2020年中考数学二轮复习重难题型突破类型二二次函数与角度问题.doc

1 类型二 二次函数与角度问题 例 1、已知抛物线 的图象与 轴交于 、 两点（点 在点 的左边），与 轴交于点 ， ，过点 作 轴的平行线与抛物线交于点 ，抛物线的顶点为 ，直线 经过 、 两点. （1） 求此抛物线的解析式； （2）连接 、 、 ，试比较 和 的大小，并说明你的理由. 【答案】解：（1）∵CD∥x 轴且点 C（0，3）， ∴设点 D 的坐标为(x，3) ． ∵直线 y= x+5 经过 D 点， ∴3= x+5．∴x=－2． 即点 D(－2，3) ． 根据抛物线的对称性，设顶点的坐标为 M（－1，y）， 又∵直线 y= x+5 经过 M 点， ∴y =－1+5，y =4．即 M（－1，4）． ∴设抛物线的解析式为 ． ∵点 C（0，3）在抛物线上，∴a=－1． 即抛物线的解析式为 ．…………3 分 （2）作 BP⊥AC 于点 P，MN⊥AB 于点 N． 由（1）中抛物线 可得 点 A（－3，0），B（1，0）， ∴AB=4，AO=CO=3，AC= ． ∴∠PAB＝45°． ∵∠ABP=45°，∴PA=PB= ． ∴PC=AC－PA= ． 在 Rt△BPC 中，tan∠BCP= =2． 在 Rt△ANM 中，∵M（-1，4），∴MN=4．∴AN=2． tan∠NAM= =2． ∴∠BCP＝∠NAM． 2y ax bx c= + + x A B A B y (0C 3) C x D M 5y x= + D M AM AC BC MAB∠ ACB∠ 2( 1) 4y a x= + + 2 2 3y x x= − − + 2 2 3y x x= − − + 3 2 2 2 2 PB PC MN AN2 x y 8 8 3 4 5 6 7 2 1 75 64321 -10 -9 -1 -2 -4 -3 -5 -6 -7 -8 -8 -7 -6 -5 -3-4 -2 -1O 即∠ACB＝∠MAB． 例 2、在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 经过点 N（2,－5），过点 N 作 x 轴 的平行线交此抛物线左侧于点 M，MN=6. （1）求此抛物线的解析式； （2）点P（x,y）为此抛物线上一动点，连接MP 交此抛物线的对称轴于点D，当△DMN 为直 角三角形时，求点 P 的坐标； （3）设此抛物线与y 轴交于点C，在此抛物线上是否存在点Q，使∠QMN=∠CNM ？若存在，求出 点Q 的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】解：（1）∵ 过点 M、N（2，－5）， ， 由题意，得 M（ ， ）. ∴ 解得 ∴此抛物线的解析式为 . …………………………………2 分 （2）设抛物线的对称轴 交 MN 于点 G， 若△DMN 为直角三角形，则 . ∴D1（ ， ）， （ ， ）. ………………………………………4 分 直线 MD1 为 ，直线 为 . 将 P（x， ）分别代入直线 MD1， 2 3y ax bx= + + 32 ++= bxaxy 6=MN 4− 5−    −=+− −=++ .53416 ,5324 ba ba    −= −= .2 ,1 b a 322 +−−= xxy 1−=x 32 1 21 === MNGDGD 1− 2− 2D 1− 8− 1−= xy 2MD 9−−= xy 322 +−− xx x y P2 D2 D1 GM N C O P13 的解析式， 得 ①， ②. 解①得 ， （舍）， ∴ （1,0）. …………………………………5 分 解②得 ， （舍）， ∴ （3,－12）. ……………………………6 分 （3）设存在点 Q（x， ）， 使得∠QMN=∠CNM. ① 若点 Q 在 MN 上方，过点 Q 作 QH⊥MN， 交 MN 于点 H，则 . 即 . 解得 ， （舍）. ∴ （ ，3）. ……………………………7 分 ② 若点 Q 在 MN 下方， 同理可得 （6， ）. …………………8 分 例 3、平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 与 x 轴交于点 A、点 B，与 y 轴 的正半轴交于点 C，点 A 的坐标为(1, 0)，OB=OC，抛物线的顶点为 D． (1) 求此抛物线的解析式； (2) 若此抛物线的对称轴上的点 P 满足∠APB=∠ACB，求点 P 的坐标； (3) Q 为线段 BD 上一点，点 A 关于∠AQB 的平分线的对称点为 ，若 ， 求点 Q 的坐标和此时△ 的面积． 2MD 1322 −=+−− xxx 9322 −−=+−− xxx 11 =x 42 −=x 1P 33 =x 44 −=x 2P 322 +−− xx 4tan =∠= CNMMH QH ）（ 445322 +=++−− xxx 21 −=x 42 −=x 1Q 2− 2Q 45− 2 4 4y ax ax a c= − + + A′ 2=−QBQA QAA′ x y H Q M N C O4 【答案】（1）∵ ， ∴ 抛物线的对称轴为直线 ． ∵ 抛物线 与 x 轴交于 点 A、点 B，点 A 的坐标为 ， ∴ 点 B 的坐标为 ，OB＝3．…………… 1 分 可得该抛物线的解析式为 ． ∵ OB=OC，抛物线与 y 轴的正半轴交于点 C， ∴ OC=3，点 C 的坐标为 ． 将点 C 的坐标代入该解析式，解得 a=1．……2 分 ∴ 此抛物线的解析式为 ．（如图 9）…………………… 3 分 （2）作△ABC 的外接圆☉E，设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为点 F，设☉E 与抛物 线的对称轴位于 x 轴上方的部分的交点为点 ，点 关于 x 轴的对称点为点 ，点 、点 均为所求点.（如图 10） 可知圆心 E 必在 AB 边的垂直平分线即抛物线的对称轴直线 上． ∵ 、 都是弧 AB 所对的圆周角， ∴ ，且射线 FE 上的其它点 P 都不满足 ． 由（1）可知 ∠OBC=45°，AB=2，OF=2． 2 24 4 ( 2)y ax ax a c a x c= − + + = − + 2x = 2 4 4y ax ax a c= − + + (1,0) (3,0) ( 1)( 3)y a x x= − − (0,3) 2 4 3y x x= − + 1P 1P 2P 1P 2P 2x = 1APB∠ ACB∠ ACBBAP ∠=∠ 1 ACBAPB ∠=∠ 图 95 可得圆心 E 也在 BC 边的垂直平分线即直线 上． ∴ 点 E 的坐标为 ．………………………………………………… 4 分 ∴ 由勾股定理得 ． ∴ ． ∴ 点 的坐标为 ．…………………………………………… 5 分 由对称性得点 的坐标为 ． ……………………………… 6 分 ∴符合题意的点 P 的坐标为 、 . （3）∵ 点 B、D 的坐标分别为 、 ， 可得直线 BD 的解析式为 ，直线 BD 与 x 轴所夹的锐角为 45°． ∵ 点 A 关于∠AQB 的平分线的对称点为 ，（如图 11） 若设 与∠AQB 的平分线的交点为 M， 则有 ， ， ，Q，B， 三点在一条直线上． ∵ ， ∴ 作 ⊥x 轴于点 N． ∵ 点 Q 在线段 BD 上， Q，B， 三点在一条直线上， ∴ ， ． ∴ 点 的坐标为 ． ∵ 点 Q 在线段 BD 上， ∴ 设点 Q 的坐标为 ，其中 ． ∵ ， ∴ 由勾股定理得 ． 解得 ． y x= (2,2)E 5EA = 1 5EP EA= = 1P 1(2,2 5)P + 2P 2 (2, 2 5)P − − 1(2,2 5)P + 2 (2, 2 5)P − − (3,0)B (2, 1)D − 3y x= − A′ AA′ QA QA′= AM A M′= AA QM′ ⊥ A′ 2QA QB− = .2'' =−=−= QBQAQBQABA A N′ A′ sin 45 1A N BA′ ′= ⋅ ° = cos45 1BN BA′= ⋅ ° = A′ (4,1)A′ ( , 3)Q x x − 2 3x< < QA QA′= 2 2 2 2( 1) ( 3) ( 4) ( 3 1)x x x x− + − = − + − − 11 4x =6 经检验， 在 的范围内． ∴ 点 Q 的坐标为 ． …………………………………………… 7 分 此时 ．… 8 分 例 4、已知，抛物线 与 x 轴交于点 A（－2,0）、B（8,0），与 y 轴交于点 C （0，－4）。直线 y=x+m 与抛物线交于点 D、E（D 在 E 的左侧），与抛物线的对称点交于点 F。 （1）求抛物线的解析式； （2）当 m=2 时，求∠DCF 的大小； （3）若在直线 y=x+m 下方的抛物线上存在点 P，使∠DPF＝450，且满足条件的点 P 只有两 个，则 m 的值为___________________.（第（3）问不要求写解答过程） 【答案】解：（1）依题意，设抛物线的解析式为 y=a（x+2）（x-8）， ∵抛物线与 y 轴交于点 C（0，-4）， ∴-4=a（0+2）（0-8）． 解得 a= ． ∴抛物线的解析式为 y= (x+2)(x-8)，即 y= x2- x-4； （2）由（1）可得抛物线的对称轴为 x=3， ∵m=2， ∴直线的解析式为 y=x+2， ∵直线 y=x+2 与抛物线交于点 D、E，与抛物线的对称轴交于点 F， ∴F、D 两点的坐标分别为 F（3，5），D（-2，0）． 设抛物线的对称轴与 x 轴的交点为 M， 可得 CM=FM=MD=5， ∴F、D、C 三点在以 M 为圆心，半径为 5 的圆上． ∴∠DCF= ∠DMF=45°． 11 4x = 2 3x< < 11 1( , )4 4Q − 1 1 1 5( ) 2 (1 )2 2 4 4QAA A AB QAB A QS S S AB y y′ ′ ′∆ ∆ ∆= + = ⋅ ⋅ + = × × + = cbxaxy ++= 2 4 1 4 1 4 1 2 3 2 17 （3）由抛物线解析式可知，抛物线顶点坐标为 G（3，- ） 设 F（3，3+m），则 FG=m+3+ ，设 D 关于对称轴的对称点为 D1， 当四边形 DGD1F 为正方形时，满足题意，此时 P 点与顶点 G 重合，或者与 D1 重合， 故 DD1=F′G，D 点横坐标为：x=-（ F′G-3）=- ，纵坐标为-（ F′G-3-m）= ， 将 D 点坐标抛物线解析式，解得 m=- ． 例 5 、 如 图 ， 抛 物 线 ， 与 轴 交 于 点 ， 且 ． （I）求抛物线的解析式； （II）探究坐标轴上是否存在点 ，使得以点 为顶点的三角形为直角三角形？ 若存在，求出 点坐标，若不存在，请说明理由； （III）直线 交 轴于 点， 为抛物线顶点．若 ， 的值． 【答案】解：（I） ，且 ． ． 代入 ，得 两点轴交于与 BAxbxaxy ,32 −+= y C OAOCOB 3== P CAP ,, P 13 1 +−= xy y D E α=∠DBC βαβ −=∠ 求,CBE ( )3,032 −−+= 点轴交与抛物线 Cybxaxy OAOCOB 3== ( ) )0,3(,0,1 BA −∴ 32 −+= bxaxy { { 1 2 03 0339 = −= =−− =−+ ∴ a b ba ba 4 25 4 25 2 1 8 134 +m 2 1 8 134 −m 4 58 （II）①当 可证 ∽ ． ②同理: 如图当 ③当 综上，坐标轴上存在三个点 ，使得以点 为顶点的三角形为直角三角形，分别 是 ， ． （III） ． ． ∴ ． ． ． 又 ． ． ． 例 6、如图⑴，在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线 y=ax2＋8ax＋16a＋6 经过点 B（0，4）. ⑴求抛物线的解析式； ⑵设抛物线的顶点为 D，过点 D、B 作直线交 x 轴于点 A，点 C 在抛物线的对称轴上，且 C 点的纵坐标为-4，联结 BC、AC.求证：△ABC 是等腰直角三角形； ⑶在⑵的条件下，将直线 DB 沿 y 轴向下平移，平移后的直线记为 l ，直线 l 与 x 轴、y 轴分别交于点 A′、B′，是否存在直线 l，使△A′B′C 是直角三角形，若存在求出 l 的解 析式，若不存在，请说明理由． 322 −−=∴ xxy 1 90 ,P AC∠ = °时 AOP1∆ ACO∆ 3 1tantan 11 =∠=∠∆∴ ACOAOPAOPRt 中， )3 1,0(1P∴ )0,9(90 22 PCAP 时，°=∠ )0,0(90 33 PACP 时，°=∠ P CAP ,, )3 1,0(1P )0,9(2P )0,0(3P ( )1,0,13 1 Dxy 得由 +−= ( )4,1322 −−−= Exxy ，得顶点由 52,2,23 === BECEBC  为直角三角形BCEBE ∆∴=+ ,CEBC 222 3 1tan ==∴ CB CEβ 3 1tan ==∠∆∴ OB ODDBODOBRt 中 β∠=∠∴ DBO °=∠=∠−∠=∠−∠ 45OBCDBOαβα9 图（1） 备用图 【答案】⑴解：由题意知： 解得： ∴抛物线的解析式为： -------1 分 ⑵证明 ：由抛物线的解析式知:顶点 D 坐标为（－4,6） ∵点 C 的纵坐标为－4，且在抛物线的对称轴上 ∴C 点坐标为(－4，－4) 设直线 BD 解析式为： 有： ，∴ ∴BD 解析式为 ∴直线 BD 与 x 轴的交点 A 的坐标为（8,0） D C A B O x y D C A B O x y 4616 =+a =a 8 1− 48 1 2 +−−= xxy ( )04 ≠+= kkxy 44-6 += k 2 1−=k 42 1 +−= xy 3 2 1 E D C A B O x10 过点 C 作 CE⊥ 轴于点 E，则 CE=4，BE=8 又∵OB=4，OA=8, ∴CE=OB,BE=OA,∠CEB=∠BOA=90° ∴△CEB≌△BOA(SAS)-----------------------------2 分 ∴CB=AB, ∠1=∠2 ∵∠2+∠3=90°，∴∠2+∠3=90° ∴∠1+∠3=90°，即∠ABC=90° ∴△ABC 是等腰直角三角形---------------------3 分 ⑶存在.①当∠CA′B′=90°时，如图 1 所示， ∵A′B′∥AB ∴∠OA′B′=∠BAO 易证:∠ECA′=∠OA′B′ ∴∠ECA′=∠BAO ∵tan∠BAO= ∴tan∠ECA′= ∴EA′=2 ∴A′坐标为(－2,0) ∴直线 l 解析式为 ------5 分 ②当∠A′CB′=90°时，如图 2 所示， 过点 C 作 CE⊥ 轴于点 E， 易证△A′FC≌△B′EC ∴A′F=B′E ∴由①tan∠B′A′O= ∴设 B′坐标为（0，n） ∴有 ∴ B′坐标为（0， ） y 2 1 2 1 12 1 −−= xy y 2 1 2 1 44 =++ − n n 3 8−=n 3 8− A' D C E A B O x y B' 图 1 A' E D C F A B O x y B' 图 211 ∴直线 l 解析式为 ------7 分 例 7、已知：抛物线 y＝－x2＋2x＋m-2 交 y 轴于点 A（0，2m-7）．与直线y＝ x 交于点 B、C （B 在右、C 在左）． （1）求抛物线的解析式； （ 2 ） 设 抛 物 线 的 顶 点 为 E ， 在 抛 物 线 的 对 称 轴 上 是 否 存 在 一 点 F ， 使 得 ，若存在，求出点 F 的坐标，若不存在，说明理由； （3）射线 OC 上有两个动点 P、Q 同时从原点出发，分别以每秒 个单位长度、每秒 2 个单位长度的速度沿射线 OC 运动，以 PQ 为斜边在直线 BC 的上方作直角三角形 PMQ （直角边分别平行于坐标轴），设运动时间为 t 秒，若△PMQ 与抛物线 y＝－x2＋2x＋ m-2 有公共点，求 t 的取值范围． 【答案】解： （1）点 A（0，2m-7）代入 y＝－x2＋2x＋m-2，得 m=5 ∴抛物线的解析式为 y＝－x2＋2x＋3 ………………………2 分 （2）由 得 ， ∴B（ ），C（ ） B（ ）关于抛物线对称轴 的 对称点为 3 8 2 1 −−= xy 2 BFE CFE∠ = ∠ 5 5    = ++−= xy xxy 2 322    = = 32 3 y x    = −= 32 3 y x 32,3 32,3 −− 32,3 1=x )32,32(' −B12 可得直线 的解析式为 ， 由 ，可得 ∴ ………………………5 分 （3）当 在抛物线上时，可得 ， ， 当 在抛物线上时，可得 ， ， 舍去负值，所以 t 的取值范围是 ．………………8 分 CB' 32632 −+= xy    = −+= 1 32632 y xy    = = 6 1 y x )6,1(F )2,2( ttM −− 0324 2 =−+ tt 4 131±−=t )2,( ttP −− 32 =t 3±=t 34 131 ≤≤+− t