1
类型四 二次函数与特殊三角形判定问题
例 1、如图，已知抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线 x＝－1，且经过 A(1，0)，
C(0，3)两点，与 x 轴的另一个交点为 B.
(1)若直线 y＝mx＋n 经过 B，C 两点，求抛物线和直线 BC 的解析式；
(2)在抛物线的对称轴 x＝－1 上找一点 M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小，
求点 M 的坐标；
(3)设点 P 为抛物线的对称轴 x＝－1 上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点 P 的坐标．
【解析】解：(1)依题意，得 ，解得
∴抛物线的解析式为 y＝－x2－2x＋3.
∵对称轴为 x＝－1，抛物线经过 A(1，0)，
∴B(－3，0)．
设直线 BC 的解析式为 y＝mx＋n(m≠0)，
把 B(－3，0)，C(0，3)分别代入 y＝mx＋n，得，
解得
∴直线 BC 的解析式为 y＝x＋3.
(2)如解图，设直线 BC 与对称轴 x＝－1 的交点为 M，连接 MA，
∴MA＝MB，
∴MA＋MC＝MB＋MC＝BC.
∴使 MA＋MC 最小的点 M 应为直线 BC 与对称轴 x＝－1 的交点．
把 x＝－1 代入直线 y＝x＋3，得 y＝2.
=
=++
−=−
3
0
12
c
cba
a
b
,
3
2
1
=
−=
−=
c
b
a
,3
03
=
=+−
n
nm ,3
1
=
=
n
m2
∴M(－1，2)．
(3)设 P(－1，t)，结合 B(－3，0)，C(0，3)，得 BC2＝18，
PB2＝(－1＋3)2＋t2＝4＋t2，PC2＝(－1)2＋(t－3)2＝t2－6t＋10.
① 若 B 为直角顶点，则 BC2＋PB2＝PC2，即 18＋4＋t2＝t2－6t＋10，
解得 t＝－2；
②若 C 为直角顶点，则 BC2＋PC2＝PB2，即 18＋t2－6t＋10＝4＋t2，解得 t＝4；
③若 P 为直角顶点，则 PB2＋PC2＝BC2，即 4＋t2＋t2－6t＋10＝18，
解得 t1＝
3＋ 17
2 ，t2＝
3－ 17
2 .
综上所述，满足条件的点 P 共有四个，分别为：P1(－1，－2)， P2(－1，4)， P3(－1，
3＋ 17
2 )，P4(－1，
3－ 17
2 )．
例 2、如图，抛物线 y＝－
4
5x2＋
24
5 x－4 与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点 C，抛物线的对
称轴与 x 轴交于点 M.P 是抛物线在 x 轴上方的一个动点(点 P、M、C 不在同一条直线上)．
(1)求点 A，B 的坐标；
(2)连接 AC、PB、BC，当 S△PBC＝S△ABC 时，求出此时点 P 的坐标；
(3)分别过点 A、B 作直线 CP 的垂线，垂足分别为点 D、E，连接 MD、ME.问△MDE 能否为等
腰直角三角形？若能，求此时点 P 的坐标；若不能，说明理由．
第 2 题3
【解析】解：(1)令 y＝－
4
5x2＋
24
5 x－4＝0，解得 x1＝1，x2＝5，
∴A 点的坐标为(1，0)，B 点的坐标为(5，0)．
(2)如解图①，过点 A 作 AP∥BC，与抛物线交于点 P，则 S△PBC＝S△ABC，
第 1 题解图 第 2 题解图①第 2 题解图②
当 x＝0 时，y＝－
4
5x2＋
24
5 x－4 ＝－4，
∴点 C 的坐标为(0，－4)，
设过点 B，C 两点的直线的解析式为 y＝kx＋b(k≠0)，
则有 解得
∴直线 BC 的解析式为 y＝
4
5x－4，
由于 PA∥BC，设 AP 的解析式为 y＝
4
5x＋m，代入点 A(1，0)，解得 m＝－
4
5，
∴直线 AP 的解析式为 y＝
4
5x－
4
5，
联立方程组得 解得：
∴P 点的坐标为(4，
12
5 )．
(3)△MDE 能成为等腰直角三角形，理由：
∵抛物线 y＝－
4
5x2＋
24
5 x－4＝－
4
5(x－3)2＋
16
5 ，
∴对称轴是直线 x＝3.
∴M(3，0)．
①当∠MED＝90°时，点 E，B，M 在一条直线上，此种情况不成立；
②同理：当∠MDE＝90°时，不成立；
,05
4
=+
−=
bk
b ,
4
5
4
−=
=
b
k
,
45
24
5
4
5
4
5
4
2
−+−=
−=
xxy
xy
,
5
12
4
,0
1
2
2
1
1
=
=
=
=
y
x
y
x4
③当∠DME＝90°时，如解图②所示，
设直线 PC 与对称轴交于点 N，
∵EM⊥DM，MN⊥AM，
∴∠EMN＝∠DMA.
∵∠MDE＝45°，∠EDA＝90°，
∴∠MDA＝135°.
∵∠MED＝45°，
∴∠NEM＝135°，
∴∠ADM＝∠NEM＝135°.
在△ADM 与△NEM 中，
∴△ADM≌△NEM(ASA)．
∴MN＝MA＝2，
∴N(3，2)．
设直线 PC 的解析式为 y＝kx＋b(k≠0)，将点 N(3，2)，C(0，－4)代入直线的解析式得：
解得：
∴直线 PC 的解析式为 y＝2x－4.
将 y＝2x－4 代入抛物线解析式得：2x－4 ＝－
4
5x2＋
24
5 x－4，解得：x＝0 或 x＝
7
2，∴P(
7
2，
3)．
综上所述，△MDE 能成为等腰直角三角形，此时点 P 的坐标为(
7
2，3)．
例 3、如图①，抛物线 y＝ax2＋bx＋4 交 x 轴于 A、B 两点(点 A 在点 B 左侧)，交 y 轴于点
C，连接 AC、BC，其中 CO＝BO＝2AO.
(1)求抛物线的解析式；
(2)点 Q 为直线 BC 上方的抛物线上一点，过点 Q 作 QE∥AC 交 BC 于点 E，作 QN⊥x 轴于点 N，
交 BC 于点 M，当△EMQ 的周长 L 最大时，求点 Q 的 坐标及 L 的最大值；
(3)如图②，在(2)的结论下，连接 AQ 分别交 BC 于点 F，交 OC 于点 G，四边形 BOGF 从 F 开
,
∠=∠
=
∠=∠
NEMADM
DMEM
DMAEMN
,4
23
−=
=+
b
bk ,4
2
−=
=
b
k5
始沿射线 FC 平移，同时点 P 从 C 开始沿折线 CO－OB 运动，且点 P 的运动速度为四边形 BOGF
平移速度的 2倍，当点 P 到达 B 点时，四边形 BOGF 停止运动，设四边形 BOGF 平移过程中
对应的图形为 B1O1G1F1，当△PFF1 为等腰三角形时，求 B1F 的长度．
第 3 题图
【解析】 解：(1)∵抛物线 y＝ax2＋bx＋4 与 y 轴交于点 C，
∴点 C 的坐标为(0，4)．
∵CO＝BO＝2AO，
∴点 A 的坐标为(－2，0)，点 B 的坐标为(4，0)，
将点 A、B 的坐标分别代入抛物线解析式得
解得
∴抛物线的解析式为 y＝－
1
2x2＋x＋4.
(2)∵点 A(－2，0)，点 B(4，0)，点 C(0，4)，
∴直线 AC 的解析式为 y＝2x＋4，直线 BC 的解析式为 y＝－x＋4.
设点 Q 的坐标为(q，－
1
2q2＋q＋4)，
∵QE∥AC，过点 E 作 EF⊥QM 于点 F，如解图，
第 3 题解图
则
EF
QF＝
AO
OC＝
1
2，
QE
EF＝
AC
AO＝ 5，
∴QF＝2EF，QE＝ 5EF，
,04416
0424
=++
=+−
ba
ba ,
1
2
1
=
−=
b
a6
在 Rt△EFM 中，易得∠FEM＝∠FME＝∠MBN＝45°，
∴EM＝ 2EF，EF＝MF，
∴QM＝3EF，
∴当 EF 最大时，△EQM 的周长最大，
∵直线 AC 的解析式为 y＝2x＋4，直线 QE∥AC，
∴设直线 QE 的解析式为 y＝2x＋t，
将 Q 点坐标代入得，t＝－
1
2q2－q＋4，
∴直线 QE 的解析式为 y＝2x＋(－
1
2q2－q＋4)，
与直线 BC 联立解得点 E 的坐标为(
1
6q2＋
1
3q，－
1
6q2－
1
3q＋4)．
∴EF＝q－
1
6q2－
1
3q＝－
1
6q2＋
2
3q＝－
1
6(q－2)2＋
2
3，
根据二次函数最值性质可知，当 q＝2 时，EF 最大，为
2
3.
此时点 Q 的坐标为(2，4)，L＝3EF＋ 2EF＋ 5EF＝
2
3(3＋ 2＋ 5)．
(3)由(2)知点 Q 的坐标为(2，4)，则直线 QA 的解析式为 y＝x＋2，
∴AQ⊥BC 于 F，且点 F 的坐标为(1，3)．
∵点 B(4，0)，
∴BF＝3 2.
设四边形 BOGF 平移的距离 FF1＝ 2t，则点 P 运动的速度为 2t.
①当点 P 在 OC 上，此时 0
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