1
类型六 二次函数与三角形相似问题
例 1、如图 1，已知抛物线的顶点为 A（2，1），且经过原点 O，与 x 轴的另一个交点为 B。
⑴求抛物线的解析式；（用顶点式求得抛物线的解析式为 ）
⑵若点 C 在抛物线的对称轴上，点 D 在抛物线上，且以 O、C、D、B 四点为顶点的四边形为
平行四边形，求 D 点的坐标；
⑶连接 OA、AB，如图 2，在 x 轴下方的抛物线上是否存在点 P，使得△OBP 与△OAB 相似？
若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，说明理由。
【答案】解:⑴由题意可设抛物线的解析式为
∵抛物线过原点，
∴
∴ .
抛物线的解析式为 ,即
⑵如图 1,当 OB 为边即四边形 OCDB 是平行四边形时,CD ∥
＝ OB,
由 得 ,
∴B(4,0),OB＝4.
∴D 点的横坐标为 6
将 x＝6 代入 ,得 y＝－3,
∴D(6,－3);
根据抛物线的对称性可知,在对称轴的左侧抛物线上存在点 D,使得四边形 ODCB 是平行四边
形,此时 D 点的坐标为(－2,－3),
当 OB 为对角线即四边形 OCBD 是平行四边形时,D 点即为 A 点,此时 D 点的坐标为(2,1)
⑶如图 2，由抛物线的对称性可知:AO＝AB,∠AOB＝∠ABO.
xx4
1y 2 +−=
1)2x(ay 2 +−=
1)20(a0 2 +−=
4
1a −=
1)2x(4
1y 2 +−−= xx4
1y 2 +−=
1)2x(4
10 2 +−−= 4x,0x 21 ==
1)2x(4
1y 2 +−−=
例 1 题图图 1 图 2
图 12
若△BOP 与△AOB 相似,必须有∠POB＝∠BOA＝∠BPO
设 OP 交抛物线的对称轴于 A′点,显然 A′(2,－1)
∴直线 OP 的解析式为
由 ,
得
.∴P(6,－3)
过 P 作 PE⊥x 轴,在 Rt△BEP 中,BE＝2,PE＝3,
∴PB＝ ≠4.
∴PB≠OB,∴∠BOP≠∠BPO,
∴△PBO 与△BAO 不相似,
同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的 P 点.
所以在该抛物线上不存在点 P,使得△BOP 与△AOB 相似.
例 2、已知抛物线 经过 及原点 ．
（1）求抛物线的解析式．（由一般式得抛物线的解析式为 ）
（2）过 点作平行于 轴的直线 交 轴于 点，在抛物线对称轴右侧且位于直线
下方的抛物线上，任取一点 ，过点 作直线 平行于 轴交 轴于 点，交直线
于 点，直线 与直线 及两坐标轴围成矩形 ．是否存在点 ，使得 与
相似？若存在，求出 点的坐标；若不存在，说明理由．
（3）如果符合（2）中的 点在 轴的上方，连结 ，矩形 内的四个三角形
之间存在怎样的关系？为什么？
【答案】解：（1）由已知可得：
22 5 3
3 3y x x= − +
x2
1y −=
xx4
1x2
1 2 +−=−
6x,0x 21 ==
13
2y ax bx c= + + 5 3( 3 3) 02P E
，， ， (0 0)O ，
P x PC y C PC
Q Q QA y x A PC
B QA PC OABC Q OPC△
PQB△ Q
Q x OQ OABC
OPC PQB OQP OQA， ， ，△ △ △ △
图 23
解之得， ．
因而得，抛物线的解析式为： ．
（2）存在．
设 点的坐标为 ，则 ，
要使 ，则有 ，即
解之得， ．
当 时， ，即为 点，所以得
要使 ，则有 ，即
解之得， ，当 时，即为 点，
当 时， ，所以得 ．
故存在两个 点使得 与 相似．
点的坐标为 ．
（3）在 中，因为 ．所以 ．
当 点的坐标为 时， ．
所以 ．
因此， 都是直角三角形．
又在 中，因为 ．所以 ．
22 5 3
3 3y x x= − +
3 3
3 3
n m− −=
3tan 3
QAQOA AO
∠ = =
3 3 3
75 5 3 04 2
0
a b
a b
c
+ =
+ =
=
2 5 3 03 3a b c= − = =， ，
Q ( )m n， 22 5 3
3 3n m m= − +
, BQ PBOCP PBQ CP OC
=△ ∽△ 3 3
33
n m− −=
22 5 33 33 3
33
m m m+ − −=
1 22 3 2m m= =，
1 2 3m = 2n = Q (2 3 2)Q ，
, BQ PBOCP QBP OC CP
=△ ∽△
22 5 33 33 3
3 3
m m m+ − −=
1 23 3 3m m= =， 3m = P
1 3 3m = 3n = − (3 3 3)Q −，
Q OCP△ PBQ△
Q (2 3 2) (3 3 3)−，， ，
Rt OCP△ 3tan 3
CPCOP OC
∠ = = 30COP∠ =
Q (2 3 2)， 30BPQ COP∠ = ∠ =
90OPQ OCP B QAO∠ = ∠ = ∠ = ∠ =
OPC PQB OPQ OAQ， ， ，△ △ △ △
Rt OAQ△ 30QOA∠ = 4
即有 ．
所以 ，
又因为 ，
所以 ．
例 3、如图，四边形 OABC 是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，点 A 在 x 轴上，点 C
在 y 轴上，将边 BC 折叠，使点 B 落在边 OA 的点 D 处。已知折叠 ，且
。
（1）判断 与 是否相似？请说明理由；
（2）求直线 CE 与 x 轴交点 P 的坐标；
（3）是否存在过点 D 的直线 l，使直线 l、直线 CE 与 x 轴所围成的三角形和直线 l、直线 CE
与 y 轴所围成的三角形相似？如果存在，请直接写出其解析式并画出相应的直线；如果不存
在，请说明理由。
【答案】解：（1） 与 相似。
理由如下：
由折叠知， ，
，
又 ，
。
（2） ， 设 AE=3t，
则 AD=4t。
由勾股定理得 DE=5t。
30POQ QOA QPB COP∠ = ∠ = ∠ = ∠ =
OPC PQB OQP OQA△ ∽△ ∽△ ∽△
QP OP QA OA，⊥ ⊥ 30POQ AOQ∠ = ∠ =
OQA OQP△ ≌△
5 5CE =
3tan 4EDA∠ =
OCD△ ADE△
OCD△ ADE△
90CDE B∠ = ∠ = °
1 2 90∠ + ∠ =∴ ° 1 3 90 2 3.∠ + ∠ = ∴∠ = ∠ ，
90COD DAE∠ = ∠ =∵ °
OCD ADE∴△ ∽△
3tan 4
AEEDA AD
∠ = =∵ ∴
O x
y
C B
E
A
O x
y
图 1
C B
E
D
3
1 2
A
图 2
O x
y
C B
E
D
P
M
G
l
N
A
F5
。
由（1） ，得 ，
，
。
在 中， ，
，解得 t=1。
OC=8，AE=3，点 C 的坐标为（0，8），
点 E 的坐标为（10，3），
设直线 CE 的解析式为 y=kx+b，
解得
，则点 P 的坐标为（16，0）。
（3）满足条件的直线 l 有 2 条：y=－2x+12，
y=2x－12。
如图 2：准确画出两条直线。
例 4、在平面直角坐标系 中，已知二次函数 的图象与 轴交于
两点（点 在点 的左边），与 轴交于点 ，其顶点的横坐标为 1，且过点
和 ．
（1）求此二次函数的表达式；（由一般式得抛物线的解析式为 ）
（2）若直线 与线段 交于点 （不与点 重合），则是否存在这样
的直线 ，使得以 为顶点的三角形与 相似？若存在，求出该直线的函数
表达式及点 的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点 是位于该二次函数对称轴右边图象上不与顶点重合的任意一点，试比较锐角
与 的大小（不必证明），并写出此时点 的横坐标 的取值范围．
3 5 8OC AB AE EB AE DE t t t= = + = + = + =∴
OCD ADE△ ∽△ OC CD
AD DE
=
8
4 5
t CD
t t
=∴
10CD t=∴
DCE△ 2 2 2CD DE CE+ =∵
2 2 2(10 ) (5 ) (5 5)t t+ =∴
∴
10 3
8
k b
b
+ =
=
，∴ ，
1
2
8
k
b
= −
=
，
，
1 82y x= − +∴
xOy 2 ( 0)y ax bx c a= + + ≠ x
A B， A B y C (2 3)，
( 3 12)− −，
2 2 3y x x= − + +
: ( 0)l y kx k= ≠ BC D B C，
l B O D， ， BAC△
D ( 1 0) (3 0), (0 3)A B C− ，， ， ，
P
PCO∠ ACO∠ P px6
【答案】解：（1） 二次函数图象顶点的横坐标为 1，且过点 和 ，
由 解得
此二次函数的表达式为 ．
（2）假设存在直线 与线段 交于点 （不与点 重合），使得以
为顶点的三角形与 相似．
在 中，令 ，则由 ，解得
．
令 ，得 ． ．
设过点 的直线 交 于点 ，过点 作 轴于点 ．
点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，点 的坐标为 ．
．
要使 或 ，
已有 ，则只需 ， ①
(2 3)， ( 3 12)− −，
∴
12
4 2 3
9 3 2 12.
b
a
a b c
a b
− =
+ + =
− + = −
，
，
1
2
3.
a
b
c
= −
=
=
，
，
∴ 2 2 3y x x= − + +
: ( 0)l y kx k= ≠ BC D B C，
B O D， ， BAC△
2 2 3y x x= − + + 0y = 2 2 3 0x x− + + = 1 21 3x x= − =，
( 1 0) (3 0)A B∴ − ，， ，
0x = 3y = (0 3)C∴ ，
O l BC D D DE x⊥ E
B (3 0)， C (0 3)， A ( 1 0)− ，
4 3 45 .AB OB OC OBC∴ = = = ∠ = ， ，
2 23 3 3 2BC∴ = + =
BOD BAC△ ∽△ BDO BAC△ ∽△
B B∠ = ∠ BD BO
BC BA
=
O y
C
lx
BA
1x =
y
x
BEA O
C
D
1x =
l7
或 ②
成立．
若是①，则有 ．
而 ．
在 中，由勾股定理，得 ．
解得 （负值舍去）．
．
点 的坐标为 ．
将点 的坐标代入 中，求得 ．
满足条件的直线 的函数表达式为 ．
［或求出直线 的函数表达式为 ，则与直线 平行的直线 的函数表达式为
．此时易知 ，再求出直线 的函数表达式为 ．联立
求得点 的坐标为 ．］
若是②，则有 ．
而 ．
在 中，由勾股定理，得 ．
解得 （负值舍去）．
．
点 的坐标为 ．
将点 的坐标代入 中，求得 ．
.BO BD
BC BA
=
3 3 2 9 2
4 4
BO BCBD BA
×= = =
45OBC BE DE∠ = ∴ =，
∴ Rt BDE△
2
2 2 2 2 9 22 4BE DE BE BD
+ = = =
9
4BE DE= =
9 33 4 4OE OB BE∴ = − = − =
∴ D 3 9
4 4
，
D ( 0)y kx k= ≠ 3k =
∴ l 3y x=
AC 3 3y x= + AC l
3y x= BOD BAC△ ∽△ BC 3y x= − +
3 3y x y x= = − +， D 3 9
4 4
，
3 4 2 2
3 2
BO BABD BC
×= = =
45OBC BE DE∠ = ∴ =，
∴ Rt BDE△ 2 2 2 2 22 (2 2)BE DE BE BD+ = = =
2BE DE= =
3 2 1OE OB BE∴ = − = − =
∴ D (1 2)，
D ( 0)y kx k= ≠ 2k =8
满足条件的直线 的函数表达式为 ．
存在直线 或 与线段 交于点 （不与点 重合），使得以
为顶点的三角形与 相似，且点 的坐标分别为 或 ．
（3）设过点 的直线 与该二次函数的图象交于点 ．
将点 的坐标代入 中，求得 ．
此直线的函数表达式为 ．
设点 的坐标为 ，并代入 ，得 ．
解得 （不合题意，舍去）．
．
点 的坐标为 ．
此时，锐角 ．
又 二次函数的对称轴为 ，
点 关于对称轴对称的点 的坐标为 ．
当 时，锐角 ；
当 时，锐角 ；
当 时，锐角 ．
例 5 、如图所示，已知抛物线 与 轴交于 A、B 两点，与 轴交于点 C．
（1）求 A、B、C 三点的坐标．
（2）过点 A 作 AP∥CB 交抛物线于点 P，求四边形 ACBP 的面积．
（3）在 轴上方的抛物线上是否存在一点 M，过 M 作 MG 轴于点 G，使以 A、M、G 三点
为顶点的三角形与 PCA 相似．若存在，请求出 M 点的坐标；否则，请说明理由．
∴ l 2y x=
∴ : 3l y x= 2y x= BC D B C，
B O D， ， BAC△ D 3 9
4 4
， (1 2)，
(0 3) (1 0)C E，， ， 3( 0)y kx k= + ≠ P
(1 0)E ， 3y kx= + 3k = −
∴ 3 3y x= − +
P ( 3 3)x x− +， 2 2 3y x x= − + + 2 5 0x x− =
1 25 0x x= =，
5 12x y∴ = = −，
∴ P (5 12)−，
PCO ACO∠ = ∠
1x =
∴ C C′ (2 3)，
∴ 5px > PCO ACO∠ < ∠
5px = PCO ACO∠ = ∠
2 5px< < PCO ACO∠ > ∠
2 1y x= − x y
x ⊥ x
∆
x
BEA O
C
1x = P
C′·
o
C
BA x
P
y9
【答案】解：（1）令 ，得 解得
令 ，得
∴ A B C
（2）∵OA=OB=OC= ∴ BAC= ACO= BCO=
∵AP∥CB， ∴ PAB=
过点 P 作 PE 轴于 E，则 APE 为等腰直角三角形
令 OE= ，则 PE= ∴P
∵点 P 在抛物线 上 ∴
解得 ， （不合题意，舍去）
∴PE=
∴四边形 ACBP 的面积 = AB•OC+ AB•PE=
(3)． 假设存在
∵ PAB= BAC = ∴PA AC
∵MG 轴于点 G， ∴ MGA= PAC =
在 Rt△AOC 中，OA=OC= ∴AC=
在 Rt△PAE 中，AE=PE= ∴AP=
设 M 点的横坐标为 ，则 M
①点 M 在 轴左侧时，则
(ⅰ) 当 AMG PCA 时，有 =
∵AG= ，MG= 即
0y = 2 1 0x − = 1x = ±
0x = 1y = −
( 1,0)− (1,0) (0, 1)−
1 ∠ ∠ ∠ 45
∠ 45
⊥ x ∆
a 1a + ( , 1)a a +
2 1y x= − 21 1a a+ = −
1 2a = 2 1a = −
3
S 1
2
1
2
1 12 1 2 3 42 2
× × + × × =
∠ ∠ 45 ⊥
⊥ x ∠ ∠ 90
1 2
3 3 2
m 2( , 1)m m −
y 1m < −
∆ ∽ ∆ AG
PA
MG
CA
1m− − 2 1m −
21 1
3 2 2
m m− − −=
G
M
图 2
C
B
y
P
A o x
图 1
C
P
B
y
A o x10
解得 （舍去） （舍去）
(ⅱ) 当 MAG PCA 时有 =
即 解得： （舍去）
∴M
② 点 M 在 轴右侧时，则
(ⅰ) 当 AMG PCA 时有 =
∵AG= ，MG=
∴ 解得 （舍去）
∴M
(ⅱ) 当 MAG PCA 时有 =
即
解得： （舍去）
∴M
∴存在点 M，使以 A、M、G 三点为顶点的三角形与 PCA 相似
M 点的坐标为 ， ，
例 6、已知：如图，在平面直角坐标系中， 是直角三角形， ，点
的坐标分别为 ， ， ．
（1）求过点 的直线的函数表达式；点 ， ， ，
（2）在 轴上找一点 ，连接 ，使得 与 相似（不包括全等），并求点
的坐标；
（3）在（2）的条件下，如 分别是 和 上的动点，连接 ，设
，问是否存在这样的 使得 与 相似，如存在，请求出 的
1 1m = − 2
2
3m =
∆ ∽ ∆ AG
CA
MG
PA
21 1
2 3 2
m m− − −= 1m = − 2 2m = −
( 2,3)−
y 1m >
∆ ∽ ∆ AG
PA
MG
CA
1m + 2 1m −
21 1
3 2 2
m m+ −= 1 1m = − 2
4
3m =
4 7( , )3 9
∆ ∽ ∆ AG
CA
MG
PA
21 1
2 3 2
m m+ −=
1 1m = − 2 4m =
(4,15)
∆
( 2,3)− 4 7( , )3 9 (4,15)
ABC△ 90ACB∠ = A C，
( 3 0)A − ， (1 0)C ， 3tan 4BAC∠ =
A B， ( 3 0)A − ， (1 0)C ， B (13)， 3 9
4 4y x= +
x D DB ADB△ ABC△
D
P Q， AB AD PQ
AP DQ m= = m APQ△ ADB△ m
G
M
图 3
C
B
y
P
A o x11
值；如不存在，请说明理由．
【答案】解：（1） 点 ，
， ， 点坐标为
设过点 的直线的函数表达式为 ，
由 得 ， 直线 的函数表达式为
（2）如图 1，过点 作 ，交 轴于点 ，
在 和 中，
，
点为所求又 ，
，
（3）这样的 存在
在 中，由勾股定理得 如图 1，当 时，
则 ，解得
如图 2，当 时，
则 ，解得
( 3 0)A − ， (1 0)C ，
4AC∴ = 3tan 4 34BC BAC AC= × = × =∠ B (13)，
A B， y kx b= +
0 ( 3)
3
k b
k b
= × − +
= +
3
4k = 9
4b = ∴ AB 3 9
4 4y x= +
B BD AB⊥ x D
Rt ABC△ Rt ADB△
BAC DAB=∠ ∠ Rt RtABC ADB∴ △ ∽ △
D∴ 4tan tan 3ADB ABC= =∠ ∠
4 9tan 3 3 4CD BC ADB∴ = ÷ = ÷ =∠ 13
4OD OC CD∴ = + = 13 04D ∴ ，
m
Rt ABC△ 5AB = PQ BD∥ APQ ABD△ ∽△
133 4
135 3 4
mm + −
=
+
25
9m =
PQ AD⊥ APQ ADB△ ∽△
133 4
13 53 4
mm + −
=
+
125
36m =
A CO
B
x
y
A
B
C DQO
y
x
图 1
P
A
B
C DQ O
y
x
图 2
P
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