O 的直径，∴∠APB=90°.
②∵OA=OB=1, AB= ，∴OA2+OB2=1+1=2=AB2
∴△AOB 是直角三角形
∴∠AOB=90°.
∴∠APB= ∠AOB=45°
图 1 图 2
（2）当 P 在优弧 AB 上时，如图 1，这时∠MAN 是△PAN 的外角，
因而∠APB=∠MAN-∠ANB；
当 P 在劣弧 AB 上时，如图 2，这时∠APB 是△PAN 的外角，
因而∠APB=∠MAN+∠ANB；
7.4 定义“三角形”
例 10（2010 浙江绍兴）在平面直角坐标系中,一次函数的图象与坐标轴围成的三角形,叫
做此一次函数的坐标三角形.例如，图中的一次函数的
x
k
2
2
2
1 BA
0
P7
图象与 x,y 轴分别交于点 A,B,则△OAB 为此函数的坐标三角形．
（1）求函数 y＝ x＋3 的坐标三角形的三条边长；
（2）若函数 y＝ x＋b（b 为常数）的坐标三角形周长为 16, 求此三角形面积．
【解答】解：(1) ∵ 直线 y＝ x＋3 与 x 轴的交点坐标为（4,0），与 y 轴交点坐标为
（0,3），
∴函数 y＝ x＋3 的坐标三角形的三条边长分别为 3,4,5.
(2) 直线 y＝ x＋b 与 x 轴的交点坐标为（ ,0），与 y 轴交点坐标为（0,b），
当 b>0 时, ，得 b =4，此时，坐标三角形面积为 ；
当 b
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