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类型一 二次函数与线段问题
例 1、 如图 1-1，抛物线 y＝x2－2x－3 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，点 P
是抛物线对称轴上的一个动点，如果△PAC 的周长最小，求点 P 的坐标．
图 1-1
【解析】如图 1-2，把抛物线的对称轴当作河流，点 A 与点 B 对称，连结 BC，那么在△
PBC 中，PB＋PC 总是大于 BC 的．如图 1-3，当点 P 落在 BC 上时， PB＋PC 最小，因此 PA＋PC
最小，△ PAC 的周长也最小．
由 y＝x2－2x－3，可知 OB＝OC＝3，OD＝1．所以 DB＝DP＝2，因此 P(1,－2)．
图 1-2 图 1-3
例 2、如图，抛物线 与 y 轴交于点 A，B 是 OA 的中点．一个动点 G 从点
B 出发，先经过 x 轴上的点 M，再经过抛物线对称轴上的点 N，然后返回到点 A．如果动点 G
走过的路程最短，请找出点 M、N 的位置，并求最短路程．
图 2-1
【解析】如图 2-2，按照“台球两次碰壁”的模型，作点A 关于抛 物线的对称轴对称的
点 A′，作点 B 关于 x 轴对称的点 B′，连结 A′B′与 x 轴交于点 M，与抛物线的对称轴交
于点 N．
在 Rt△AA′B′中，AA′＝8，AB′＝6，所以 A′B′＝10，即点 G 走过的最短路程为
21 4 42y x x= − +2
10．根据相似比可以计算得到 OM＝ ，MH＝ ，NH＝1．所以 M( , 0)，N(4, 1)．
图 2-2
例 3、如图 3-1，抛物线 与 y 轴交于点 A，顶点为 B．点 P 是 x 轴上
的一个动点，求线段 PA 与 PB 中较长的线段减去较短的线段的差的最小值与最大值，并求出
相应的点 P 的坐标．
图 3-1
【解析】题目读起来像绕口令，其实就是求|PA－PB|的最小值与最大值．
由抛物线的解析式可以得到 A(0, 2)，B(3, 6)．设 P(x, 0)．
绝对值|PA－PB|的最小值当然是 0 了，此时 PA＝PB，点 P 在 AB 的垂直平分线上（如图
3-2）．解方程 x2＋22＝(x－3)2＋62，得 ．此时 P ．
在 △PAB 中，根据两边之差小于第三边，那么|PA－PB|总是小于 AB 了．如图 3-3，当
点 P 在 BA 的延长线上时，|PA－PB|取得最大值，最大值 AB＝5．此时 P ．
图 3-2 图 3-3
例 4、如图 4-1，菱形 ABCD 中，AB＝2，∠A＝120°，点 P、Q、K 分别为线段 BC、CD、
BD 上的 任意一点，求 PK＋QK 的最小值．
8
3
4
3
8
3
24 8 29 3y x x= − + +
41
6x = 41( ,0)6
3( ,0)2
−3
图 4-1
【解析】如图 4-2，点 Q 关于直线 BD 的对称点为 Q′，在△KPQ′中，PK＋QK 总是 大于
PQ′的．如图 4-3，当点 K 落在 PQ′上时，PK＋QK 的最小值为 PQ′．如图 4-4，PQ′的最
小值为 Q′H，Q′H 就是菱形 ABCD 的高，Q′H＝ ．
这道题目应用了两个典型的最值结论：两点之间，线段最短；垂线段最短．
图 4-2 图 4-3 图 4-4
例 5、如图 5-1，菱形 ABCD 中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B 的半径分别为 2 和 1，P、
E、F 分别是边 CD、⊙B 和⊙A 上的动点，求 PE＋PF 的最小值．
图 5-1
【解析】E、F、P 三个点都不确定，怎么办？BE＝1，AF＝2 是确定的，那么我们可以求
PB＋PA－3 的最小值，先求 PB＋PA 的最 小值（如图 5-2）．
如图 5-3，PB＋PA 的最小值为 AB′，AB′＝6．所以 PE＋PF 的最小值等于 3．
图 5-2 图 5-3
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例 6、如图 6-1，已知 A(0, 2)、B(6, 4)、E(a, 0)、F(a＋1, 0)，求 a 为何 值时，四边
形 ABEF 周长最小？请说明理由．
图 6-1
【解析】在四边形 ABEF 中，AB、EF 为定值，求 AE＋BF 的最小值，先把这两条线段经
过平移，使得两条线段有公共端点．
如图 6-2，将线段 BF 向左平移两个单位，得到线段 ME．
如图 6-3，作点 A 关于 x 轴的对称点 A′，MA′与 x 轴的交点 E，满足 AE＋ME 最小．
由△A′OE∽△BHF，得 ．解方程 ，得 ．
图 6-2 图 6-3
例 7、如图 7-1，△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝1．点 A、C 分别在 x 轴和 y 轴
的正半轴上，当点 A 在 x 轴上运动时，点 C 也随之在 y 轴上运动 ．在整个运动过程中，求
点 B 到原点的最大距离．
图 7-1
【解析】如果把 OB 放在某一个三角形中，这个三角形的另外两条边的大小是确定的，
那么根据两边之和大于第三边，可知第三边 OB 的最大值就是另两边的和．
显然△OBC 是不符合条件的，因为 OC 边的大小不确定．
如图 7-2，如果选 AC 的中点 D，那么 BD、OD 都是定值，OD＝1，BD＝ ．
在△OBD 中，总是有 OB＜OD＋BD．
'
OE HF
OA HB
= 6 ( 2)
2 4
a a− += 4
3a =
25
如图 7-3，当点 D 落在 OB 上时，OB 最大，最大值为 ．
图 7-2 图 7-3
例 8、如图 8-1，已知 A(－2,0)、B(4, 0)、 ．设 F 为线段 BD 上一点（不含
端点），连结 AF，一动点 M 从点 A 出发，沿线段 AF 以每秒 1 个单位的速度 运动到 F，再沿
线段 FD 以每秒 2 个单位的速度运动到 D 后停止．当点 F 的坐标是多少时，点 M 在整个运动
过程 中用时最少？
图 8-1
【解析】点 B(4, 0)、 的坐标隐含了∠DBA＝30°，不由得让我们联想到 30°
角所对的直角边等于斜边的一半．
如果把动点 M 在两条线段上的速度统一起来，问题就转化了．
如图 8-2，在 Rt△DEF 中，FD＝2FE．如果点 M 沿线段 FD 以每秒 2 个单位的速度运动到
点 D 时，那么点 M 沿线段 FE 以每秒 1 个单位的速度正好运动到点 E．因此当 AF＋FE 最小时，
点 M 用时最少．
如图 8-3，当 AE⊥DE 时，AF＋FE 最小，此时 F ．
图 8-2 图 8-3
例 9、如图 9-1，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．点 E 是 BC 边上的点，连
结 AE，过点 E 作 AE 的垂线交 AB 边于点 F，求 AF 的最小值．
2 1+
( 5,3 3)D −
( 5,3 3)D −
( 2,2 3)−6
图 9-1
【解析】如图 9-2，设 AF 的中点为 D，那么 DA＝DE＝DF．所以 AF 的最小值取决于 DE
的最小值．
如图 9-3，当 DE⊥BC 时，DE 最小．设 DA＝DE＝m，此时 DB＝ ．
由 AB＝DA＋DB，得 ．解得 ．此时 AF＝ ．
图 9-2 图 9-3
例 10、如图 10-1，已知点 P 是抛物线 上的一个点，点 D、E 的坐标分别为(0,
1)、(1, 2)，连结 PD、PE，求 PD＋PE 的最小值．
图 10-1
【解析】点 P 不在一条笔直的河流上，没有办法套用“牛喝水”的模型．
设 P ，那么 PD2＝ ．所以 PD＝ ．
如图 10-2， 的几何意义可以理解为抛物线上的动点 P 到直线 y＝－1 的距离
PH．所以 PD＝PH．因此 PD＋PE 就转化为 PH＋PE．
如图 10-3，当 P、E、H 三点共线，即 PH⊥x 轴时，PH＋PE 的最小值为 3．
高中数学会学到，抛物线是到定点的距离等于到定直线的距离的点的集合，在中考数学
压轴题里, 如果要用到这个性质，最好铺垫一个小题，求 证 PD＝PH.
5
3m
5 103m m+ = 15
4m = 152 2m =
21
4y x=
21( , )4x x 2 2 2 2 21 1( 1) ( 1)4 4x x x+ − = + 21 14 x +
21 14 x +7
图 10-2 图 10-3
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