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类型三 新解题方法型
例 1、 求两个正整数的最大公约数是常见的数学问题,中国古代数学专著《九章算术》
中便记载了求两个正整数最大公数最大公约数 的一种方法——更相减损术,术曰:“可半
者半之,不可半者,副置分母、子之数,以少成多,更相减损,求其等也.以等数约之”,
意思是说,要求两个正整数的最大公约数,先用较大的数减去较小的数,得到差,然后用减
数与差中的较大数减去较小数,以此类推,当减数与差相等时,此时的差(或减数)即为这两
个正整数的最大公约数.
例如:求 91 与 56 的最大公约数
解: 91-56=35
56-35=21
35-21=14
21-1 4=7
14 -7=7
所以,91 与 56 的最大公约数是 7.
请用以上方法解决下列问题:
(1)求 108 与 45 的最大公约数;
(2)求三个数 78、104、143 的最大公约数.
【解答】解:(1)108-45=63
63-45=18
45-18=27
27-18=9
18-9=9
所以,108 与 45 的最大公约数是 9;
(2)①先求 104 与 78 的最大公约数,
104-78=26
78-26=52
52-26=26
所以,104 与 78 的最大公约数是 26;
②再求 26 与 143 的最大公约数,2
143-26=117
117-26=91
91-26=65
65-26=39
39-26=13
26-13=13
所以,26 与 143 的最大公约数是 13.综上所述,78、104、143 的最大公约数是 13.
例 2、数和形是数学的两个主要研究对象,我们经常运用数形结合、数形转化的方法解
决一些数学问题.下面我们来探究“由数思形,以形助数”的方法在解决代数问题中的应
用.
探究:求不等式|x-1|< 2 的解集
(1)探究|x-1|的几何意义
【解答】如图①,在以 O 为原点的数轴上,设点 A′对应的数是 x-1,由绝对值的定义
可知,点 A′与点 O 的距离为|x-1|,可记为 A′O=|x-1|.将线段 A′O 向右平移 1 个单位
得到线段 AB,此时点 A 对应的数是 x,点 B 对应的数是 1.因 为 AB=A′O,所以 AB=|x-
1|.因此,|x-1|的几何意义可以理解为数轴上 x 所对应的点 A 与 1 所对应的点 B 之间的距
离 AB.
第 2 题图
(2)求方程|x-1|=2 的解
【解答】因为数轴上 3 和-1 所对应的点与 1 所对应的点之间的距离都为 2,所以方程
的解为 3,-1.
(3)求不等式|x-1|