2020年中考数学二轮复习重难题型突破类型一数式规律.doc

1 类型一 数式规律 1、数列型数字问题 例 1、有一组数：1，2，5，10，17，26，……，请观察这组数的构成规律，用你发现的规 律确定第 8 个数为_________． 【答案】：50 【解析】：仔细观察这一数列中的各个数字的构成特点，不难发现如下； 第一个数是 1，第二个数数 1+1，第三个数是 1+1+3，第四个数是 1+1+3+5，第五个数是 1+1+3+5+7，第六个数是 1+1+3+5+7+9， 为了使规律凸显的明显，我们不妨把第一个数 1 也写成两个数的和的形式，为 1+0， 这样，就发现数字 1 是固定不变的，规律就蕴藏在新数列 0，1，4，9，16 中，而 0， 1，4，9，16 这些数都是完全平方数，并且底数恰好等于这个数字对应的序号与 1 的差， 即 1=1+（1-1）2，2=1+（2-1）2，5=1+（3-1）2，10=1+（4-1）2，17=1+（5-1）2， 26=1+（5-1）2，这样，第 n 个数为 1+（n-1）2，找到数列变化的一般规律后，就很容易求 得任何一个序号的数字了。因此，第八个数就是当 n=8 时，代数式 1+（n-1）2 的值，此时， 代数式 1+（n-1）2 的值为 1+（8-1）2=50。所以，本空填 50。 例2、古希腊数学家把 1，3，6，10，15，21，……，叫做三角形数，根据它的规律，则第 100 个三角形数与第 98 个三角形数的差为_________. 【答案】：199 【解析】：本题中数列的数字，不容易发现其变化的规律。我们不妨利用函数的思想去试一 试。 当序号为 1 时，对应的值是 1，有序号和对应的数值构成的点设为 A， 则 A（1，1）； 当序号为 2 时，对应的值是 3，有序号和对应的数值构成的点设为 B， 则 B（2，3）； 当序号为 3 时，对应的值是 6，有序号和对应的数值构成的点设为 C， 则 C（3，6）； 因为， ， ，所以有： 成立，所以，对应的数值 y 是序号 n 的二次函数，因此，我们不妨设 y=an2+bn+c， 把 A（1，1），B（2，3），C（3，6）分别代入 y=an2+bn+c 中， 212 13 =− − 323 36 =− − 23 36 12 13 − −≠− −2 得：a+b+c=1，4a+2b+c=3，9a+3b+c=6，解得：a= ，b= ，c=0， 所以，y= n2+ n，因此，当 n=100 时，y= ×1002+ ×100， 当 n=98 时，y= ×982+ ×98，因此（ ×1002+ ×100）-（ ×982+ ×98）=199， 所以该空应该填 199。 2、图示型数字问题 例 3、为庆祝“六 一”儿童节，某幼儿园举行用火柴棒摆“金鱼”比 赛．如图所示： 按照上面的规律，摆 个“金鱼”需用火柴棒的根数为（ ） 　A． B． C． D． 【答案】：A 【解析】：第一个图需要火柴的根数是 8，有序号和对应的数值构成的点设为 A，则 A（1， 8）； 第二个图需要火柴的根数是 14，有序号和对应的数值构成的点设为 B，则 B（2，14）； 第三个图需要火柴的根数是 20，有序号和对应的数值构成的点设为 C，则 C（3，20）； 因为， ， ，所以有： 成立，所以，每个图形中所 需要的火柴的总根数 y 是这个图形的序号 n 的一次函数，因此，我们不妨设 y=kn+b， 把 A（1，8），B（2，14）分别代入 y=kn+b 中得：k+b=8，2k+b=14，解得：k=6，b=2， 所以，y=6n+2。因此选 A。 例 4、下列图案是由边长为单位长度的小正方形按一定的规律拼接而成。依此规律，第 5 个 图案中小正方形的个数为_______________。 【答案】：50 【解析】： 仔细观察第一个图，正方形的个数为 1，第二个图形中正方形的特点是中间是 3 个，左右两 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 612 814 =− − 623 1420 =− − 23 1420 12 814 − −=− −3 边各一个，即为 1+3+1 个，第三个图形中正方形的特点是中间是 5 个，左右分别是 1+3 个， 即为 1+3+5+3+1，分析到这里，相信你一定想到了这里面的变化规律了吧。是的，第 n 个图 形中正方形的个数为 1+3+5+ +（2n-1）+ +5+3+1=2n 2-2n+1，这样，第 5 个图形中 正 方 形 的 个 数 ， 也 就 是 当 n=5 时 ， 代 数 式 2n2-2n+1 的 值 ， 所 以 ， 代 数 式 的 值 为 ： 2n2-2n+1=2×52-2×5+1=41 个。所以，本空填 50。 例 5、按如下规律摆放三角形： 则第（4）堆三角形的个数为_____________；第(n)堆三角形的个数为_____________. 【答案】：14,3n+2 【解析】：仔细观察第一个图形，三角形排列的特点是中间 3=(1+2)个,左右各 1 个,即图 1 中三角形的总数为 1+(1+2)+1,第二个图形中三角形形的特点是中间是 4=(2+2)个，左右两边 各 2 个，即为 2+(2+2)+2 个，第三个图形中三角形的特点是中间是 5=(3+2)个，左右分别是 3 个，即为 3+(3+2)+3，分析到这里，相信你一定想到了这里面的变化规律了吧。是的，第 n 个图形中三角形的个数为 n+（n+2）+n =3n+2，这样，第 4 个图形中三角形正方形的个数，也 就是当 n=4 时，代数式 3n+2 的值，所以，代数式的值为：3n+2=3×4+2=14 个。所以，本题 的两个空分别填 14 和 3n+2。 例 6、柜台上放着一堆罐头，它们摆放的形状见右图： 第一层有 2×3 听罐头，第二层有 3×4 听罐头，第三层有 4×5 听罐头，…… 根据这堆罐头排列的规律，第 n（n 为正整数）层有 听罐头（用含 n 的式 子表示）。4 【答案】：n2+3n+2 【解析】：仔细观察图形，第一层有 2×3 听罐头，对应的序号为 1，第一个数字 2 与序号 1 的关系是序号+1，第二个数字是 3，它与序号的关系是序号+2；第二层有 3×4 听罐头，对 应的序号为 2，第一个数字 3 与序号的关系是序号+1，第二个数字是 4，它与序号的关系是 序号+2；第三层有 4×5 听罐头，对应的序号为 3，第一个数字 4 与序号的关系是序号+1， 第二个数字是 5，它与序号的关系是序号+2；分析到这里，相信你一定想到了这里面的变化 规律了吧。是的，第 n 层中有（n+1）（n+2）听罐头，即 n 2+3n+2。所以，本题的空填 n2+3n+2。 例 7、下列图中有大小不同的菱形，第 1 幅图中有 1 个，第 2 幅图中有 3 个，第 3 幅图中有 5 个，则第 幅图中共有 个。 【答案】：2n+1 【解析】：仔细观察第一个图形，有一个菱形，第二个图形中有 3 个菱形，第三个图形中有 5 个菱形，………仔细观察这些数的特点，恰好是奇数构成的数列，由此，就清楚了变化的 规律了。所以，第 n 个图形中有 2n+1 个菱形。 3、恒等式型数字问题 例 8、试观察下列各式的规律，然后填空： …… 则 _______________。 【答案】： 【解析】：要想找到式子的变化规律，同学们应该仔细观察式子的特点，找出式子中，哪些 量是在固定不变的，哪些量是在不断变化。这对解题很关键。 仔细观察式子，不难发现等式左边中的（x-1）是个固定不变的量。左边式子中第二个括号 中多项式的次数是不断变化的，且多项式的次数等于对应等式的序号数，即第一个等式中的 多项式的次数是 1，第二个等式中的多项式的次数为 2， 所以，第 n 个等式中的多项式的次 n 111 −x 1 2 3 n … …5 数为 n，这是等式左边的变化规律； 等式右边的规律，容易找些，多项式中的常数项是保持不变的，字母 x 的指数随等式的序号 变化而变化，且满足字母 x 的指数等于等式的序号加 1。所以，第 10 个等式的结果为 。 例 9、观察下列各式： 　　 　　 　　 ……依此规律，第 n 个等式（n 为正整数）为 。 【答案】：（10n+5）2=n（n+1）×100+52。 【解析】：要想找到式子的变化规律，同学们应该仔细观察式子的特点，找出式子中，哪些 量是在固定不变的，哪些量是在不断变化。这对解题很关键。 等式左边底数的特点是，个位数字都 5，是个不变的量，十位数字与对应的序号一致，分别 是 1、2、3、4…………； 等式右边的特点是：第一个数字与对应的序号是一致的，括号里的数字的特点是对应的序号 与常数 1 的和；第三个数字又是一个固定的常数 100；第四个数字是常数 5 的平方，也是固 定不变的。 通过分析，我们知道在这里对应的序号是问题的根本。而第 n 个等式的序号为 n，所以第 n 个等式应该是：（10n+5）2=n（n+1）×100+52。 例 10、观察下列等式： 第一行 3=4－1 第二行 5=9－4 第三行 7=16－9 第四行 9=25－16 … …　按照上述规律，第 n 行的等式为____________ 【答案】：2n+1=（n+1）2- n2。 【解析】：等式的左边的特点是：奇数 3、5、7、9 …， 这些奇数可以用对应的序号表示，3=2×1+1， 5=2×2+1，7=2×3+1，9=2×4+1， 111 −x6 其中 1、2、3、4 等恰好是对应的序号，所以，第 n 个奇数为 2n+1，这样，我们就把等式左 边的规律找出来了； 等式右边的特点是：被减数为 4、9、16、25、…恰好是 22，32，42，52，…等对应的幂，幂 的底数与对应的序号的关系是：底数=对应序号+1，这样，我们就又找到了一部分规律， 第 n 个被减数为（n+1）2； 减数分别为 1、4、9、16…恰好是 12，22，32，42，…等对应的幂，幂的底数与对应的序号 的关系是：底数=对应序号，这样，我们就又找到了一部分规律，第 n 个减数为 n2； 所以，本题的变化规律为：2n+1=（n+1）2- n2。 例 11、观察下列各式： 请你将发现的规律用含自然数 n(n≥1)的等式表示出来 。 【答案】： =( n+1 ) 。 【解析】：仔细观察我们发现，等式的左边的特点是： 被开方数中，第一个加数分别是 1、2、3、………等的自然数，第二个加数是一个分数，且 分子都是 1，是固定不变的，这就是一条规律；分母分别是 3、4、5、6………，这些数与第 一个加数的关系是：分母=第一个加数+2，这是第二规律； 等式的右边的特点是：二次根式的系数分别是 2、3、4、5、………，这些数与左边的被开 方数中的第一个加数的关系是：二次根式系数=左边的被开方数中的第一个加数+1，这是右 边的第一个规律；而被开方数也是一个分数，且分子是 1，保持不变，这是一条规律，分数 中的分母与左边分数中分母一样。这是第二条规律。这样的话，因为，第 n 个等式中的第一 个加数为 n，所以，第 n 个等式为： =( n+1 ) 。 4、幂指数型数字问题 例 12、已知：21=2，22=4，23=8，24=16、25=32，…………………， 仔细观察，式子的特点，根据你发现的规律，则 22008 的个位数字是： A 2 B 4 C 6 D 8 【答案】：C 【解析】：仔细观察，不难发现，当幂的指数能被 4 整除时，这个数的个位数字是 6，当被 2 1 ++ nn 2 1 +n 2 1 ++ nn 2 1 +n7 4 除，余数是 3 时，这个数的个位数字为 8，当被 4 除，余数是 2 时，这个数的个位数字为 4，当被 4 除，余数是 1 时，这个数的个位数字为 2， 所以，问题解决的关键，就是看幂的指 数被 4 除的情形就可了。我们知道 2008 是能被 4 整除的，所以，22008 的个位数字是 6， 所以，选 C。 5 、排列型数字问题 例 13、把正整数 1，2，3，4，5，……，按如下规律排列： 1 2，3， 4，5，6，7， 8，9，10，11，12，13，14，15， … … … … 按此规律，可知第 n 行有 个正整数 【答案】： 【解析】：仔细观察各行数字的个数，不难发现，第一行有 1 个数字，第二行有 2 个数字， 第三行有 4 个数字，第四行有 8 个数字，再用我们前面所用的方法，我们就不容易找到变化 的规律了。我们不妨换一种思路。利用幂指数的思想试一试。由于第一个数字是 1，联想到 任何不是零的数的任何次幂都是 1，所以，指数 0=序号 1-1，又因为第二行有 2 个数字，第 三行有 4 个数字，第四行有 8 个数字，这些数字都是偶数，所以底数一定是偶数，是 2、或 4 或 6 等等，但是，第二个数为 2，指数等于 2-1=1，所以，底数为 2，这样，我们就找到规 律，第 n 行中的数字个数为 。 例 14、将正整数按如图所示的规律排列下去。若用有序实数对（ ， ）表示第 排，从 左到右第 个数，如（4，3）表示实数 9，则（7，2）表示的实数是 。 【答案】：23 【解析】：仔细观察各行数字的个数，不难发现，第一行有 1 个数字，第二行有 2 个数字， 第三行有 3 个数字，第四行有 4 个数字，……第 n 行有 n个数字，这是第一条变化规律；我 12 −n 12 −n8 们再来观察一下，每一行最后的一个数字的特点，不难发现，第二行的最后一个数字 3=第 一行中的数字个数 1+第二行数字个数 2，第三行最后的数字 6=第一行数字个数 1+第二行数 字 2+第三行数字个数 3；因此，第 n 行的最后一个数字=1+2+3+4+ …………+n= ， 所以，第六行最后的数字为： = =21，所以，第七行的第一个数字为 22，第二 个数字位 23，因为（7，2）的意义就是第七行第二个数的意思，所以，（7，2）表示的实数 是 23。 6、图表型数字问题 例 15、观察表 1，寻找规律．表 2 是从表 1 中截取的一部分，其中 的值分别为 （ ）。 表 1　　　　　　　　　　　　　　　　 表 2 1 2 3 4 …… 2 4 6 8 …… 3 6 9 12 …… 4 8 12 16 …… …… …… …… …… …… A．20，25，24 B．25，20，24 C．18，25，24 D．20，30，25 【答案】：A 【解析】：仔细观察图表的结构，发现第 n 行，第 m 列的交叉处的数恰好是 n 与 m 的积。 结合表 1，就知道数 c 在六行，四列的交叉处，所以 c 的数值为 6×4=24；a 在四行，五列 的交叉处，所以 a 的数值为 4×5=20；b 在五行，五列的交叉处，所以 b 的数值为 5×5=25； 所以，选 A。 16 20 30 2 )1( +nn 2 )1( +nn 2 76× a b c， ， a b c