2020年中考数学二轮复习重难题型突破类型一动点探究.doc

1 类型一 动点探究 例 1、已知：等边三角形 的边长为 4 厘米，长为 1 厘米的线段 在 的 边 上沿 方向以 1 厘米/秒的速度向 点运动（运动开始时，点 与点 重合，点 到达点 时运动终止），过点 分别作 边的垂线，与 的其它边交于 两点，线段 运动的时间为 秒． （1）线段 在运动的过程中， 为何值时，四边形 恰为矩形？并求出该矩形 的面积； （2）线段 在运动的过程中，四边形 的面积为 ，运动的时 间为 ．求四边形 的面积 随运动时间 变化的函数关系式，并写出自 变量 的取值范围． 【解析】：（1）过点 作 ，垂足为 ．则 ， 当 运动到被 垂直平分时，四边形 是矩形，即 时， 四边形 是矩形， 秒时，四边形 是矩形． ， （2） 当 时， 当 时， 当 时， 点评：此题关键也是对 P、Q 两点的不同位置进行分类。 ABC MN ABC△ AB AB B M A N B M N、 AB ABC△ P Q、 MN t MN t MNQP MN MNQP S t MNQP S t t C CD AB⊥ D 2AD = MN CD MNQP 3 2AM = MNQP 3 2t∴ = MNQP 3tan 60 32PM AM= ° = 3 32MNQPS∴ =四边形 1° 0 1t< < 1 ( )2MNQPS PM QN MN= +四边形 · 33 2t= + 2° 1 2t≤ ≤ 1 ( )2MNQPS PM QN MN= +四边形 · 3 32 = 3° 2 3t< < 1 ( )2MNQPS PM QN MN= +四边形 · 73 32t= − + C P Q BA M N C P Q BA M N C P Q BA M N2 例 2、如图，在梯形 中， 厘米， 厘米， 的坡度 动点 从 出发以 2 厘米/秒的速度沿 方向向点 运动，动点 从 点 出发以 3 厘米/秒的速度沿 方向向点 运动，两 个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之 停止．设动点运动的时间为 秒． （1）求边 的长； （2）当 为何值时， 与 相互平分； （3）连结 设 的面积为 探求 与 的函数关系式，求 为何值时， 有最 大值？最大值是多少？ 【解析】：（1）作 于点 ，如图（3）所示，则四边形 为矩形． 又 2 分 在 中，由勾股定理得： （2）假设 与 相互平分．由 则 是平行四边形（此时 在 上）． 即 解得 即 秒时， 与 相互平分． （3）①当 在 上，即 时，作 于 ，则 即 = 当 秒时， 有最大值为 ②当 在 上，即 时， = ABCD 90 6DC AB A AD∠ = =∥ ， °， 4DC = BC 3 4i = ∶ ， P A AB B Q B B C D→ → D t BC t PC BQ PQ， PBQ△ y， y t t y CE AB⊥ E AECD 4 6AE CD CE DA∴ = = = =， ． 33 4 4 CEi EB ∴ = ∴ =∶ ， ． 8 12EB AB∴ = =， ． Rt CEB△ 2 2 10BC CE EB= + = ． PC BQ DC AB∥ ， PBCQ Q CD 3 10 12 2CQ BP t t= ∴ − = −， ． 22 5t = ， 22 5t = PC BQ Q BC 100 3t≤ ≤ QF AB⊥ F CE QF∥ ． QF BQ CE BC ∴ = ， 3 9 6 10 5 QF t tQF= ∴ =． ． 1 1 9(12 2 )2 2 5PBQ tS PB QF t∴ = = −△ · · 29 81( 3)5 5t− − + ． 3t = PBQS∴ △ 281 5 厘米 ． Q CD 10 14 3 3t≤ ≤ 1 1 (12 2 ) 62 2PBQS PB CE t∴ = = − ×△ · 36 6t− ． 图（15） C c D c A c B c Q c P c E c3 易知 随 的增大而减小．故当 秒时， 有最大值为 综上，当 时， 有最大值为 例 3、如图，已知 中， 厘米， 厘米，点 为 的中点． （1）如果点 P 在线段 BC 上以 3 厘米/秒的速度由 B 点向 C 点运动，同 时，点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动． ① 若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等，经过 1 秒后， 与 是否全等，请说明理由； ②若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等，当点 Q 的运动速度 为多少时，能够使 与 全等？ （2）若点 Q 以②中的运动速度从点 C 出发，点 P 以原来的运动速度从点 B 同时出发， 都逆时针沿 三边运动，求经过多长时间点 P 与点 Q 第一次在 的哪条边上相 遇？ 【解析】：（1）①∵ 秒，∴ 厘米， ∵ 厘米，点 为 的中点，∴ 厘米． 又∵ 厘米，∴ 厘米，∴ ． 又∵ ，∴ ，∴ ． ②∵ ， ∴ ， 又∵ ， ，则 ， ∴点 ，点 运动的时间 秒，∴ 厘米/秒． （2）设经过 秒后点 与点 第一次相遇，由题意，得 ，解得 秒． ∴点 共运动了 厘米． S t 10 3t = PBQS∴ △ 21036 6 163 − × = 厘米 ． 3t = PBQS△ 281 5 厘米 ． ABC△ 10AB AC= = 8BC = D AB BPD△ CQP△ BPD△ CQP△ ABC△ ABC△ 1t = 3 1 3BP CQ= = × = 10AB = D AB 5BD = 8PC BC BP BC= − =， 8 3 5PC = − = PC BD= AB AC= B C∠ = ∠ BPD CQP△ ≌△ P Qv v≠ BP CQ≠ BPD CQP△ ≌△ B C∠ = ∠ 4 5BP PC CQ BD= = = =， P Q 4 3 3 BPt = = 5 15 4 4 3 Q CQv t = = = x P Q 15 3 2 104 x x= + × 80 3x = P 80 3 803 × = A Q C D B P4 ∵ ，∴点 、点 在 边上相遇，∴经过 秒点 与点 第一次在边 上相遇． 例 4、在梯形 中， 动 点 从 点出发沿线段 以每秒 2 个单位长度的速度向终点 运动；动点 同时从 点出发沿线段 以每秒 1 个单位长度的速度向终点 运动．设运动的时间为 秒． （1）求 的长． （2）当 时，求 的值．（3）试探究： 为何值时， 为等腰三角形． 【解析】：（1）如图①，过 、 分别作 于 ， 于 ，则四 边形 是矩形 ∴ 在 中， 在 ， 中 ， 由 勾 股 定 理 得 ， ∴ （2）如图②，过 作 交 于 点，则四边形 是平行四边形 ∵ ∴ ∴ ∴ 由题意知，当 、 运动到 秒时， ∵ ∴ 又 ∴ ∴ 即 解得， 2 25 4 3HC = − = 80 2 28 24= × + P Q AB 80 3 P Q AB ABCD 3 5 4 2 45AD BC AD DC AB B= = = = °∥ ， ， ， ，∠ ． M B BC C N C CD D t BC MN AB∥ t t MNC△ A D AK BC⊥ K DH BC⊥ H ADHK 3KH AD= = ． Rt ABK△ 2sin 45 4 2 42AK AB= ° = = ． 2cos45 4 2 42BK AB= ° = =  Rt CDH△ 4 3 3 10BC BK KH HC= + + = + + = D DG AB∥ BC G ADGB MN AB∥ MN DG∥ 3BG AD= = 10 3 7GC = − = M N t 10 2CN t CM t= = −， ． DG MN∥ NMC DGC=∠ ∠ C C=∠ ∠ MNC GDC△ ∽△ CN CM CD CG = 10 2 5 7 t t−= 50 17t = （图①） A D CB K H （图②） A D CB G M N A D CB M N （图③） （图④） A D CB M N H E5 （3）分三种情况讨论：①当 时，如图③，即 ∴ ②当 时，如图④，过 作 于 解法一：由等腰三角形三线合一性质得 在 中， 又在 中， ∴ 解得 ∵ ∴ ∴ 即 ∴ ③当 时，如图⑤，过 作 于 点. 解法一：（方法同②中解法一） 解得 解法二： ∵ ∴ ∴ 即 ∴ 综上所述，当 、 或 时， 为等腰三角形 例 5、如图，在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝90o，AB＝12cm，AD＝8cm，BC＝ NC MC= 10 2t t= − 10 3t = MN NC= N NE MC⊥ E ( )1 1 10 2 52 2EC MC t t= = − = − Rt CEN△ 5cos EC tc NC t −= = Rt DHC△ 3cos 5 CHc CD = = 5 3 5 t t − = 25 8t = 90C C DHC NEC= ∠ = ∠ = °∠ ∠ ， NEC DHC△ ∽△ NC EC DC HC = 5 5 3 t t−= 25 8t = MN MC= M MF CN⊥ F 1 1 2 2FC NC t= = 1 32cos 10 2 5 tFCC MC t = = =− 60 17t = 90C C MFC DHC= ∠ = ∠ = °∠ ∠ ， MFC DHC△ ∽△ FC MC HC DC = 1 10 22 3 5 t t−= 60 17t = 10 3t = 25 8t = 60 17t = MNC△ （图⑤） A D CB H N M F6 A B O C DP Q 22cm，AB 为⊙O 的直径，动点 P 从点 A 开始沿 AD 边向点 D 以 1cm/s 的速度运动，动点 Q 从 点 C 开始沿 CB 边向点 B 以 2cm/s 的速度运动，P、Q 分别从点 A、C 同时出发，当其中一点 到达端 点时，另一个动点也随之停止运动．设运动时间为 t(s)． (1)当 t 为何值时，四边形 PQCD 为平行四边形？ (2)当 t 为何值时，PQ 与⊙O 相切？ 【解析】：(1)∵直角梯形 当 时，四边形 为平行四边形． 由题意可知： ， ， 当 时，四边形 为平行四边形． （2）解：设 与 相切于点 过点 作 垂足为 直角梯形 由题意可知： 为 的 直 径 ， 为 的 切 线 在 中， 即： ， 因为 在 边运动的时间为 秒，而 （舍去） ABCD，AD BC∥ PD QC∴ ∥ ∴ PD QC= PQCD 2AP t CQ t= =， 8 2t t∴ − = 3 8t = 8 3t = ∴ 8 3t s= PQCD PQ O⊙ H， P PE BC⊥ ， E  ABCD AD BC， ∥ PE AB∴ = 2AP BE t CQ t= = =， 22 2BQ BC CQ t∴ = − = −  AB O⊙ 90ABC DAB∠ = ∠ = ° AD BC∴ 、 O⊙ AP PH HQ BQ∴ = =， Rt PEQ△ 2 2 2PE EQ PQ+ = 2 2 212 (22 3 ) (22 )t t∴ + − = − 28 88 144 0t t− + = 2 11 18 0t t− + = ( 2)( 9) 0t t− − = 1 22 9t t∴ = =， P AD 8 81 1 AD = = 9 8t = > 9t∴ = O A P D B Q C O A P D B Q C H E7 当 秒时， 与 相切． 例 6、.如图，在矩形 ABCD 中，BC=20cm，P，Q，M，N 分别从 A，B，C，D 出发沿 AD， BC，CB，DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时， 运动即停止．已知在相同时间内，若 BQ=xcm( )，则 AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm． （1）当 x 为何值时，以 PQ，MN 为两边,以矩形的边（AD 或 BC）的一部分为第三边构成一个 三角形； （2）当 x 为何值时，以 P，Q，M，N 为顶点的四边形是平行四边形； （3）以 P，Q，M，N 为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能，求 x 的值；如果不能，请说 明理由． 【解析】（1）当点 P 与点 N 重合或点 Q 与点 M 重合时，以 PQ，MN 为两边，以矩形的边（AD 或 BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形． ①当点 P 与点 N 重合时， （舍去）． 因为 BQ+CM= ，此时点 Q 与点 M 不重合．所以 符合题意． ②当点 Q 与点 M 重合时， ．此时 ，不符合题意．故点 Q 与点 M 不能重合． 所以所求 x 的值为 ． （2）由（1）知，点 Q 只能在点 M 的左侧， ①当点 P 在点 N 的左侧时，由 ，解得 ． 当 x=2 时四边形 PQMN 是平行四边形． ② 当 点 P 在 点 N 的 右 侧 时 ， 由 ， 解 得 ． ∴ 2t = PQ O⊙ 2 1 22 20 21 1 21 1x x x x+ = = − = − −由 ，得 ， 3 4( 21 1) 20x x+ = − < 21 1x = − 3 20, 5x x x+ = =由 得 2 25 20DN x= = > 21 1− 220 ( 3 ) 20 (2 )x x x x− + = − + 1 20( ) 2x x= =舍去 ， 220 ( 3 ) (2 ) 20x x x x− + = + − 1 210( ) 4x x= − =舍去 ， 0x ≠ A B D C P Q M N8 当 x=4 时四边形 NQMP 是平行四边形．所以当 时，以 P，Q，M，N 为顶点的四边 形是平行四边形． （3）过点 Q，M 分别作 AD 的垂线，垂足分别为点 E，F．由于 2x>x，所以点 E 一定在点 P 的 左侧． 若以 P，Q，M，N 为顶点的四边形是等腰梯形， 则点 F 一定在点 N 的右侧，且 PE=NF， 即 ．解得 ． 由于当 x=4 时， 以 P，Q，M，N 为顶点的四边形是平行四边形，所以,以 P，Q，M，N 为顶点 的四边形不能为等腰梯形 2 4x x= =或 22 3x x x x− = − 1 20( ) 4x x= =舍去 ，