2020年中考数学二轮复习重难题型突破类型四抛物线型问题.doc

1 类型四 抛物线形问题 例 1、已知平面直角坐标系 （如图 1），直线 的经过点 和点 . （1）求 、 的值； （2）如果抛物线 经过点 、 ，该抛物线的顶点为点 ，求 的 值； （3）设点 在直线 上，且在第一象限内，直线 与 轴的交点为点 ， 如果 ，求点 的坐标. 【答案】：（1） （2） （3）（4,8） 【解析】：（1） ∵直线 的经过点 ∴ ∴ ∵直线 的经过点 ∴ ∴ （2）由可知点 的坐标为 ∵抛物线 经过点 、 ∴ ∴ ， ∴抛物线 的表达式为 ∴抛物线 的顶点坐标为 ∴ , , ∴ ∴ xOy mxy += )0,4(−A )3,(nB m n cbxxy ++= 2 A B P ABP∠sin Q mxy += mxy += y D DOBAQO ∠=∠ Q 1−=n 10 10sin =∠ABP mxy += )0,4(−A 04 =+− m 4=m mxy += )3,(nB 34 =+n 1−=n B )3,1(− cbxxy ++= 2 A B    =+− =+− 31 0416 cb cb 6=b 8=c cbxxy ++= 2 862 ++= xxy 862 ++= xxy )1,3( −−P 23=AB 2=AP 52=PB 222 PBBPAB =+ °=∠ 90PAB 图 1 O x y2 ∴ ∴ （3）过点 作 轴，垂足为点 ，则 ∥ 轴 ∵ , ∴△ ∽△ ∴ ∵直线 与 轴的交点为点 ∴点 的坐标为 , 又 ， ∴ ， ∵ ∴ , ∵ ∥ 轴 ∴ ∴ ∴ 即点 的纵坐标是 又点 在直线 上 点 的坐标为 例 2、如图在直角坐标平面内，抛物线 与 y 轴交于点 A，与 x 轴分别 PB APABP =∠sin 10 10sin =∠ABP Q xQH ⊥ H QH y DOBAQO ∠=∠ QBOOBD ∠=∠ OBD QBO OB DB QB OB = 4+= xy y D D )4,0( 4=OD 10=OB 2=DB 25=QB 24=DQ 23=AB 28=AQ 24=DQ QH y AQ AD QH OD = 28 244 = QH 8=QH Q 8 Q 4+= xy Q )8,4( 32 −+= bxaxy3 交于点 B（-1，0）、点 C（3，0），点 D 是抛物线的顶点. （1）求抛物线的表达式及顶点 D 的坐标； （2）联结 AD、DC，求 的面积； （3）点 P 在直线 DC 上，联结 OP，若以 O、P、C 为顶点的三角形与△ABC 相似，求点 P 的坐标． 【答案】（1）（1，-4）（2）3（3） 或 【解析】：（1） 点 B（-1，0）、C（3，0）在抛物线 上 ∴ ，解得 ∴抛物线的表达式为 ，顶点 D 的坐标是（1，-4） （2）∵A（0，-3），C（3，0），D（1，-4） ∴ ， ， ∴ ∴ ∴ （3）∵ ， ， ∴△CAD∽△AOB，∴ ∵OA=OC， ∴ ∴ ，即 若以 O、P、C 为顶点的三角形与△ABC 相似 ，且△ABC 为锐角三角形 ACD∆ )5 18,5 6(1 −P )2,2(2 −P 32 −+= bxaxy    =−+ =−− 0339 03 ba ba    −= = 2 1 b a 322 −−= xxy 23=AC 52=CD 2=AD 222 ADACCD += °=∠ 90CAD .32232 1 2 1 =××=⋅⋅=∆ ADACS ACD °=∠=∠ 90AOBCAD 2== AO AC BO AD OABACD ∠=∠ °=∠ 90AOC °=∠=∠ 45OCAOAC ACDOCAOABOAC ∠+∠=∠+∠ BCDBAC ∠=∠ 备用图 第 2 题图4 则 也为锐角三角形，点 P 在第四象限 由点 C（3，0），D（1，-4）得直线 CD 的表达式是 ，设 （ ） 过 P 作 PH⊥OC，垂足为点 H，则 ， ①当 时,由 得 ， ∴ ，解得 ， ∴ ②当 时,由 得 ， ∴ ，解得 ，∴ 综上得 或 例 3、已知抛物线经过点 、 、 ． （1）求抛物线的解析式； （2）联结 AC、BC、AB，求 的正切值； （3）点 P 是该抛物线上一点，且在第一象限内，过点 P 作 交 轴于点 ，当点 在点 的上方，且 与 相似时，求点 P 的坐标． 【答案】：（1）解得 （2） （3）点 的坐标为 或 【解析】：（1）设所求二次函数的解析式为 ， 将 （ , ）、 （ ，）、 （ , ）代入，得 POC∆ 62 −= xy )62,( −ttP 30 7 由△DPH 与△AOB 相似，易知∠AOB=∠PHD=90°， 所以 或 ， 解得： 或 ， 所以点 P 的坐标为（5,8）， . 例 5、平面直角坐标系 xOy 中（如图 8），已知抛物线 经过点 A（1,0）和 B （3,0）， 与 y 轴相交于点 C，顶点为 P． （1）求这条抛物线的表达式和顶点 P 的坐标； （2）点 E 在抛物线的对称轴上，且 EA=EC， 求点 E 的坐标； （3）在（2）的条件下，记抛物线的对称轴为 直线 MN，点 Q 在直线 MN 右侧的抛物线 上，∠MEQ=∠NEB，求点 Q 的坐标． 【答案】：（1）P 的坐标是（2，-1）（2）m=2（3） ，点 E 的坐标为（5，8） 【解析】：（1）∵二次函数 的图像经过点 A（1，0）和 B（3，0）， 　　　　∴ ，解得： ， ． ∴这条抛物线的表达式是 . 顶点 P 的坐标是（2，-1）． 2 4 3 1 32 p p p − + + =− 2 4 3 1 1 2 3 p p p − + + =− 5p = 7 3p = 7 8,3 9  −   2y x bx c= + + 5t = 2y x bx c= + + 1 0 9 3 0 b c b c + + =  + + = 4b = − 3c = 2 4 3y x x= − + 图 58 　（2）抛物线 的对称轴是直线 ，设点 E 的坐标是（2，m）． 根据题意得： ，解得：m=2， ∴点 E 的坐标为（2，2）． （3）解法一：设点 Q 的坐标为 ，记 MN 与 x 轴相交于点 F． 作 QD⊥MN，垂足为 D， 则 ， , ∵∠QDE=∠BFE=90°，∠QED=∠BEF，∴△QDE∽△BFE， ∴ ，∴ ， 解得 （不合题意，舍去）， ． ∴ ，点 E 的坐标为（5，8）． 解法二：记 MN 与 x 轴相交于点 F．联结 AE，延长 AE 交抛物线于点 Q， ∵AE=BE， EF⊥AB，∴∠AEF=∠NEB， 又∵∠AEF=∠MEQ，∴∠QEM=∠NEB， 点 Q 是所求的点，设点 Q 的坐标为 ， 作 QH⊥x 轴，垂足为 H，则 QH= ，OH=t，AH=t-1， ∵EF⊥x 轴，∴EF ∥QH，∴ ，∴ ， 解得 （不合题意，舍去）， ． ∴ ，点 E 的坐标为（5，8）． 例 6 、 在 平 面 直 角 坐 标 系 xOy 中 ， 已 知 点 B （ 8,0 ） 和 点 C （ 9 ， ）．抛 物 线 （a，c 是常数，a≠0）经过点 B、C，且与 x 轴的另一交点为 A．对称轴 上有一点 M ，满足 MA=MC． （1） 求这条抛物线的表达式； （2） 求四边形 ABCM 的面积； （3） 如果坐标系内有一点 D，满足四边形 ABCD 是等腰梯形， 且 AD//BC，求点 D 的坐标． 2 4 3y x x= − + 2x = 2 2 2 2(2 1) ( 0) (2 0) ( 3)m m− + − = − + − 2( , 4 3)t t t− + 2DQ t= − 2 24 3 2 4 1DE t t t t= − + − = − + DQ DE BF EF = 22 4 1 1 2 t t t− − += 1 1t = 2 5t = 5t = 2( , 4 3)t t t− + 2 4 3t t− + EF AF QH AH = 2 2 1 4 3 1t t t =− + − 1 1t = 2 5t = 5t = 3− caxaxy +−= 82 xB C 第 6 题图 O y ·9 【答案】：（1）抛物线的表达式： （2）3（3） 点 D 的坐标 【解析】：（1）由题意得：抛物线对称轴 ，即 ． 点 B（8,0）关于对称轴的对称点为点 A（0,0）∴ ， 将 C（9，-3）代入 ，得 ∴抛物线的表达式： （2）∵点 M 在对称轴上，∴可设 M（4，y） 又∵MA=MC，即 ∴ , 解得 y=-3, ∴M（4，-3） ∵MC//AB 且 MC≠AB, ∴四边形 ABCM 为梯形，, AB=8,MC=5,AB 边上的高 h = yM = 3 ∴ (3) 将点 B（8,0）和点 C（9，﹣3）代入 可得 ，解得 由题意得，∵AD//BC, ∴ ， 又∵AD 过（0,0），DC=AB=8， 设 D(x,-3x) , 解得 (不合题意，舍去)， ∴ ∴点 D 的坐标 ． 例 7、如图，已知在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 与 x 轴交于 xxy 3 8 3 1 2 +−= )5 39,5 13( − a ax 2 8−= 4=x 0=c axaxy 82 −= 3 1−=a xxy 3 8 3 1 2 +−= 22 MCMA = 2222 )3(54 ++=+ yy 2 393)58(2 1)(2 1 =×+×=×+= MHMCABS bkxyBC +=    −=+ =+ 39 08 bk bk    = −= 24 3 b k 3−=BCk 3−=ADk xy AD 3−= 222 8)33()9( =+−+− xx 11 =x 5 13 2 =x 5 393 −=−= xy )5 39,5 13( − 2 2y ax x c= − + O B C y A M x A BO C x y （第 7 题图） D10 点 A 和点 B（1，0），与 y 轴相交于点 C（0，3）． （1）求抛物线的解析式和顶点 D 的坐标； （2）求证：∠DAB=∠ACB； （3）点 Q 在抛物线上，且△ADQ 是以 AD 为 底的等腰三角形，求 Q 点的坐标． 【答案】：（1）顶点坐标 D（－1，4）．（2） （3）点 Q 的坐标是 ， 【解析】：（1）把 B（1，0）和 C（0，3）代入 中， 得 ，解得 ． ∴抛物线的解析式是： ． ∴顶点坐标 D（－1，4）． （2）令 ，则 ， ， ，∴A（－3，0） ∴ ，∴∠CAO=∠OCA． 在 中， ． ∵ ， ， ， ∴ ， ； ∴ ， 是直角三角形且 ， ∴ ， 又∵∠DAC 和∠OCB 都是锐角，∴∠DAC=∠OCB． ∴ ， 即 ． （3）令 ， 且满足 ， ,0)， ，4） ∵ 是以 AD 为底的等腰三角形， ∴ ，即 ， 化简得： ． 由 ， DAB ACB∠ = ∠ 3 41 11 41,4 8  − + −    3 41 11 41,4 8  − − − +    2 2y ax x c= − + 9 6 0 3 a c c + + =  = 1 3 a c = −  = 2 2 3y x x= − − + 0y = 2 2 3 0x x− − + = 1 3x = − 2 1x = 3OA OC= = Rt BOC∆ 1tan 3 OBOCB OC ∠ = = 3 2AC = 2DC = 2 5AD = 2 2 20AC DC+ = 2 20AD = 2 2 2AC DC AD+ = ACD∆ 90ACD∠ =  1tan 3 DCDAC AC ∠ = = DAC CAO BCO OCA∠ + ∠ = ∠ + ∠ DAB ACB∠ = ∠ (Q x )y 2 2 3y x x= − − + ( 3A − ( 1D − ADQ∆ 2 2QD QA= 2 2 2 2( 3) ( 1) ( 4)x y x y+ + = + + − 2 2 0x y− + = 2 2 2 0 2 3 x y y x x − + =  = − − +11 解得 ， ． ∴点 Q 的坐标是 ， ． 例 8、如图 8，在平面直角坐标系 中，直线 与 轴、 轴分别相交于点 、 ，并与抛物线 的对称轴交于点 ，抛物线的顶点是点 ． （1）求 和 的值； （2）点 是 轴上一点，且以点 、 、 为顶点的三角形与△ 相似，求点 的坐 标； （3）在抛物线上是否存在点 ：它关于直线 的对称点 恰好在 轴上．如果存在，直 接写出点 的坐标，如果不存在，试说明理由． 【答案】：（1）b=1（2）点 有两个，其坐标分别是 和 （3）点 的坐标是 或 【解析】：（1） 由直线 经过点 ，可得 . 由抛物线 的对称轴是直线 ，可得 . （2） ∵直线 与 轴、 轴分别相交于点 、 ， ∴点 的坐标是 ，点 的坐标是 . 1 1 3 41 4 11 41 8 x y  − += − = 2 2 3 41 4 11 41 8 x y  − −= + = 3 41 11 41,4 8  − + −    3 41 11 41,4 8  − − − +    xOy 3y kx= + x y A B 21 7 4 2y x bx= − + + ( )2,2C D k b G y B C G BCD G E AB F y E G ( )0,1 10, 2      E 91, 4  −   92, 2      3y kx= + ( )2,2C 1 2k = − 21 7 4 2y x bx= − + + 2x = 1b = 1 32y x= − + x y A B A ( )6,0 B ( )0,3 图 8 x y 1 1O12 ∵抛物线的顶点是点 ，∴点 的坐标是 . ∵点 是 轴上一点，∴设点 的坐标是 . ∵△BCG 与△BCD 相似，又由题意知， ， ∴△BCG 与△ 相似有两种可能情况： ①如果 ，那么 ，解得 ，∴点 的坐标是 . ②如果 ，那么 ，解得 ，∴点 的坐标是 . 综上所述，符合要求的点 有两个，其坐标分别是 和 ． （3）点 的坐标是 或 . 例 9、已知：如图 9，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 的图像与 x 轴交于 点 A（3，0），与 y 轴交于点 B，顶点 C 在直线 上，将抛物线沿射线 AC 的方向平移，当顶 点 C 恰好落在 y 轴上的点 D 处时，点 B 落在点 E 处． （1）求这个抛物线的【解析】式； （2）求平移过程中线段 BC 所扫过的面积； （3）已知点 F 在 x 轴上，点 G 在坐标平面内，且以点 C、E、F、G 为顶点的四边形是矩形， 求点 F 的坐标． ． D D 92, 2      G y G ( )0,m GBC BCD∠ = ∠ BCD BG BC CB CD ＝ 3 5 55 2 m− ＝ 1m＝ G ( )0,1 BG BC CD CB ＝ 3 5 5 5 2 m− ＝ 1 2m＝ G 10, 2      G ( )0,1 10, 2      E 91, 4  −   92, 2      2 3y ax bx= + + 2x = A B O x y 备用图 A B O x y 图 913 【答案】：（1）抛物线的解析式为 （2）12（3）有 ， ， ）， ． 【解析】：（1）∵顶点 C 在直线 上，∴ ，∴ ． 将 A（3，0）代入 ，得 ， 解得 ， ． ∴抛物线的解析式为 ． （2）过点 C 作 CM⊥x 轴，CN⊥y 轴，垂足分别为 M、N． ∵ = ，∴C（2， ）． ∵ ，∴∠MAC=45°，∴∠ODA=45°， ∴ ． ∵抛物线 与 y 轴交于点 B，∴B（0， ）， ∴ ． ∵抛物线在平移的过程中，线段 BC 所扫过的面积为平行四边形 BCDE 的面积， ∴ ． （3）联结 CE. ∵四边形 是平行四边形，∴点 是对角线 与 的交点， 即 . （i）当 CE 为矩形的一边时，过点 C 作 ，交 轴于点 ， 设点 ，在 中， ， 即 ，解得 ，∴点 同理，得点 （ii）当 CE 为矩形的对角线时，以点 为圆心， 长为半径画弧分别交 轴于点 、 ，可得 ，得点 、 综上所述：满足条件的点有 ， ， ）， ． 2 4 3= − +y x x 1 5 2F（ , 0） 2 5 2F（- , 0） 3 5F（ , 0） 4 5F（- , 0） 2x = 22 = − =bx a 4= −b a 2 3y ax bx= + + 9 3 3=0+ +a b 1=a 4= −b 2 4 3= − +y x x 2 4 3= − +y x x ( )22 1= − −x 1− 1= =CM MA 3= =OD OA 2 4 3= − +y x x 3 6=BD 12 2 6 2 122 = = × × ⋅ = × =  BCDE BCDS S BD CN BCDE O CE BD 5OE OC= = 1CF CE⊥ x 1F 1F a（ , 0） 1Rt OCF 2 2 2 1 1=OF OC CF+ 2 2( 2) 5a a= − + 5 2a = 1 5 2F（ , 0） 2 5 2F（- , 0） O OC x 3F 4F 3 4= 5OF OF OC= = 3 5F（ , 0） 4 5F（- , 0） 1 5 2F（ , 0） 2 5 2F（- , 0） 3 5F（ , 0） 4 5F（- , 0）14 例 10、如图，已知抛物线 y=ax2+bx 的顶点为 C（1， ），P 是抛物线上位于第一象限内的 一点，直线 OP 交该抛物线对称轴于点 B，直线 CP 交 x 轴于点 A． （1）求该抛物线的表达式； （2）如果点 P 的横坐标为 m，试用 m 的代数式表示线段 BC 的长； （3）如果△ABP 的面积等于△ABC 的面积，求点 P 坐标． 【答案】：（1）抛物线的表达式为：y=x2-2x （2） BC= m-2+1=m-1（3）P 的坐标为（ ） 【解析】：（1）∵抛物线 y=ax2+bx 的顶点为 C（1， ） ∴ 解得： ∴抛物线的表达式为：y=x2-2x； （2）∵点 P 的横坐标为 m， ∴P 的纵坐标为：m2-2m 令 BC 与 x 轴交点为 M，过点 P 作 PN⊥x 轴，垂足为点 N ∵P 是抛物线上位于第一象限内的一点， ∴PN= m2-2m，ON=m，O M=1 由 得 ∴ BM=m-2 ∵ 点 C 的坐标为（1， ）， ∴ BC= m-2+1=m-1 1− 1 2,1+ 1− 1 12 a b b a + = −− = 1 2 a b =  = − PN BM ON OM = 2 2 1 m m BM m − = 1− (第 10 题图) y P O x C B A (第 10 题图) y P O x C B A15 （3）令 P(t，t2-2t) △ABP 的面积等于△ABC 的面积 ∴AC=AP 过点 P 作 PQ⊥BC 交 BC 于点 Q ∴CM=MQ=1 ∴t2-2t=1 ∴ （ 舍去） ∴ P 的坐标为（ ） 1 2t = + 1 2t = − 1 2,1+