2020年中考数学二轮复习重难题型突破类型三二次函数与图形面积问题.doc

1 类型三 二次函数与图形面积问题 例 1、如图，已知抛物线 与 轴交于 A、B 两点，与 轴交于点 C． （1）求 A、B、C 三点的坐标; （2）过点 A 作 AP∥CB 交抛物线于点 P，求四边形 ACBP 的面积; （3）在 轴上方的抛物线上是否存在一点 M，过 M 作 MG 轴于点 G，使以 A、M、G 三点为顶点的三角形与 PCA 相似．若存在，请求出 M 点的坐标；否则，请说明理由． 【解析】解：（1）令 ，得 解得 令 ，得 ∴ A B C （2）∵OA=OB=OC= ∴ BAC= ACO= BCO= ∵AP∥CB， ∴ PAB= 过点 P 作 PE 轴于 E，则 APE 为等腰直角三角形 令 OE= ，则 PE= ∴P ∵点 P 在抛物线 上 ∴ 解得 ， （不合题意，舍去） ∴PE= ∴四边形 ACBP 的面积 = AB•OC+ AB•PE= (3)． 假设存在 ∵ PAB= BAC = ∴PA AC ∵MG 轴于点 G， ∴ MGA= PAC = 2 1y x= − x y x ⊥ x ∆ 0y = 2 1 0x − = 1x = ± 0x = 1y = − ( 1,0)− (1,0) (0, 1)− 1 ∠ ∠ ∠ 45 ∠ 45 ⊥ x ∆ a 1a + ( , 1)a a + 2 1y x= − 21 1a a+ = − 1 2a = 2 1a = − 3 S 1 2 1 2 1 12 1 2 3 42 2 × × + × × = ∠ ∠ 45 ⊥ ⊥ x ∠ ∠ 90 G M C B y P A o x2 在 Rt△AOC 中，OA=OC= ∴AC= 在 Rt△PAE 中，AE=PE= ∴AP= 设 M 点的横坐标为 ，则 M ①点 M 在 轴左侧时，则 (ⅰ) 当 AMG PCA 时，有 = ∵AG= ，MG= 即 解得 （舍去） （舍去） (ⅱ) 当 MAG PCA 时有 = 即 解得： （舍去） ∴M ② 点 M 在 轴右侧时，则 (ⅰ) 当 AMG PCA 时有 = ∵AG= ，MG= ∴ 解得 （舍去） ∴M (ⅱ) 当 MAG PCA 时有 = 1 2 3 3 2 m 2( , 1)m m − y 1m < − ∆ ∽ ∆ AG PA MG CA 1m− − 2 1m − 21 1 3 2 2 m m− − −= 1 1m = − 2 2 3m = ∆ ∽ ∆ AG CA MG PA 21 1 2 3 2 m m− − −= 1m = − 2 2m = − ( 2,3)− y 1m > ∆ ∽ ∆ AG PA MG CA 1m + 2 1m − 21 1 3 2 2 m m+ −= 1 1m = − 2 4 3m = 4 7( , )3 9 ∆ ∽ ∆ AG CA MG PA G M C B y P A o x3 即 解得： （舍去） ∴M ∴存在点 M，使以 A、M、G 三点为顶点的三角形与 PCA 相似 M 点的坐标为 ， ， 例 2、如图,在平面直角坐标系中，△ABC 是直角三角形,∠ACB=90,AC=BC,OA=1，OC=4，抛 物线 经过 A，B 两点，抛物线的顶点为 D． （1）求 b,c 的值； （2）点 E 是直角三角形 ABC 斜边 AB 上一动点(点 A、B 除外)，过点 E 作 x 轴的垂线交 抛物线于点 F，当线段 EF 的长度最大时，求点 E 的坐标； （3）在（2）的条件下：①求以点Ｅ、Ｂ、Ｆ、Ｄ为顶点的四边形的面 积；②在抛物线上是否存在一点 P，使△EFP 是以 EF 为直角边的直角三角形? 若存在，求出所有点 P 的坐标；若不存在，说明理由. 【解析】解：（1）由已知得：A（-1，0） B（4，5） ∵二次函数 的图像经过点 A（-1，0）B(4,5) ∴ 解得：b=-2 c=-3 （2）如２６题图：∵直线 AB 经过点 A（-1，0） B(4,5) ∴直线 AB 的解析式为：y=x+1 21 1 2 3 2 m m+ −= 1 1m = − 2 4m = (4,15) ∆ ( 2,3)− 4 7( , )3 9 (4,15) 2y x bx c= + + 2y x bx c= + + 1 0 16 4 5 b c b c − + =  + + =4 ∵二次函数 ∴设点 E(t， t+1),则 F（t， ） ∴EF= 　　= ∴当 时，EF 的最大值= ∴点 E 的坐标为（ ， ） （3）①如２６题图：顺次连接点 E、B、F、D 得四边形ＥＢＦＤ． 可求出点 F 的坐标（ ， ）,点 D 的坐标为（1，-4） S 　=　S 　+　S = = 　 ②如２６题备用图：ⅰ)过点 E 作 a⊥EF 交抛物线于点 P,设点 P(m, ) 则有： 解得: , ∴ ,　 ⅱ）过点 F 作 b⊥EF 交抛物线于 ，设 （n， ） 则有： 　　解得： ， （与点 F 重合，舍去） 2 2 3y x x= − − 2 2 3t t− − 2( 1) ( 2 3)t t t+ − − − 23 25( )2 4t− − + 3 2t = 25 4 3 2 5 2 3 2 15 4 − EBFD四边行 BEF DEF 1 25 3 1 25 3(4 ) ( 1)2 4 2 2 4 2 × − + × − 75 8 2 2 3m m− − 2 52 3 2m m− − = 1 2 26 2m = － 2 2 26 2m += 1 2 26 5( , )2 2p － 2 2 26 5( , )2 2p + 3P 3P 2 2 3n n− − 2 15 42 3n n− − = − 1 1 2n = 2 3 2n =5 ∴ 综上所述：所有点 P 的坐标： ， （ . 能 使△EFP 组成以 EF 为直角边的直角三角形． 例 3、如图,已知二次函数 的图象与 轴交于 A、B 两点，与 轴交于点 P， 顶点为 C（1，－2）. （1）求此函数的关系式； （2）作点 C 关于 轴的对称点 D，顺次连接 A、C、B、D.若在抛物线上存在点 E，使直 线 PE 将四边形 ABCD 分成面积相等的两个四边形，求点 E 的坐标； （3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点 F，使得△PEF 是以 P 为直角顶点的直 角三角形？若存在，求出点 F 的坐标及△PEF 的面积；若不存在，请说 明理由. 【解析】（1）∵ 的顶点为 C（1，－2）， ∴ ， ． （2）设直线 PE 对应的函数关系式为 由题意，四边形 ACBD 是菱 形. 故直线 PE 必过菱形 ACBD 的对称中心 M． 由 P(0，－1)，M（1，0），得 ．从而 ， 设 E( ， )，代入 ，得 ． 解之得 ， ，根据题意 ，得点 E(3，2) （3）假设存在这样的点 F，可设 F( ， ) ． 过点 F 作 FG⊥ 轴，垂足为点 G. 在 Rt△POM 和 Rt△FGP 中，∵∠OMP+∠OPM=90°，∠FPG+∠OPM=90°， 3P 1 15 2 4 （ ，－ ） 1 2 26 5( , )2 2p － 2 2 26 5( , )2 2p + 3P 1 15 2 4 （ ，－ ） cbxxy ++= 2 x y x cbxxy ++= 2 2)1( 2 −−= xy 122 −−= xxy bkxy +=    =+ −= 0 1 bk b 1−= xy x 1−x 122 −−= xxy 121 2 −−=− xxx 01 =x 32 =x x 122 −− xx y6 ∴∠OMP=∠FPG，又∠POM=∠PGF，∴△POM∽△FGP. ∴ ．又 OM=1，OP=1，∴GP=GF，即 ． 解得 ， ，根据题意，得 F(1，－2)． 故点 F(1，－2)即为所 求． ． 例 4、如图，已知抛物线 的顶点坐标为 Q ，且与 轴交于点 C ，与 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的右侧），点 P 是该抛物线上一动点，从点 C 沿 抛物线向点 A 运动（点 P 与 A 不重合），过点 P 作 PD∥ 轴，交 AC 于点 D． (1)求该抛物线的函数关系式；(2)当△ADP 是直角三角形时，求点 P 的坐标； (3)在问题(2)的结论下，若点 E 在 轴上，点 F 在抛物线上，问是否存在以 A、P、E、F 为顶点的平行四边形？若存在，求点 F 的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】解：（1）∵抛物线的顶点为 Q（2，－1）∴设 将 C（0，3）代入上式，得 ∴ ， 即 （2）分两种情况： GF GP OP OM = xxx =−−−− )12(1 2 01 =x 12 =x 3222 1122 1 =××+××=+= MFEMFPPEF SSS △△△ )0(2 ≠++= acbxaxy ( )1,2 − y ( )3,0 x y x ( ) 12 2 −−= xay ( ) 1203 2 −−=a 1=a ( ) 12 2 −−= xy 342 +−= xxy7 ①当点 P1 为直角顶点时,点 P1 与点 B 重合(如图) 令 =0, 得 解之得 , ∵点 A 在点 B 的右边, ∴B(1,0), A(3,0)∴P1(1,0) ②解:当点 A 为△APD2 的直角顶点是(如图) ∵OA=OC, ∠AOC= , ∴∠OAD2= 当∠D2AP2= 时, ∠OAP2= , ∴AO 平分∠D2AP2 又∵P2D2∥ 轴, ∴P2D2⊥AO, ∴P2、D2 关于 轴对称 设直线 AC 的函数关系式为 将 A(3,0), C(0,3)代入上式得 , ∴ ∴ ∵D2 在 上, P2 在 上, ∴设 D2( , ), P2( , )∴( )+( )=0 , ∴ , (舍)∴当 =2 时, = =－1 ∴P2 的坐标为 P2(2,－1)(即为 抛物线顶点) ∴P 点坐标为 P1(1,0), P2(2,－1) (3)解: 由题(2)知,当点 P 的坐标为 P1(1,0)时,不能构成平行四边形 当点 P 的坐标为 P2(2,－1)(即顶点 Q)时, 平移直线 AP(如图)交 轴于点 E,交抛物线于点 F. 当 AP=FE 时,四边形 PAFE 是平行四边形 ∵P(2,－1), ∴可令 F( ,1)∴ y 0342 =+− xx 11 =x 32 =x 90 45 90 45 y x bkxy +=    = += b bk 3 30    = −= 3 1 b k 3+−= xy 3+−= xy 342 +−= xxy x 3+− x x 342 +− xx 3+− x 342 +− xx 0652 =+− xx 21 =x 32 =x x 342 +−= xxy 32422 +×− x x 1342 =+− xx8 解之得: , ∴F 点有两点, 即 F1( ,1), F2( ,1) 221 −=x 222 +=x 22 − 22 +