2020年中考数学二轮复习重难题型突破类型二平移旋转折叠问题.doc

1 类型二 平移旋转折叠问题 例 1、如图,将三角形纸片 ABC 沿 DE 折叠,使点 A 落在 BC 边上的点 F 处, 且 DE∥BC,下列结论:①△BDF 是等腰三角形;②DE= BC;③四边形 ADFE 是菱形;④∠BDF+∠FEC=2∠A.其中一定正确的个数是( ). A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】如图,分别过点 D，E 作 BC 的垂线 DG，EH；连接 AF,由于折叠是轴对称变换知 AF 与 DE 垂直,因为 DE∥BC，所以 AF 与 BC 垂直,且 AM=MF,可以证明点 D，E 分别是 AB,AC 的中 点 , 即 DE 是 △ABC 的 中 位 线 , 所 以 ②DE= BC 是 正 确 的 ； 由 于 折 叠 是 轴 对 称 变 换 知 AD=DF,AE=EF,所以 DA=DB=DF,所以①△BDF 是等腰三角形是正确的；因 DG∥AF∥EH,所以 ∠BDG=∠DAM,又因为 DG 是等腰三角形 BDF 的高,所以∠BDF=2∠DAM,同 理 ∠CEF = 2 ∠EAM, 所以 ④∠BDF+∠FEC=2∠A 是正确的；如图显然四边形 ADFE 不是菱形,③是错误 的． 【答案】C 例 2、下列图形中,是中心对称图形但不是轴对称图形的是( ). 【解析】把一个图形沿着某一条直线折叠,如果直线两旁的部分能互相重合,那么这个图形 是轴对称图形； 把一个平面图形绕某一点旋转 180°,如果旋转后的图形能和原图形互相重 合,那么这个图形叫做中心对称图形.对照定义,可知 A 是轴对称图形,且有 1 条对称轴,但不 是中心对称图形；B 是中心对称图形,不是轴对称图形；C 是轴对称图形,有 1 条对称轴,但不 是中心对称图形；D 既是中心对称图形又是轴对称图形,有 4 条对称轴． 【答案】B 例 3、如图，在平面直角坐标系中，正三角形 OAB 的顶点 B 的坐标为（2，0）， 点 A 在第一象限内，将△OAB 沿直线 OA 的方向平移至△O′A′B′的位置， 此时点 A′的横坐标为 3，则点 B′的坐标为 . 【解析】作 AM⊥x 轴于点 M.根据等边三角形的性质得 OA=OB=2，∠AOB=60°， 在 Rt△OAM 中,利用含 30°角的直角三角形的性质求出 OM=1，AM= ，从而求得 2 1 2 1 32 点 A 的坐标为（1， ），直线 OA 的解析式为 y= x,当 x=3 时，y=3 ,所以 点 A′的坐标为（3，3 ），所以点A′是由点 A 向右平移 2 个单位，向上平移 23 个单位后得到的，于是得点 B′的坐标为（4,2 ）. 【答案】（4,23） 例 4、在Rt△ABC 中,∠BAC=90°,∠B=30°,线段 AD 是 BC 边上的中线,如图 1,将△ADC 沿直 线 BC 平移,使点 D 与点 C 重合,得到△FCE,如图 2,再将△FCE 绕点 C 顺时针旋转,设旋转角 为 α(0°＜α≤90°),连接 AF,DE． (1)在旋转过程中,当∠ACE=150°时,求旋转角 α 的度数； (2)探究旋转过程中四边形 ADEF 能形成哪些特殊四边形？请说明理由． 【解析】(1)由题意分析可知此问需分两种情况讨论：①点 E 和点 D 在直线 AC 两侧；②点 E 和点 D 在直线 AC 同侧；(2)在旋转过程中,总是存在 AC=CE,DC=CE.由图形的对称性可知,将 会出现两种对角线相等的特殊四边形：等腰梯形和矩形.抓住平移和旋转的性质,较易证 明． 【答案】：(1)在图 1 中,∵∠BAC=90°,∠B=30°, ∴∠ACE=∠BAC+∠B=120°． 如图 2,当点 E 和点 D 在直线 AC 两侧时,由于∠ACE=150°, ∴α=150°-120°=30°.当点 E 和点 D 在直线 AC 同侧时, 由于∠ACB=180°-∠BAC-∠B=60°,∴∠DCE=∠ACE-∠ACB=150°-60°=90°. ∴α=180°-∠DCE=90°.∴旋转角 α 为 30°或 90°; (2)四边形 ADEF 能形成等腰梯形和矩形． ∵∠BAC=90°,∠B=30°,∴AC= BC． 又∵AD 是 BC 边上的中线,∴AD=DC= BC=AC.∴△ADC 为正三角形． ①当 α=60°时,如图 3,∠ACE=120°+60°=180°. ∵CA=CE=CD=CF, 3 3 3 3 3 2 1 2 13 ∴四边形 ADEF 为矩形． ②当 α≠60°时,∠ACF≠120°,∠DCE=360°-60°-60°-∠ACF≠120°． 显然 DE≠AF．∵AC=CF,CD=CE, ∴2∠FAC+∠ACF=2∠CDE+∠DCE=180°. ∵∠ACF+∠DCE=360°-60°-60°=240°, ∴∠FAC+∠CDE=60°.∴∠DAF+∠ADE=120°+60°=180°.∴AF∥DE． 又∵DE≠AF,AD=EF,∴四边形 ADEF 为等腰梯形． 例 5、如图，矩形纸片 ABCD，将△AMP 和△BPQ 分别沿 PM 和 PQ 折叠（AP＞AM），点 A 和点 B 都与点 E 重合；再将△CQD 沿 DQ 折叠，点 C 落在线段 EQ 上的点 F 处. （1）判断△AMP，△BPQ，△CQD 和△FDM 中有哪几对相似三角形？ （2）如果 AM=1，sin∠DMF= ，求 AB 的长. 【解析】（1）由矩形的性质得∠A=∠B=∠C=90°，由折叠的性质和等角的余角相等，可得 ∠BPQ=∠AMP=∠DQC，所以△AMP∽△BPQ∽△CQD；（2）先证明 MD=MQ，然后根据 sin∠DMF= DFMD=35，设 DF=3x，MD=5x，再分别表示出 AP，BP，BQ，根据△AMP∽△BPQ，列出 比例式解方程求解即可. 解：（1）△AMP∽△BPQ∽△CQD. ∵四边形 ABCD 是矩形，∴∠A=∠B=∠C=90°. 由折叠的性质可知∠APM=∠EPM，∠EPQ=∠BPQ. ∴∠APM+∠BPQ=∠EPM+∠EPQ=90°. ∵∠APM+∠AMP=90°，∴∠BPQ=∠AMP. ∴△AMP∽△BPQ. 同理：△BPQ∽△CQD. 根据相似的传递性可得△AMP∽△CQD； （2）∵AD∥BC，∴∠DQC=∠MDQ. 由折叠的性质可知∠DQC=∠DQM. ∴∠MDQ=∠DQM.∴MD=MQ. ∵AM=ME，BQ=EQ， ∴BQ=MQ-ME=MD-AM. 5 3 5 3= MD DF4 ∵sin∠DMF= ，则设 DF=3x，MD=5x，则 BP=PA=PE= ，BQ=5x-1. ∵△AMP∽△BPQ，∴ ，即 ，解得 x= （舍去）或 x=2，∴AB=6. 例 6、如图，在平面直角坐标系中，正三角形 OAB 的顶点 B 的坐标为（2,0），点 A 在第一象 限内，将△OAB 沿直线 OA 的方向平移至△O′B′A′的位置，此时点 A′的横坐标为 3，则 点 B′的坐标为（ ）． A．（4， ） B．（3， ） C．（4， ） D．（3， ） 【答案】A 【解析】如图，当点 B 的坐标为（2, 0），点 A 的横坐标为 1． 当点 A'的横坐标为 3 时，等边三角形 A′OC 的边长为 6． 在 Rt△B′CD 中，B′C＝4，所以 DC＝2，B′D＝ ．此时 B′ ． 例7、图形的折叠：如图，在矩形 ABCD 中，AD＝15，点 E 在边 DC 上，联结 AE，△ADE 沿直 线 AE 翻折后点 D 落到点 F，过点 F 作 FG⊥AD，垂足为 G．如果 AD＝3GD，那么 DE＝ _____． 【答案】 【解析】思路如下： 如图，过点 F 作 AD 的平行线交 AB 于 M，交 DC 于 N． 5 3= MD DF 2 3x BQ AP BP AM = 1-x5 2 x3 2 x3 1 = 9 2 2 3 3 3 3 3 2 3 2 3 (4,2 3) 3 55 因为 AD＝15，当 AD＝3GD 时，MF＝AG＝10，FN＝GD＝5． 在 Rt△AMF 中，AF＝AD＝15，MF＝10，所以 AM＝ ． 设 DE＝m，那么 NE＝ ． 由△AMF∽△FNE，得 ，即 ．解得 m＝ ． 例 8、图形的旋转：如图，已知Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AC＝6，BC＝4，将△ABC 绕直角 顶点 C 顺时针旋转 90°得到△DEC，若点 F 是 DE 的中点，连接 AF，则 AF= ． 【答案】 5． 【解析】思路如下： 如图，作 FH⊥AC 于 H． 由于 F 是 ED 的中点，所以 HF 是△ECD 的中位线，所以 HF＝3． 由于 AE＝AC－EC＝6－4＝2，EH＝2，所以 AH＝4．所以 AF＝5． 例 9、三角形： 如图，△ABC≌△DEF（点 A、B 分别与点 D、E 对应），AB＝AC＝5，BC＝6．△ABC 固定不动，△DEF 运动，并满足点 E 在 BC 边从 B 向 C 移动（点 E 不与 B、C 重合），DE 始终 经过点 A，EF 与 AC 边交于点 M，当△AEM 是等腰三角形时，BE＝_________． 【答案】 或 1 【解析】思路如下： 设 BE＝x． 由△ABE∽△ECM，得 ，即 ． 等腰三角形 AEM 分三种情况讨论： ①如图 2，如果 AE＝AM，那么△AEM∽△ABC． 所以 ．解得 x＝0，此时 E、B 重合，舍去． 5 5 5 5 m− AM FN MF NE = 5 5 5 10 5 5 m = − 3 5 11 6 AB EA EC ME = 5 6 EA x ME =− 5 5 6 6 EA ME x = = −6 ②如图 3，当 EA＝EM 时， ．解得 x＝1． ③如图 4，当 MA＝ME 时，△MEA∽△ABC．所以 ．解得 x＝ ． 图 2 图 3 图 4 例 10、四边形：如图，矩形ABCD 中，AB＝8， BC＝4．点 E 在边 AB 上，点 F 在边 CD 上， 点 G、H 在对角线 AC 上．若四边形 EGFH 是菱形，则 AE 的长是（ ）． A． B． C．5 D．6 【答案】C． 【解析】思路如下： 拖动点 E 在 AB 上运动，可以体验到，当 EF 与 AC 垂直时，四边形 EGFH 是菱形（如图 2）． 如图 3，在 Rt△ABC 中，AB＝8， BC＝4，所以 AC＝ ． 由 cos∠BAC＝ ，得 ．所以 AE＝5． 图 2 图 3 例 11、圆：如图，⊙O 的半径为 2，AB，CD 是互相垂直的两条直径，点 P 是⊙O 上任意一点（P 与 A，B，C，D 不重合），过点 P 作 PM⊥AB 于点 M，PN⊥CD 于点 N，点 Q 是 MN 的中点，当点 P 沿着圆周转过 45°时，点 Q 走过的路 径长为__________． 5 16 EA x ME = =− 6 5 5 6 EA ME x = = − 11 6 2 5 3 5 4 5 AB AO AC AE = 8 2 5 4 5 AE =7 A. B. C. D. 【答案】 A． 【解析】思路如下： 拖动点 P 在圆周上运动一周，可以体验到，当点 P 沿着圆周转过 45°时，点 Q 走过的 路径是圆心角为 45°半径为 1 的一段弧． 如图 2，四边形 PMON 是矩形，对角线 MN 与 OP 互相平分且相等，因此点 Q 是 OP 的中 点． 如图 3，当∠DOP＝45°时， 的长为 ． 图 2 图 3 例 12、函数图象：如图，直线 l 与半径为 4 的⊙O 相切于点 A，P 是⊙O 上一个动点（不与点 A 重合），过点 P 作 PB⊥l，垂足为 B，联结 PA．设 PA ＝x，PB＝y，则(x－y)的最大值是_____． 【答案】 2． 【解析】思路如下： 拖动点 P 在圆上运动一周，可以体验到，AF 的长可以表示 x－y，点 F 的轨迹象两叶新 树丫，当 AF 最大时，OF 与 AF 垂直（如图 2）． 如图 3，AC 为⊙O 的直径，联结 PC． 由△ACP∽△PAB，得 ，即 ．所以 ． 因此 ． 所以当 x＝4 时，x－y 最大，最大值为 2． 4 π 2 π 6 π 3 π 'D Q 1 2 1=8 4 ππ× × AC PA AP PB = 8 x x y = 21 8y x= 2 21 1 ( 4) 28 8x y x x x− = − = − − +8 图 2 图 3 例 13、.如图所示,在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠BAC=60°,AB=8.半径为 的⊙M 与射线 BA 相切,切点为 N,且 AN=3.将 Rt△ABC 顺时针旋转 120°后得到 Rt△ADE,点 B,C 的对应点分别 是点 D,E． (1)画出旋转后的 Rt△ADE； (2)求出 Rt△ADE 的直角边 DE 被⊙M 截得的弦 PQ 的长度； (3)判断 Rt△ADE 的斜边 AD 所在的直线与⊙M 的位置关系,并说明理由. 【分析】(1)点 A 不动,由于∠BAC=60°,因此旋转 120°后 AE 与 AB 在同一条直线上；(2)过 点 M 作 MF⊥DE,垂足为 F.连接 MP,构造出 Rt△MPF，再通过勾股定理解直角三角形并结合垂 径定理即可求解；(3)易猜想 AD 与⊙M 相切.欲证 AD 与⊙M 相切,只需 HM=NM 即可,而 HM=NM 可由△MHA≌△MNA 得到． 【答案】证明：(1)如图 1，Rt△ADE 就是旋转后的图形； (2)如图 2,过点 M 作 MF⊥DE,垂足为 F,连接 MP．在 Rt△MPF 中,MP= ,MF=4-3=1,由勾股 3 39 定理易得 PF=2,再由垂径定理知 PQ=2PF=2 ； (3)AD 与⊙M 相切． 证法一：如图 2, 过点 M 作 MH⊥AD 于 H, 连接 MN, MA, 则 MN⊥AE 且 MN= . 在 Rt△AMN 中,tan∠ ，∴∠MAN=30°. ∵∠DAE=∠BAC=60°,∴∠MAD=30°. ∴∠MAN=∠MAD=30°.∴MH=MN(由△MHA≌△MNA 或解 Rt△AMH 求得 MH=3,从而得 MH=MN 亦 可). ∴AD 与⊙M 相切； 证法二：如图 2, 连接 MA,ME,MD, 则 S△ADE=S△AMD+S△AME+S△DME, 过 M 作 MH⊥AD 于 H, MF⊥DE 于 F, 连接 MN, 则 MN⊥AE 且 MN= ,MF=1, ∴ AC·BC= AD·MH+ AE·MN+ DE·MF,由此可以计算出 MH= .∴MH=MN. ∴AD 与⊙M 相切． 2 3 3 3= AN MN 3 2 1 2 1 2 1 2 1 3