1
类型三 其他探究题
例 1、已知正方形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点，过 E 点作 EF⊥BD 交 BC 于 F，连接 DF，G 为 DF 中点，连接 EG，CG．
（1）直接写出线段 EG 与 CG 的数量关系；
（2）将图 1 中△BEF 绕 B 点逆时针旋转 45º，如图 2 所示，取 DF 中点 G，连接 EG，CG．
你在（1）中得到的结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明．
（3）将图 1 中△BEF 绕 B 点旋转任意角度，如图 3 所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？（不要求证
明）
【答案】解：（1）CG=EG
（2）（1）中结论没有发生变化，即 EG=CG．
证明：连接 AG，过 G 点作 MN⊥AD 于 M，与 EF 的延长线交于 N 点．
在△DAG 与△DCG 中，
∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，D G=DG，
∴ △DAG≌△DCG．
∴ AG=CG．
在△DMG 与△FNG 中，
∵ ∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG，
∴ △DMG≌△FNG．
∴ MG=NG
在矩形 AENM 中，AM=EN．
在 Rt△AMG 与 Rt△ENG 中，
∵ AM=EN， MG=NG，
∴ △AMG≌△ENG．
∴ AG=EG．
∴ EG=CG．
（3）（1）中的结论仍然成立．
例 2、请阅读下列材料
问题：如图 1，在等边三角形 ABC 内有一点 P，且 PA=2， PB= ， PC=1．求∠BPC 度数的大小和等边三角形 ABC 的边3
FB
A D
C
E
G
图 1
F
B
A D
C
E
G
图 2
F
B
A
C
E
图 3
D
F
B
A D
C
E
G
M
N
N
图 2
F
B
A D
C
E
图 3
③
G2
长．
李明同学的思路是：将△BPC 绕点 B 顺时针旋转 60°，画出旋转后的图形（如图 2）．连接 PP′，可得△P′PC 是等边
三角形，而△PP′A 又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可证）．所以∠AP′C=150°，而∠BPC=∠AP′C=150°．进而求
出等边△ABC 的边长为 ．问题得到解决．
请你参考李明同学的思路，探究并解决下列问题：如图 3，在正方形 ABCD 内有一点 P，且 PA= ，BP= ，PC=1．求∠BPC
度数的大小和正方形 ABCD 的边长．
【答案】解：（1）如图，将△BPC 绕点 B 逆时针旋转 90°，得△BP′A，则△BPC≌△BP′A．
∴AP′=PC=1，BP=BP′= ．
连结 P P′，
在 Rt△BP′P 中，
∵ BP=BP′= ，∠PBP′=9 0°，
∴ P P′=2，∠BP′P=45°．
在△AP′P 中， AP′=1，P P′=2，AP= ，
∵ ，即 AP′ 2 + PP′ 2 = AP2．
∴ △AP′P 是直角三角形，即∠A P′ P=90°．
∴ ∠AP′B=135°．
∴ ∠BPC=∠AP′B=135°．
（2）过点 B 作 BE⊥AP′ 交 AP′ 的延长线于点 E．
∴ ∠EP′ B=45°.
∴ EP′=BE=1.
∴ AE=2.
∴ 在 Rt△ABE 中，由勾股定理，得 AB= ．
∴ ∠BPC=135°，正方形边长为 ．
例 3、如图 1，已知∠ABC=90°，△ABE 是等边三角形，点 P 为射线 BC 上任意一点（点 P 与点 B 不重合），连结 AP，将线段 AP
7
5 2
2
2
5
2 2 21 2 ( 5)+ =
5
5
图 3图 1 图 23
绕点 A 逆时针旋转 60°得到线段 AQ，连结
QE 并延长交射线 BC 于点 F.
（1）如图 2，当 BP=BA 时，∠EBF= °，猜想∠QFC= °；
（2）如图 1，当点 P 为射线 BC 上任意一点时，猜想∠QFC 的度数，并加以证明；
（3）已知线段 AB= ，设 BP= ，点 Q 到射线 BC 的距离为 y，求 y 关于 的函数关系式．
【答案】解: （1） 30° = 60°
（2） =60°
不妨设 BP＞ , 如图 1 所示 ∵∠BAP=∠BAE+∠EAP=60°+∠EAP
∠EAQ=∠QAP+∠EAP=60°+∠EAP ∴∠BAP=∠EAQ
在△ABP 和△AEQ 中 AB=AE，∠BAP=∠EAQ， AP=AQ
∴△ABP≌△AEQ（SAS） ∴∠AEQ=∠ABP=90°
∴∠BEF
∴ = 60°
(事实上当 BP≤ 时，如图 2 情形，不失一般性结论仍然成立，不分类讨论不扣分）
(3)在图 1 中，过点 F 作 FG⊥BE 于点 G
∵△ABE 是等边三角形
∴BE=AB= ，由（1）得 30°
在 Rt△BGF 中， ∴BF= ∴EF=2
∵△ABP≌△AEQ ∴QE=BP= ∴QF=QE＋EF
过点 Q 作 QH⊥BC，垂足为 H
在 Rt△QHF 中， （x＞0）
即 y 关于 x 的函数关系式是： .
例 4、如图，将 OA= 6，AB = 4 的矩形 OABC 放置在平面直角坐标系中，动点 M、N 以每秒１个单位的速度分别从点 A、C 同时
出发，其中点 M 沿 AO 向终点 O 运动，点 N 沿 CB 向终点 B 运动，当两个动点运动了 t 秒时，过点 N 作 NP⊥BC，交 OB 于点 P，
x x
x
32
=∠EBF QFC∠
QFC∠
3AB
180 180 90 60 30AEQ AEB= °− ∠ − ∠ = °− °− ° = °
QFC∠ EBF BEF∠ + ∠ = 30 30°+ ° =
3AB
32 =∠EBF
32
BEBG = = 2cos30
BG =°
2x= +
3sin 60 ( 2)2y QH QF x= = ° = +
3 32y x= +
图
2
A
B
E
Q
PF C图
1
A
CB
E
Q
F P4
连接 MP．
（1）点 B 的坐标为；用含 t 的式子表示点 P 的坐标为；
（2）记△OMP 的面积为 S，求 S 与 t 的函数关系式（0 < t < 6）；并求 t 为何值时，S 有最大值？
（3）试探究：当 S 有最大值时，在 y 轴上是否存在点 T，使直线 MT 把△ONC 分割成三角形和四边形两部分，且三角形的
面积是△ONC 面积的 ？若存在，求出点 T 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】解：（1）（6，4）；（ ）.
（2）∵S△OMP = ×OM× ，
∴S = ×（6 -t）× = +2t．
＝ （0 < t
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