2020年中考数学二轮复习重难题型突破类型一新定义型.doc

1 类型一 新定义型 例 1、对任意一个三位数 n，如果 n 满足各数位上的数字互不相同，且都不为零，那么称这 个数为“相异数”．将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的 新三位数，把这三个新三位数的和与 111 的商记为 F(n)．例如 n＝123，对调百位与十位 上的数字得到 213，对调百位与个位上的数字得到 321，对调十位与个位上的数字得到 132，这三个新三位数的和为 213＋321＋132＝666，666÷111＝6，所以 F(123)＝6． （1）计算：F(243)，F(617); （2）若 s，t 都是“相异数”，其中s＝100x＋32，t＝150＋y(1≤x≤9，1≤y≤9，x，y 都 是正整数），规定：k＝ F(s) F(t)当 F(s)＋F(t)＝18 时，求 k 的最大值． 【解答】解：(1)F(243)＝(423＋342＋234)÷111＝9； F(617)＝(167＋716＋671)÷111＝14． （2）∵s，t 都是“相异数”，s＝100x＋32，t＝150＋y， ∴F(s)＝(302＋10x＋230＋x＋100x＋23)÷111＝x＋5，F(t)＝(510＋y＋100y＋51＋105＋ 10y)÷111＝y＋6． ∵F(t)＋F(s)＝18， ∴x＋5＋y＋6＝x＋y＋11＝18， ∴x＋y＝7． ∵1≤x≤9，1≤y≤9，且 x，y 都是正整数， ∴{x＝1 y＝6 )或{x＝2 y＝5 )或{x＝3 y＝4 )或{x＝4 y＝3 )或{x＝5 y＝2 )或{x＝6 y＝1 )． ∵s 是“相异数”， ∴x≠2，x≠3． ∵t 是“相异数”， ∴y≠1，y≠5． ∴{x＝1 y＝6 )或{x＝4 y＝3 )或{x＝5 y＝2 )， ∴{F(s)＝6 F(t)＝12)或{F(s)＝9 F(t)＝9)或{F(s)＝10 F(t)＝8 )， ∴k＝ F(s) F(t)＝ 1 2或 k＝ F(s) F(t)＝1 或 k＝ F(s) F(t)＝ 5 4 ∴k 的最大值为 5 4．2 例 2、如图 1，在正方形 ABCD 的内部，作∠DAE＝∠ABF＝∠BCG＝∠CDH，根据三角形全等的 条件，易得△DAE≌△ABF≌△BCG≌△CDH，从而得到四边形 EFGH 是正方形． 类比探究 如图 2，在正△ABC 的内部，作∠BAD＝∠CBE＝∠ACF，AD，BE，CF 两两相交于 D，E，F 三 点(D，E，F 三点不重合） （1）△ABD，△BCE，△CAF 是否全等？如果是，请选择其中一对进行证明． （2）△DEF 是否为正三角形？请说明理由． （3）进一步探究发现，△ABD 的三边存在一定的等量关系，设 BD＝a，AD＝b，AB＝c，请探 索 a，b，c 满足的等量关系． 【解答】解：(1)△ABD≌△BCE≌△CAF;理由如下： ∵△ABC 是正三角形， ∴∠CAB＝∠ABC＝∠BCA＝60°，AB＝BC， ∵∠ABD＝∠ABC－∠2，∠BCE＝∠ACB－∠3，∠2＝∠3， ∴∠ABD＝∠BCE， 在△ABD 和△BCE 中，{∠1＝∠2 AB＝BC ∠ABD＝∠BCE)， ∴△ABD≌△BCE(ASA); (2)△DEF 是正三角形；理由如下： ∵△ABD≌△BCE≌△CAF， ∴∠ADB＝∠BEC＝∠CFA， ∴∠FDE＝∠DEF＝∠EFD， ∴△DEF 是正三角形； （3）作 AG⊥BD 于 G，如图所示： ∵△DEF 是正三角形，3 ∴∠ADG＝60°， 在 Rt△ADG 中，DG＝ 1 2bAG＝ 3 2 b 在 Rt△ABG 中c＝( a＋ 1 2b )＋( 3 2 b ) ∴c＝a＋ab＋b． 例 3、有这样一个问题：探究同一平面直角坐标系中系数互为倒数的正、反比例函数 y＝ 1 kx 与 y＝ k x≠0）的图象性质． 小明根据学习函数的经验，对函数 y＝ 1 kx与 y＝ k x当 k＞0 时的图象性质进行了探究． 下面是小明的探究过程： （1）如图所示，设函数 y＝ 1 kx与 y＝ k x图象的交点为 A，B，已知 A 点的坐标为(－k，－1)， 则 B 点的坐标为________； （2）若点 P 为第一象限内双曲线上不同于点 B 的任意一点． ①设直线 PA 交 x 轴于点 M，直线 PB 交 x 轴于点 N．求证：PM＝PN． 证明过程如下：设P( m,k m )直线 PA 的解析式为 y＝ax＋b(a≠0）． 则 {－ka＋b＝－1 ma＋b＝ k m )， 解得 {a＝ b＝ )________ ∴直线 PA 的解析式为________ 请你把上面的解答过程补充完整，并完成剩余的证明． ②当 P 点坐标为(1，k)(k≠1）时，判断△PAB 的形状，并用 k 表示出△PAB 的面积． 【解答】解：（1）由正、反比例函数图象的对称性可知，点 A、B 关于原点 O 对称，4 ∵A 点的坐标为(－k，－1)， ∴B 点的坐标为(k，1)． 故答案为：(k，1)． （2）①证明过程如下，设P( m,k m )直线 PA 的解析式为 y＝ax＋b(a≠0）． 则{－ka＋b＝－1 ma＋b＝ k m )， 解得：{a＝ 1 m b＝ k m－1)， ∴直线 PA 的解析式为 y＝ 1 mx＋ k m－1． 当 y＝0 时，x＝m－k， ∴M 点的坐标为(m－k，0)． 过点 P 作 PH⊥x 轴于 H，如图 1 所示， ∵P 点坐标为( m,k m ) ∴H 点的坐标为(m，0)， ∴MH＝x－x＝m－(m－k)＝k． 同理可得：HN＝k． ∴MH＝HN， ∴PM＝PN． 故答案为：{a＝ 1 m b＝ k m－1)；y＝ 1 mx＋ k m－1． ②由①可知，在△PMN 中，PM＝PN， ∴△PMN 为等腰三角形，且 MH＝HN＝k． 当 P 点坐标为(1，k)时，PH＝k， ∴MH＝HN＝PH， ∴∠PMH＝∠MPH＝45°，∠PNH＝∠NPH＝45°， ∴∠MPN＝90°，即∠APB＝90°， ∴△PAB 为直角三角形．5 当 k＞1 时，如图 1， S＝S－S＋S ＝ 1 2MN﹒PH－ 1 2ON﹒y＋ 1 2OM﹒|y| ＝ 1 2 × 2k × k－ 1 2(k＋1) × 1＋ 1 2(k－1) × 1 ＝k－1; 当 0＜k＜1 时，如图 2， S＝S－S＋S ＝ 1 2ON﹒y－k＋ 1 2OM﹒|y| ＝ 1 2(k＋1) × 1－k＋ 1 2(1－k) × 1 ＝1－k． 例 4、问题呈现：如图 1，点 E、F、G、H 分别在矩形 ABCD 的边 AB、BC、CD、DA 上，AE＝ DG，求证：2S 四边形 EFGH＝S 矩形 ABCD．（S 表示面积） 实验探究：某数学实验小组发现：若图 1 中 AH≠BF，点 G 在 CD 上移动时，上述结论会发生 变化，分别过点 E、G 作 BC 边的平行线，再分别过点 F、H 作 AB 边的平行线，四 条平行线分别相交于点A、B、C、D得到矩形ABCD． 如图 2，当 AH＞BF 时，若将点 G 向点 C 靠近(DG＞AE)，经过探索，发现：2 S 四 边形 EFGH＝S 矩形 ABCD＋S 矩形ABCD． 如图 3，当 AH＞BF 时，若将点 G 向点 D 靠近(DG＜AE)，请探索 S 四边形 EFGH、S 矩形 ABCD 与 S 矩形ABCD之间的数量关系，并说明理由． 迁移应用：请直接应用“实验探究”中发现的结论解答下列问题： （1）如图 4，点 E、F、G、H 分别是面积为 25 的正方形 ABCD 各边上的点，已知 AH＞BF，AE ＞DG，S 四边形 EFGH＝11，HF＝ 29求 EG 的长． （2）如图 5，在矩形 ABCD 中，AB＝3，AD＝5，点 E、H 分别在边 AB、AD 上，BE＝1，DH＝ 2，点 F、G 分别是边 BC、CD 上的动点，且 FG＝ 10连接 EF、HG，请直接写出四边形 EFGH 面积的最大值．6 【解答】问题呈现：证明：如图 1 中， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴AB∥CD，∠A＝90°， ∵AE＝DG， ∴四边形 AEGD 是矩形， ∴S＝ 1 2S 四边形 EFGH， 同理S＝ 1 2S 矩形 BEGC， ∴S 四边形 EFGH＝S＋S＝ 1 2S 矩形 ABCD． 实验探究：结论：2 S 四边形 EFGH＝S 矩形 ABCD－S 矩形ABCD． 理由：∵ = 1 2 ， = 1 2 ， = 1 2 ， = 1 2 ， ∴S 四 边 形 EFGH= + + + ﹣7 ， ∴2S 四 边 形 EFGH=2 +2 +2 +2 ﹣2 ，∴2S 四边形 EFGH=S 矩形 ABCD﹣S 矩形ABCD． 迁 移 应 用 ： 解 ： （ 1 ） 如 图 4 中 ， ∵2S 四 边 形 EFGH=S 矩 形 ABCD﹣S 矩 形 ABCD， ∴S 矩 形 ABCD =25﹣2×11=3=A1B1A1D1，∵正方形的面积为 25，∴边长为 5，∵A1D12=HF2﹣52=29﹣25=4， ∴A1D1=2，A1B1= ，∴EG2=A1B12+52= ，∴EG= ． （2）∵2 S 四边形 EFGH＝S 矩形 ABCD＋S 矩形ABCD． ∴四边形ABCD面积最大时，四边形 EFGH 的面积最大． ①如图 5－1 中，当 G 与 C 重合时，四边形ABCD面积最大时，四边形 EFGH 的面积最大． 此时矩形ABCD面积＝1﹒(\R(,10)－2)＝ 10－2 ②如图 5－2 中，当 G 与 D 重合时，四边形ABCD面积最大时，四边形 EFGH 的面积最大．此时 矩形ABCD面积＝2﹒1＝2，∵2＞ 10－2∴四边形 EFGH 的面积最大值＝ 17 2 ． 例 5、定义：点 P 是△ABC 内部或边上的点（顶点除外），在△PAB，△PBC，△PCA 中，若至 少有一个三角形与△ABC 相似，则称点 P 是△ABC 的自相似点． 例如：如图 1，点 P 在△ABC 的内部，∠PBC＝∠A，∠BCP＝∠ABC，则△BCP∽△ABC，故 点 P 是△ABC 的自相似点． 请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题： 在平面直角坐标系中，点 M 是曲线 y＝ 3 3 x (x＞0)上的任意一点，点 N 是 x 轴正半轴 上的任意一点． （1）如图 2，点 P 是 OM 上一点，∠ONP＝∠M，试说明点 P 是△MON 的自相似点；当点 M 的 坐标是(\R(,3))点 N 的坐标是(\R(,3))时，求点 P 的坐标； （2）如图 3，当点 M 的坐标是(3)点 N 的坐标是(2，0)时，求△MON 的自相似点的坐标； （3）是否存在点 M 和点 N，使△MON 无自相似点？若存在，请直接写出这两点的坐标；若不 3 2 109 4 109 28 存在，请说明理由． 【解答】解：（1）∵∠ONP＝∠M，∠NOP＝∠MON， ∴△NOP∽△MON， ∴点 P 是△MON 的自相似点； 过 P 作 PD⊥x 轴于 D，则 tan∠POD＝ MN ON＝ 3 ∴∠MON＝60°， ∵当点 M 的坐标是(\R(,3))点 N 的坐标是(\R(,3)) ∴∠MNO＝90°， ∵△NOP∽△MON， ∴∠NPO＝∠MNO＝90°， 在 Rt△OPN 中，OP＝ONcos60°＝ 3 2 ∴OD＝OPcos60°＝ 3 2 × 1 2＝ 3 4 PD＝OP﹒sin60°＝ 3 2 × 3 2 ＝ 3 4{{dbc5494c.png}} ∴P( 3 4 ,3 4 ); （2）作 MH⊥x 轴于 H，如图 3 所示： ∵点 M 的坐标是(3)点 N 的坐标是(2，0)， ∴OM＝ 3＋(\R(,3))＝2 3直线 OM 的解析式为 y＝ 3 3 xON＝2，∠MOH＝30°， 分两种情况： ①如图 3 所示：∵P 是△MON 的相似点， ∴△PON∽△NOM，作 PQ⊥x 轴于 Q， ∴PO＝PN，OQ＝ 1 2ON＝1， ∵P 的横坐标为 1，9 ∴y＝ 3 3 × 1＝ 3 3 {{eb10936e.png}} ∴P( 1, 3 3 ); ②如图 4 所示： 由勾股定理得：MN＝ (\R(,3))＋1＝2， ∵P 是△MON 的相似点， ∴△PNM∽△NOM， ∴ PN ON＝ MN MO即 PN 2 ＝ 2 2 3 解得：PN＝ 2 3 3 即 P 的纵坐标为 2 3 3 代入 y＝ 3 3 得： 2 3 3 ＝ 3 3 x 解得：x＝2， ∴P( 2,2 3 3 ); 综上所述：△MON 的自相似点的坐标为( 1, 3 3 )或( 2,2 3 3 ); （3）存在点 M 和点 N，使△MON 无自相似点M(,\R(,3))N(,2\R(,3));理由如下： ∵M(\R(,3))N(,2\R(,3)) ∴OM＝2 3＝ON，∠MON＝60°， ∴△MON 是等边三角形， ∵点 P 在△MON 的内部， ∴∠PON≠∠OMN，∠PNO≠∠MON， ∴存在点 M 和点 N，使△MON 无自相似点．