2020年中考数学二轮复习重难题型突破类型七综合实践题.doc

1 题型七 综合实践题 例 1．【问题情境】 已知 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点 E 是线段 AC 上的一个动点(不与 A、C 重合)，以 CE 为一边作 Rt△DCE，使 ∠DCE＝90°，且 CD＝CA.沿 CA 方向平移△CDE，使点 C 移动到点 A，得到△ABF.过点 F 作 FG⊥BC，交线段 BC 于点 G，连接 DG、EG. 【深入探究】 (1)如图①，当点 E 在线段 AC 上时，小文猜想 GC＝GF，请你帮他证明这一结论； (2)如图②，当点 E 在线段 AC 的延长线上，且 CE＜CA 时，猜想线段 DG 与 EG 的数量关系和位置关系，并证明你的猜想； 【拓展应用】 (3)如图③，将(2)中的“CE＜CA”改为“CE＞CA”，若设∠CDE＝α，请用含 α 的式子表示∠CGE 的度数(直接回答即可， 不必证明)． 第 1 题图 【答案】(1)证明：∵在 Rt△BAC 中，∠BAC＝90°，AB＝AC， ∴∠BCA＝∠ABC＝45°， ∵FG⊥BC， ∴∠FGC＝90°，∴∠GFC＝90°－∠GCF＝45°， ∴∠GFC＝∠GCF， ∴GC＝GF； (2)解：DG＝EG，DG⊥EG； 证明：同(1)可证 GC＝GF， ∵∠DCE＝90°，∠BCA＝45°， ∴∠DCG＝45°， ∵∠GFC＝45°， ∴∠DCG＝∠EFG， ∵△CDE 平移得到△ABF， ∴CE＝AF，∴CE＋CF＝AF＋CF，即 EF＝AC， ∵AC＝CD，∴EF＝CD，∴△DCG≌△EFG(SAS)， ∴DG＝EG，∠DGC＝∠EGF，2 ∴∠DGC－∠EGC＝∠EGF－∠EGC， 即∠DGE＝∠CGF＝90°， ∴DG⊥EG； (3)解：∠CGE＝180°－α. 例 2．在正方形 ABCD 中，BD 是一条对角线，点 P 在直线 CD 上(不与点 C、D 重合)，连接 AP，平移△ADP，使点 D 移动 到点 C，得到△BCQ，过点 Q 作 QH⊥BD 于 H，连接 AH，PH. 【问题发现】 (1)如图①，若点 P 在线段 CD 上，AH 与 PH 的数量关系是________，位置关系是________； 【拓展探究】 (2)如图②，若点 P 在线段 CD 的延长线上，其他条件不变，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，否则说 明理由； 【解决问题】 (3)若点 P 在线段 DC 的延长线上，且∠AHQ＝120°，正方形 ABCD 的边长为 2，请直接写出 DP 的长度． 第 2 题图 【答案】解：(1)AH＝PH，AH⊥PH； 【解法提示】如解图①，连接 HC， 第 2 题解图① ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠BDC＝45°， 又∵QH⊥BD， ∴△DHQ 是等腰直角三角形， ∴HD＝HQ，∠HDP＝∠HQC＝45°， 由平移的性质可知 DP＝CQ， 在△HDP 和△HQC 中，{HD＝HQ ∠HDP＝∠HQC DP＝QC ， ∴△HDP≌△HQC.3 ∴HP＝HC，∠DHP＝∠QHC. 根据正方形是轴对称图形得到 HA＝HC，∠AHD＝∠CHD， ∴∠AHP＝∠AHD＋∠DHP＝∠CHD＋∠QHC＝90°，即 AH⊥PH. ∴HA＝HP，AH⊥PH. (2)(1)中的结论仍然成立， 理由如下：如解图②，连接 HC， 第 2 题解图② ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠BDC＝45°， 又∵QH⊥BD， ∴△DHQ 是等腰直角三角形，∴∠HDP＝∠HQC＝135°，HD＝HQ，由平移的性质可知 DP＝CQ， 在△HDP 和△HQC 中，{HD＝HQ ∠HDP＝∠HQC PD＝CQ ， ∴△HDP≌△HQC(SAS)， ∴HP＝HC，∠DHP＝∠QHC， 根据正方形是轴对称图形得到 HA＝HC，∠AHD＝∠CHD， ∴∠AHP＝∠AHD－∠DHP＝∠CHD－∠CHQ＝90°， ∴HA＝HP，AH⊥PH； (3)DP＝2 3. 【解法提示】由(1)知，AH＝PH，AH⊥PH， ∴∠HPA＝45°， ∵∠AHQ＝120°， ∴∠PHQ＝120°－90°＝30°. ∴∠PHD＝∠QHD－∠PHQ＝60°，∠AHB＝∠CHB＝∠AHP－∠PHD＝30°， ∴∠CHP＝∠CHB＝∠AHB＝30°， ∴∠CPH＝ 180°－∠CHP 2 ＝75°， ∴∠APD＝∠CPH－∠APH＝30°，在 Rt△ADP 中，AD＝2， ∴DP＝ 2 tan∠APD＝2 3. 例 3．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，点 O 为 AB 中点，点 P 为直线 BC 上的动点(不与点 B、点 C 重4 合)，连接 OC、OP，将线段 OP 绕点 P 逆时针旋转 60°，得到线段 PQ，连接 BQ. (1)如图①，当点 P 在线段 BC 上时，请直接写出线段 BQ 与 CP 的数量关系； (2)如图②，当点 P 在 CB 延长线上时，(1)中结论是否成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由； (3)如图③，当点 P 在 BC 延长线上时，若∠BPO＝45°，AC＝ 6，请直接写出 BQ 的长． 第 3 题图 【答案】解：(1)CP＝BQ; 【解法提示】如解图①，连接 OQ， 第 3 题解图① 由旋转可知，PQ＝OP，∠OPQ＝60°， ∴△POQ 是等边三角形， ∴OP＝OQ，∠POQ＝60°， 在 Rt△ABC 中，O 是 AB 中点， ∴OC＝OA＝OB， ∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ， ∴∠COP＝∠BOQ， 在△COP 和△BOQ 中，{OC＝OB ∠COP＝∠BOQ， OP＝OQ ∴△COP≌△BOQ(SAS)， ∴CP＝BQ； (2)成立，理由如下： 如解图②，连接 OQ，5 图② 由旋转知 PQ＝OP，∠OPQ＝60°， ∴△POQ 是等边三角形， ∴OP＝OQ，∠POQ＝60°， ∵在 Rt△ABC 中，O 是 AB 中点， ∴OC＝OA＝OB， ∴∠BOC＝2∠A＝60°＝∠POQ，∴∠COP＝∠BOQ， 在△COP 和△BOQ 中，{OC＝OB ∠COP＝∠BOQ， OP＝OQ ∴△COP≌△BOQ(SAS)， ∴CP＝BQ； (3)BQ＝ 6－ 2 2 . 【解法提示】在 Rt△ABC 中，∠A＝30°，AC＝ 6， ∴BC＝AC·tanA＝ 2， 如解图③，过点 O 作 OH⊥BC 于点 H， 第 3 题解图③ ∴∠OHB＝90°＝∠BCA，∴OH∥AC， ∵O 是 AB 中点， ∴CH＝ 1 2BC＝ 2 2 ，OH＝ 1 2AC＝ 6 2 ， ∵∠BPO＝45°，∠OHP＝90°， ∴∠BPO＝∠POH，∴PH＝OH＝ 6 2 ， ∴CP＝PH－CH＝ 6 2 － 2 2 ＝ 6－ 2 2 ， 连接 OQ，同(1)的方法得，BQ＝CP＝ 6－ 2 2 . 例 4．已知正方形 ABCD，点 E 在直线 AD 上(不与点 A、D 重合)，连接 BE，作 EF⊥BE，且 EF＝BE，过点 F 作 FG⊥BC，交 直线 BC 于点 G.6 (1)如图①，当点 E 在边 AD 上，点 G 在边 BC 的延长线上时，求证：AB＋AE＝BG； (2)如图②，当点 E 在边 DA 的延长线上，点 G 在边 BC 上时，FG 交 AD 于点 H，试猜想 AB、AE 与 BG 的关系，并加以证明； (3)如图③，当点 E 在边 AD 的延长线上，点 G 在边 BC 上时，FG 交 AD 于点 N，请直接写出线段 AB、AE、BG 之间的数量 关系，不需要证明． 　　 　　 图① 图② 图③ 第 4 题图 【答案】(1)证明：如解图，延长 AD 交 GF 的延长线于点 M， ∵四边形 ABCD 是正方形， 第 4 题解图 ∴∠A＝90°，∠ABC＝90°， 又∵FG⊥BC， ∴四边形 ABGM 是矩形， ∴AM＝BG， ∵∠A＝90°，EF⊥BE，∠M＝90°， ∴∠AEB＝∠MFE， 在△ABE 和△MEF 中，{∠A＝∠M ∠AEB＝∠MFE EB＝EF ， ∴△ABE≌△MEF(AAS)， ∴AB＝EM， ∵AM＝AE＋EM＝AE＋AB， ∴AB＋AE＝BG； (2)AB－AE＝BG； 证明：∵∠FEH＋∠BEA＝90°， ∠BEA＋∠ABE＝90°， ∴∠FEH＝∠ABE，7 在△ABE 和△HEF 中，{∠BAE＝∠EHF ∠ABE＝∠HEF BE＝EF ， ∴△ABE≌△HEF(AAS)， ∴EH＝AB，EH－AE＝AB－AE＝AH， ∵四边形 ABGH 是矩形， ∴AH＝BG，∴AB－AE＝BG； (3)AE＝AB＋BG. 【解法提示】由(2)得△ABE≌△NEF， ∴NE＝AB， ∵AN＋NE＝AN＋AB＝AE，BG＝AN， ∴AE＝AB＋BG. 例 5．如图，△ABC 中，AB＝BC，BD⊥AC 于点 D，∠FAC＝ 1 2∠ABC，且∠FAC 在 AC 下方，点 P，Q 分别是射线 BD，射线 AF 上的动点，且点 P 不与点 B 重合，点 Q 不与点 A 重合，连接 CQ，过点 P 作 PE⊥CQ 于点 E，连接 DE. (1)若∠ABC＝60°，BP＝AQ. ①如图①，当点 P 在线段 BD 上运动时，请直接写出线段 DE 和线段 AQ 的数量关系和位置关系； ②如图②，当点 P 运动到线段 BD 的延长线上时，试判断①中的结论是否成立，并说明理由； (2)若∠ABC＝2α≠60°，请直接写出当线段 BP 和线段 AQ 满足什么数量关系时，能使(1)中①的结论仍然成立(用含 α 的三角函数表示)． 第 5 题图 【答案】解：(1)①DE＝ 1 2AQ，DE∥AQ； ②成立； 【解法提示】如解图①，连接 PC、PQ，8 第 5 题解图① ∵BA＝BC，∠ABC＝60°， ∴△ABC 是等边三角形， ∴BC＝AC， ∵BC＝AC，∠FAC＝∠PBC＝30°，AQ＝BP， ∴△AQC≌△BPC(SAS)， ∴QC＝PC，∠ACQ＝∠BCP， ∴∠ACQ＋∠ACP＝∠BCP＋∠ACP＝60°， ∴△PCQ 是等边三角形， 又 PE⊥QC，∴E 为 QC 的中点， ∵AB＝BC，BD⊥AC，∴D 为 AC 的中点， ∴DE＝ 1 2AQ，DE∥AQ； ②成立．理由如下： 如解图②，连接 PC、PQ. 第 5 题解图② ∵BA＝BC，∠ABC＝60°， ∴△ABC 是等边三角形，∴BC＝AC， ∵BC＝AC，∠FAC＝∠PBC＝30°，AQ＝BP， ∴△AQC≌△BPC(SAS)， ∴QC＝PC，∠ACQ＝∠BCP， ∴∠PCQ＝∠BCA＝60°， ∴△PCQ 是等边三角形， 又∵PE⊥QC，∴E 为 QC 的中点， ∵AB＝BC，BD⊥AC，∴D 为 AC 的中点， ∴DE＝ 1 2AQ，DE∥AQ；9 第 5 题解图③ (2)如解图③，连接 PC，取 PC 中点 M，连接 MD、ME，设 PE 与 AC 交点为 N， ∵∠PDC＝90°， ∴MD＝ 1 2PC， 同理 ME＝ 1 2PC，即 MP＝MC＝MD＝ME， ∴P、D、E、C 四点共圆， ∴∠NCE＝∠NPD，∠EDC＝∠NPC， ∵DE∥AQ，∴∠QAC＝∠EDC， 又∠QAC＝∠PBC， ∴∠NPC＝∠PBC， ∵∠EPD＋∠NPC＝∠PBC＋∠BCP， ∴∠EPD＝∠BCP， ∴∠NCE＝∠BCP. 由∠NCE＝∠BCP，∠QAC＝∠PBC，得△QAC∽△PBC， ∴ AQ BP＝ AC BC＝ 2DC BC ＝2sin∠DBC＝2sin ∠ABC 2 ， 即 AQ BP＝2sinα. 例 6．已知，△ABC 为直角三角形，∠ACB＝90°，点 P 是射线 CB 上一点(点 P 不与点 B、C 重合)，线段 AP 绕点 A 顺时 针旋转 90°得到线段 AQ，连接 QB 交射线 AC 于点 M. (1)如图①，当 AC＝BC，点 P 在线段 CB 上时，线段 PB，CM 的数量关系是________； (2)如图②，当 AC＝BC，点 P 在线段 CB 的延长线上时，(1)中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请 说明理由； (3)如图③，若 AC BC＝ 5 2，点 P 在线段 CB 的延长线上，CM＝2，AP＝13，求△ABP 的面积．10 第 6 题图 【答案】解：(1)PB＝2CM； 【解法提示】如解图①，过点 Q 作 QD⊥AC 于点 D， 第 6 题解图① QE⊥BC 交 BC 的延长线于点 E. ∵AQ 是由 AP 绕点 A 顺时针旋转 90°得到的， ∴AP＝AQ，且∠PAQ＝90°， ∴∠PAC＋∠QAD＝90°，又∠PAC＋∠APC＝90°， ∴∠QAD＝∠APC， ∴△ACP≌△QDA(AAS)， ∴AC＝QD＝CE， 又∵△ABC 为等腰直角三角形， ∴AC＝BC＝EC，即点 C 为 BE 的中点， ∴CM＝ 1 2QE，即 QE＝2CM， 连接 AE，∵AC＝CE＝BC， ∴△ABE 为等腰直角三角形， ∴AE＝AB， ∵∠BAE＝∠PAQ＝90°，∴∠BAP＝∠EAQ， 又∵AP＝AQ， ∴△APB≌△AQE(SAS)， ∴BP＝QE＝2CM， ∴PB＝2CM； (2)(1)中的结论 PB＝2CM 仍然成立； 证明：如解图②所示，过点 Q 作 QG⊥BC 交 BC 的延长线于点 G，过点 A 作 AF⊥QG 交 QG 的延长线于点 F. 第 6 题解图② ∵AQ 是由 AP 绕点 A 顺时针旋转 90°得到的，11 ∴AP＝AQ，且∠PAQ＝90°， ∴∠PAC＋∠CAQ＝90°， 又∵∠QAF＋∠CAQ＝90°， ∴∠PAC＝∠QAF， ∴△PAC≌△QAF(AAS)， ∴AC＝AF， ∴四边形 AFGC 为正方形， ∴CG＝AC＝BC，即 C 为 BG 的中点， ∴QG＝2CM， 连接 AG 可得，△ABG 为等腰直角三角形， ∴AB＝AG， ∠PAB＋∠BAQ＝∠QAG＋∠BAQ＝90°， ∴∠PAB＝∠QAG， ∴△PAB≌△QAG(SAS)， ∴PB＝QG＝2CM， ∴PB＝2CM； (3) 如解图③所示，过点 Q 作 QH⊥AC 交 AC 的延长线于点 H. 第 6 题解图③ 由题知， AC BC＝ 5 2，设 AC＝5a，BC＝2a， 由(2)知，△ACP≌△QHA，∴QH＝AC＝5a， 又∵△BCM∽△QHM， ∴ BC QH＝ CM MH， ∴ 2a 5a＝ 2 MH，∴MH＝5， 又∵AP＝AQ＝13， ∴在 Rt△AHQ 中，根据勾股定理得：QH2＋AH2＝AQ2， ∴(5a)2＋(5a＋2＋5)2＝132， 化简得：5a2＋7a－12＝0， 即(a－1)(5a＋12)＝0，12 解得：a1＝1，a2＝－ 12 5 (舍)， ∴BC＝2，AH＝CP＝12，AC＝5， ∴BP＝PC－BC＝12－2＝10， ∴S△ABP＝ 1 2BP·AC＝ 1 2×10×5＝25. 例 7．如图，等边△ABC 中，点 D，E，F 分别为边 AB，AC，BC 的中点，M 为直线 BC 上一动点，△DMN 为等边三角形． (1)如图①，当点 M 在点 B 左侧时，请你判断 EN 与 MF 有怎样的数量关系？ (2)如图②，当点 M 在线段 BC 上时，其他条件不变，(1)的结论中 EN 与 MF 的数量关系是否仍然成立？若成立，请利用 图②证明；若不成立，请说明理由； (3)若点 M 在点 C 右侧时，请你在图③中画出相应的图形，并判断(1)的结论是否仍然成立？若成立，请直接写出结论， 若不成立请说明理由． 第 7 题图 【答案】解：(1)EN＝MF； 【解法提示】如解图①，连接 DE、DF， ∵D、E、F 是等边△ABC 三边中点， ∴△DEF 是等边三角形，∴DE＝DF，∠EDF＝60°， ∵△DMN 为等边三角形，∴DM＝DN，∠MDN＝60°， ∴∠MDF＝∠NDE＝60°＋∠NDF， ∴△DMF≌△DNE(SAS)，∴EN＝MF. 图① 图② 第 7 题解图 (2)成立． 证明：如解图②，连接 DE、DF 和 EF，13 ∵△ABC 是等边三角形，∴AB＝AC＝BC. 又∵D，E，F 是三边的中点， ∴DE，DF，EF 为三角形的中位线， ∴DE＝DF＝EF，∠FDE＝60°. 又∵∠MDF＋∠FDN＝60°， ∠NDE＋∠FDN＝60°， ∴∠MDF＝∠NDE. 在△DMF 和△DNE 中，{DF＝DE， ∠MDF＝∠NDE， DM＝DN， ∴△DMF≌△DNE(SAS)，∴EN＝FM； (3)画出图形如解图③， 第 7 题解图③ MF 与 EN 相等的结论仍然成立(或 EN＝MF 成立)． 【解法提示】如解图④，连接 DE、EF、DF. 　 第 7 题解图④ ∵D、E、F 分别为 AB、AC、BC 的中点，且△ABC 是等边三角形，∴△DEF 是等边三角形， ∴DE＝DF，∠EDF＝60°. ∵△DMN 是等边三角形， ∴DM＝DN，∠MDN＝60°， ∴∠MDF＋∠MDE＝∠MDE＋∠NDE， ∴∠MDF＝∠NDE， ∴△MDF≌△NDE(SAS)， ∴MF＝NE. 例 8．已知，在矩形 ABCD 中，BC＝2AB，点 M 为 AD 边的中点，连接 BD，点 P 是对角线 BD 上的动点，连接 AP，以点 P 为顶点作∠EPF＝90°，PE 交 AB 边于点 E，PF 交 AD 边于点 F. (1)发现问题 如图①，当点 P 运动过程中∠PBA 与∠PAB 互余时，线段 BE、MF 与 AB 的数量关系为__________；14 (2)解决问题 如图②，当点 P 运动过程中∠PBA 与∠PAB 相等时，请判断(1)中的结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请 说明理由； (3)拓展延伸 在(2)的条件下，连接 EF 并延长 EF，交直线 BD 于点 G，若 BE∶AF＝2∶3，EF＝ 85，求 DG 的长． 第 8 题图 【答案】解：(1)BE－ 1 2MF＝ 1 2AB； 【解法提示】如解图①，取 AB 的中点 N，连接 PN、PM. 第 8 题解图① ∵∠PBA 与∠PAB 互余， ∴∠PBA＋∠PAB＝90°， ∴∠APB＝90°， ∴∠APD＝90°， ∵N 是 AB 的中点，M 是 AD 的中点， ∴PN＝BN＝AN＝ 1 2AB，AM＝DM＝PM＝ 1 2AD， ∴∠NAP＝∠NPA，∠MAP＝∠MPA. ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠BAD＝90°，AB＝CD，AD＝BC. ∵BC＝2AB， ∴AD＝2AB， ∴ AB AD＝ 1 2， 而∠NAP＋∠MAP＝∠BAD＝90°， ∴∠NPA＋∠MPA＝90°，即∠NPM＝90°. ∵∠EPF＝90°，15 ∴∠NPM＝∠EPF， ∴∠NPM－∠EPM＝∠EPF－∠EPM， ∴∠NPE＝∠MPF. ∵∠ABP＋∠BAP＝90°，∠BAP＋∠DAP＝90°， ∴∠ABP＝∠DAP. ∵PN＝BN，AM＝PM， ∴∠ABP＝∠BPN，∠DAP＝∠MPA， ∴∠ENP＝∠FMP， ∴△PNE∽△PMF， ∴ NE MF＝ PN PM＝ 1 2AB 1 2AD ＝ 1 2. ∴NE＝ 1 2MF， ∵BE－NE＝BN， ∴BE－ 1 2MF＝BN， 又∵BN＝ 1 2AB， ∴BE－ 1 2MF＝ 1 2AB. (2)不成立； 理由如下：如解图②，取 AB 的中点 N，连接 PN、PM， 第 8 题解图② ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠BAD＝∠ABC＝90°，AB＝CD，AD＝BC，AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD， ∵∠PBA＝∠PAB， ∴PA＝PB， ∵N 是 AB 的中点， ∴PN⊥AB， ∴∠ANP＝90°，16 ∵∠PAB＋∠PAD＝90°，∠PBA＋∠PBC＝90°， ∴∠PAD＝∠PBC， ∴∠PAD＝∠PDA， ∴PA＝PD. ∵M 是 AD 的中点， ∴PM⊥AD， ∴∠PMA＝90°， ∴四边形 PMAN 是矩形， ∴∠NPM＝90°，AN＝PM，PN＝AM. ∵∠EPF＝90°， ∴∠NPM＝∠EPF， ∴∠NPM－∠EPM＝∠EPF－∠EPM， ∴∠NPE＝∠MPF. ∵∠PNE＝∠PMF＝90°， ∴△PNE∽△PMF， ∴ NE MF＝ PN PM＝ 1 2AD 1 2AB . ∵AD＝2AB， ∴NE＝2MF. ∵BE－NE＝BN， ∴BE－2MF＝BN， ∵N 是 AB 的中点， ∴BN＝ 1 2AB， ∴BE－2MF＝ 1 2AB，故(1)中结论不成立； (4) 如解图③，延长 CD 交 FG 于点 H，设 BE＝2a，则 AF＝3a. 第 8 题解图③ ∵BE－2MF＝ 1 2AB，17 ∴BE－2(AF－AM)＝ 1 2AB. ∵AM＝AB， ∴2a－2(3a－AB)＝ 1 2AB， ∴AB＝ 8 3a， ∴AD＝ 16 3 a，AE＝ 2 3a，FD＝ 7 3a. ∵AE2＋AF2＝EF2， ∴( 2 3a)2＋(3a)2＝( 85)2， 解得 a1＝3，a2＝－3(舍去)． ∴AE＝2，BE＝6，AF＝9，DF＝7，BD＝8 5. ∵HD∥AB， ∴△AEF∽△DHF， ∴ DH AE＝ DF AF， ∴ DH 2 ＝ 7 9， ∴DH＝ 14 9 . ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AB∥CD，即 HD∥BE. ∴△GDH∽△GBE， ∴ DG BG＝ DH BE， ∴ DG DG＋8 5＝ 14 9 6 ， ∴DG＝ 14 5 5 . 例 9．如图①，在等腰 Rt△ABC 和等腰 Rt△EDB 中，AC＝BC，DE＝BD，∠ACB＝∠EDB＝90°，P 为 AE 的中点． (1)观察猜想 连接 PC、PD，则线段 PC 与 PD 的位置关系是________，数量关系是________； (2)探究证明 如图②，当点 E 在线段 AB 上运动时，其他条件不变，作 EF⊥BC 于 F，连接 PF，试判断△PCF 的形状，并说明理由； (3)拓展延伸 在点 E 的运动过程中，当△PCF 是等边三角形时，直接写出△ACB 与△EDB 的两直角边之比．18 第 9 题图 【答案】解：(1)PC⊥PD，PC＝PD； 【解法提示】如解图①，过点 E 作 EF⊥BC 于 F，过点 P 作 PH⊥BC 于 H，连接 PF， 第 9 题解图① 易得四边形 EFBD 是正方形， ∴EF＝ED，∠DEB＝∠FEB＝45°， ∴∠PEF＝∠PED＝135°， 在△PEF 和△PED 中， {EF＝ED ∠PEF＝∠PED PE＝PE ， ∴△PEF≌△PED(SAS)， ∴PF＝PD，∠EPF＝∠EPD， ∵AC∥PH∥EF，点 P 为 AE 的中点， ∴点 H 是 FC 的中点， ∴CH＝HF， 又 PH⊥BC，∴PC＝PF， 故△PCF 是等腰三角形，∴∠CPH＝∠FPH， ∴PC＝PD； ∵∠HPB＝∠HPF＋∠EPF＝45°， ∴∠CPD＝∠CPH＋∠HPF＋∠EPF＋∠EPD＝2(∠HPF＋∠EPF)＝90°， ∴PC⊥PD. (2)△PCF 为等腰三角形， 理由如下：如解图②，过点 P 作 PH⊥BC 于点 H，19 第 9 题解图② 则 AC∥PH∥EF， ∵P 为 AE 的中点， ∴点 H 是 FC 的中点，∴CH＝HF， 又 PH⊥BC， ∴PC＝PF， ∴△PCF 为等腰三角形； (3) 3＋2. 【解法提示】如解图③，过点 E 作 EF⊥BC 于点 F，过点 P 作 PH⊥BC 于点 H，由(1)知，四边形BDEF 为正方形，设 EF＝BF ＝BD＝x，HF＝y， 第 9 题解图③ ∵△PCF 是等边三角形， ∴PH＝ 3y， ∵PH∥EF， ∴△BEF∽△BPH， ∴ EF PH＝ BF BH，即 x 3y＝ x x＋y， 解得 y＝ 3＋1 2 x， ∴BC＝x＋2y＝( 3＋2)x， ∴ BC BD＝ （ 3＋2）x x ＝ 3＋2. ∴△ACB 与△EDB 的两直角边之比为 3＋2. 例 10．已知在△ABC 中，AB 边上的动点 D 由 A 向 B 运动(与 A，B 不重合)，点 E 与点 D 同时出发，由点 C 沿 BC 的延长 线方向运动(E 不与 C 重合)，连接 DE 交 AC 于 F，点 H 是线段 AF 上一点． (1)初步尝试 如图①，若△ABC 是等边三角形，DH⊥AC，且点 D，E 的运动速度相等，过点 D 作 DG∥BC 交 AC 于点 G，则 GH 与 AH 的数20 量关系是________，GF 与 FC 的数量关系是________， AC HF的值是________； (2)类比探究 如图②，若在△ABC 中，∠ABC＝90°，∠ADH＝∠A＝30°，且点 D，E 的运动速度之比是 3∶1，求 AC HF的值； (3)延伸拓展 如图③，若在△ABC 中，AB＝AC，∠ADH＝∠A＝36°，记 BC AB＝m，且点 D，E 的运动速度相等，试用含 m 的代数式表示 AC HF.(直接写出结果，不必写出解答过程) 第 10 题图 【答案】解：(1)GH＝AH，GF＝FC，2； 【解法提示】∵DG∥BC， ∴∠ADG＝∠B，∠AGD＝∠ACB， ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠ACB＝60°， ∴∠ADG＝∠AGD＝∠A， ∴△ADG 是等边三角形，∴GD＝AD＝CE， ∵DH⊥AC，∴GH＝AH， ∵DG∥BC， ∴∠GDF＝∠CEF，∠DGF＝∠ECF， 在△GDF 和△CEF 中， ∵{∠GDF＝∠CEF GD＝CE ∠DGF＝∠ECF ， ∴△GDF≌△CEF(ASA)， ∴GF＝CF， ∴GH＋GF＝AH＋CF，即 HF＝ 1 2AC， ∴ AC HF＝2. (2)如解图①，过点 D 作 DG∥BC，交 AC 于点 G，21 第 10 题解图① 则∠ADG＝∠B＝90°， ∵∠A＝∠ADH＝30°，∴∠HGD＝∠HDG＝60°， ∴△DHG 是等边三角形， ∴AH＝GH＝GD，AD＝ 3GD， 根据题意得 AD＝ 3CE，∴GD＝CE， ∵DG∥BC，∴∠GDF＝∠CEF，∠DGF＝∠ECF， 在△GDF 和△CEF 中， ∵{∠GDF＝∠CEF GD＝CE ∠DGF＝∠ECF ，∴△GDF≌△CEF(ASA)， ∴GF＝CF，∴GH＋GF＝AH＋CF， 即 HF＝ 1 2AC，∴ AC HF＝2； (3) AC HF＝ m＋1 m . 【解法提示】如解图②，过点 D 作 DG∥BC，交 AC 于点 G， 第 10 题解图② 则∠ADG＝∠B，∠AGD＝∠ACB，AD＝EC， ∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠ACB＝∠B＝∠ADG＝∠AGD＝72°， ∵∠ADH＝∠A＝36°， ∴AH＝DH，∠DHG＝72°＝∠AGD， ∴DG＝DH＝AH， ∴△ADG∽△ABC，△ADG∽△DGH，22 ∴△DGH∽△ABC，∴ GH DG＝ BC AB＝ DG AD＝m，∴ GH AH＝m， ∵DG∥BC，∴△DFG∽△EFC，∴ GF FC＝ DG CE， 又∵CE＝AD，∴ DG CE＝ DG AD＝m，∴ GF FC＝ DG CE＝m， ∴ GH＋GF AH＋FC＝ HF AH＋FC＝m，∴ AH＋FC HF ＝ 1 m， ∴ AC HF＝ AH＋FC＋HF HF ＝ 1 m＋1＝ m＋1 m .