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类型三 利润最值问题
例 1、不论自变量 x 取什么实数，二次函数 y=2x2－6x+m 的函数值总是正值，你认为 m 的
取值范围是 ，此时关于一元二次方程 2x2－6x+m=0 的解的情况是_____(填“有解”
或“无解”)
【答案】：有解
【解析】：
∵ ，要使 ，只有 ∴
例 2、小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线 的
一部分，如图所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离 L 是
______．
【答案】：4.5 米
【解析】：当 时，
， 或 （不合题意，舍去）
例 3、在距离地面 2m 高的某处把一物体以初速度 V0（m/s）竖直向上抛出，在不计空气阻
力的情况下，其上升高度 s（m）与抛出时间 t（s）满足：S=V0t- gt2（其中 g 是常数，
通常取 10m/s2），若 V0=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距离地面___m．
【答案】：7 米
【解析】：
当 时， ，所以，最高点距离地面 (米)．
例 4、影响刹车距离的最主要因素是汽车行驶的速度及路面的摩擦系数．有研究表明，晴
天在某段公路上行驶上，速度为 V（km/h）的汽车的刹车距离 S（m）可由公式 S= V2
确定；雨天行驶时，这一公式为 S= V2．如果车行驶的速度是 60km/h，那么在雨天行
1
2
2
9>m
2
9)2
3(2 2 −+−= mxy
0)2
3(2 2 ≥−x 0>y 02
9 >−m 2
9>m
21 3.55y x= − +
05.3=y 21 3.55y x= − + 05.3=
45.052 ×=x 5.1=x 5.1−=x
tts 105 2 +−= 5)1(5 2 +−−= t
1=t 5max =s 725 =+
1
100
1
502
驶和晴天行驶相比，刹车距离相差_______米．
【答案】：36
例 5、将进货单价为 70 元的某种商品按零售价 100 元售出时，每天能卖出 20 个．若这种
商品的零售价在一定范围内每降价 1 元，其日销售量就增加了 1 个，为了获得最大利润，
则应降价__元，最大利润为__________元．
【答案】：5 元,625 元
【解析】：设每件价格降价 元，利润为 元，
则：
当 ， （元）
答：价格提高 5 元，才能在半个月内获得最大利润．
例 6、如图，一小孩将一只皮球从 A 处抛出去，它所经过的路线是某个二次函数图象的一
部分，如果他的出手处 A 距地面的距离 OA 为 1 m，球路的最高点 B(8，9)，则这个二次
函数的表达式为______，小孩将球抛出了约______米(精确到 0.1 m) ．
【答案】：24.5 米
【解析】：设 ，将点 A 代入，得
令 ，得
x y
)20)(70100( xxy +−−=
600102 ++−= xx 625)5(( 2 +−−= x
5=x 625max =y
x
y
A
B
O
9)8( 2 +−= xay )1,0( 8
1−=a
128
19)8(8
1 22 ++−=+−−= xxxy
0=y 09)8(8
1 2 =+−−= xy
98)8( 2 ×=−x3
， ，∴ (米)
例 7、某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，市场调查反映：每涨价 1 元，
每星期少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多卖出 20 件，已知商品的进价为每件 40 元，
如何定价才能使利润最大？
【答案】：65 元
【解析】：设涨价（或降价）为每件 元，利润为 元，
为涨价时的利润， 为降价时的利润
则：
当 ，即：定价为 65 元时， （元）
当 ，即：定价为 57.5 元时， （元）
综合两种情况，应定价为 65 元时，利润最大．
例 8、某商店购进一批单价为 20 元的日用品，如果以单价 30 元销售，那么半个月内可以
售出 400 件．根据销售经验，提高单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高 1 元，销
售量相应减少 20 件．如何提高售价，才能在半个月内获得最大利润？
【答案】：5 元
【解析】：设每件价格提高 元，利润为 元，
则：
268 ±=x )0,268( +C 5.242688 ≈++=OC
x y
1y 2y
)10300)(4060(1 xxy −+−=
)60010(10 2 −−−= xx
6250)5(10 2 +−−= x
5=x 6250max =y
)20300)(4060(2 xxy +−−=
)15)(20(20 +−−= xx
6125)5.2(20 2 +−−= x
5.2=x 6125max =y
x y
)20400)(2030( xxy −−+=4
当 ， （元）
答：价格提高 5 元，才能在半个月内获得最大利润．
例 9、某旅行社组团去外地旅游，30 人起组团，每人单价 800 元．旅行社对超过 30 人的
团给予优惠，即旅行团每增加一人，每人的单价就降低 10 元．你能帮助分析一下，当旅
行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？
【答案】：55 人
【解析】：设旅行团有 人 ，营业额为 元，
则：
当 ， （元）
答：当旅行团的人数是 55 人时，旅行社可以获得最大营业额．
例 10、 某产品每件成本 10 元，试销阶段每件产品的销售价
(元)与产品的日销售量 (件)之间的关系如下表：
若日销售量 是销售价 的一次函数．
⑴求出日销售量 (件)与销售价 (元)的函数关系式；
⑵要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是
多少元？
【答案】：（1） ．（2）25 元，225 元
【解析】：⑴设一次函数表达式为 ．
x（元） 15 20 30 …
y（件） 25 20 10 …
)20)(10(20 −+−= xx
4500)5(20 2 +−−= x
5=x 4500max =y
x )30( ≥x y
)]30(10800[ −−= xxy
)110(10 −−= xx
30250)55(10 2 +−−= x
55=x 30250max =y
x
y
y x
y x
40+−= xy
bkxy +=5
则 解得 ，
即一次函数表达式为 ．
⑵ 设每件产品的销售价应定为 元，所获销售利润为 元
当 ， （元）
答：产品的销售价应定为 25 元时，每日获得最大销售利润为 225 元．
例 11、超市购进一批 20 元/千克的绿色食品，如果以30元/千克销售，那么每天可售出 400
千克．由销售经验知，每天销售量 (千克)与销售单价 (元)
( ）存在如下图所示的一次函数关系式．
⑴试求出 与 的函数关系式；
⑵设超市销售该绿色食品每天获得利润 P 元，当销售单价
为何值时，每天可获得最大利润？最大利润是多少？
⑶根据市场调查，该绿色食品每天可获利润不超过 4480 元，现该超市经理要求每
天利润不得低于 4180 元，请你帮助该超市确定绿色食品销售单价 的范围(直接写出
答案)．
【 答 案 】 ： （ 1 ） ．（ 2 ） 4500 （ 3 ） 31≤x≤34 或
36≤x≤39．
【解析】：⑴设 y=kx+b 由图象可知，
，
15 25,
2 20
k b
k b
+ =
+ =
=
−=
40
1
b
k
40+−= xy
x w
yxw )10( −= )40)(10( +−−= xx
400502 −+−= xx
225)25( 2 +−−= x
25=x 225max =y
y x
30≥x
y x
x
100020 +−= xy )5030( ≤≤ x
30 400 20, :40 200 1000
k b k
k b b
+ = = −
+ = =
解之得6
即一次函数表达式为 ．
⑵
∵ ∴P 有最大值．
当 时， （元）
（或通过配方， ，也可求得最大值）
答：当销售单价为 35 元/千克时，每天可获得最大利润 4500 元．
⑶∵ ，
∴31≤x≤34 或 36≤x≤39．
例 12、某果品批发公司为指导今年的樱桃销售，对往年的市场销售情况进行了调查统计，
得到如下数据：
销售价 x（元/千克） … 25 24 23 22 …
销售量 y（千克） … 2000 2500 3000 3500 …
（1）在如图的直角坐标系内，作出各组有序数对（x，y）所对应的点．连接各点并
观察所得的图形，判断 y 与 x 之间的函数关系，并求出 y 与 x 之间的函数关系式；
（2）若樱桃进价为 13 元/千克，试求销售利润 P（元）与销售价 x（元/千克）之间
的函数关系式，并求出当 x 取何值时，P 的值最大？
【答案】：（1）y=-500x+14500．（2）21 元，32000 元
【解析】：（1）由图象可知，y 是 x 的一次函数，
设 y=kx+b，
∵点（25，2000），（24，2500）在图象上，
∴ ，
∴y=-500x+14500．
（2）P=(x-13)·y=(x-13)·(-500x+14500)
100020 +−= xy )5030( ≤≤ x
yxP )20( −= )100020)(20( +−−= xx 20000140020 2 −+−= xx
020 =x 252 =x
x y x
90510
1 2 ++= xxy9
， （万元）均与 满足一次函数关系．（注：年利润＝年销售额－全部费用）
（1）成果表明，在甲地生产并销售 吨时， ，请你用含 的代数式
表示甲地当年的年销售额，并求年利润 （万元）与 之间的函数关系式；
（2）成果表明，在乙地生产并销售 吨时， （ 为常数），且在乙地
当年的最大年利润为 35 万元．试确定 的值；
（3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品 18
吨，根据（1），（2）中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获
得较大的年利润？
【答案】：（1） ．
（2）15
【解析】：（1）甲地当年的年销售额为 万元；
．
（2）在乙地区生产并销售时，
年利润 ．
由 ，解得 或 ．
经检验， 不合题意，舍去， ．
（3）在乙地区生产并销售时，年利润 ，
将 代入上式，得 （万元）；将 代入 ，
得 （万元）． ， 应选乙地．
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