2020年中考数学二轮复习重难题型突破类型二图形规律.doc

1 类型二 图形规律 例 1.将一些相同的“ ”按如图所示摆放，观察每个图形中的“ ”的个数，若第 n 个图形中 “ ”的个数是 78，则 n 的值是(　　) 第 1 题图 A．11　　　　B．12　　　　C．13　　　　D．14 【答案】B　 【解析】由每个图形中小圆的个数规律可得第 n 个图形中，小圆的个数为 n（n＋1） 2 ，由此 可得方程 n（n＋1） 2 ＝78，解得 n＝12，故选 B. 例 2.如图，在第 1 个△A1BC 中，∠B＝30°，A1B＝CB；在边 A1B 上任取一点 D，延长 CA1 到 A2，使 A1A2＝A1D，得到第 2 个△A1A2D；在边 A2D 上任取一点 E，延长 A1A2 到 A3，使 A2A3＝ A2E，得到第 3 个△A2A3E，…，按此做法继续下去，则第 n 个三角形中以 An 为顶点的内角度 数是(　　) 第 2 题图 A. ( 1 2)n·75° B. ( 1 2)n－1·65° C. ( 1 2)n－1·75° D. ( 1 2)n·85° 【答案】C　 【解析】在△CBA1 中，∠B＝30°，A1B＝CB，∴∠BA1C＝ 180°－∠B 2 ＝75°，∵A1A2＝A1D， ∠BA1C 是△A1A2D 的外角，∴∠DA2A1＝ 1 2∠BA1C＝ 1 2×75°；同理可得，∠EA3A2＝( 1 2)2×75°， ∠FA4A3＝( 1 2)3×75°，∴第 n 个三角形中以 An 为顶点的内角度数是( 1 2)n－1×7 例 3.下列图形都是由相同大小的 按一定规律组成的，其中第①个图形中一共有 4 颗 ，第 ②个图形中一共有 11 颗 ，第③个图形中一共有 21 颗 ，…，按此规律排列下去，第⑨个 图形中 的颗数为(　　)2 第 3 题图 116 B. 144 C. 145 D. 150 【答案】 B　 【解析】将图中下半部分组成的梯形放到矩形上方，第 n 个组合图形可看作是由下半部分为 n 行 n 列方阵和上半部分的梯形成，第 n 个图中方阵中的为(n＋1)2，梯形中为 2＋n 2 ·(n－1) ＝ n2＋n－2 2 ，∴第 n 个图中的的个数为(n＋1)2＋ n2＋n－2 2 ＝ 3n2 2 ＋ 5n 2 ，令 n＝9，解得第 9 个 中个数为 144 个． 例 4.如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为 1 个单位长度的半圆 O1，O2，O3，…，组成 一条平滑的曲线．点 P 从原点 O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒 π 2 个单位长度，则 第 2017 秒时，点 P 的坐标是(　　) 第 4 题图 A. (2014，0) B. (2015，－1) C. (2017，1) D. (2016，0) 【答案】C　 【解析】由图象可知，半圆的周长为 π，∴运动一秒后的坐标为(1，1)，两秒后的坐标为 (2，0)，三秒后的坐标为(3，－1)，四秒后的坐标为(4，0)，…，其中纵坐标以 1，0，－ 1，0 循环变化，∵2017÷4＝504……1，∴第 2017 秒时，点 P 的坐标为(2017，1)． 例 5.如图所示，将形状、大小完全相同的“ ”和线段按照一定规律摆成下列图形．第 1 幅 图形中“ ”的个数为 a1，第 2 幅图形中“ ”的个数为 a2，第 3 幅图形中“ ”的个数为 a3，…，以此类推，则 1 a1＋ 1 a2＋ 1 a3＋…＋ 1 a19的值为(　　)3 第 5 题图 A. 20 21 B. 61 84 C. 589 840 D. 431 760 【答案】C　 【解析】由所给图形可知，a1＝3＝22－1＝(1＋1)2－1，a2＝8＝32－1＝(2＋1)2－1，a3＝15 ＝42－1＝(3＋1)2－1，a4＝24＝52－1＝(4＋1)2－1，由此猜想 an＝(n＋1)2－1＝n(n＋2)， ∴ 1 a1＋ 1 a2＋ 1 a3＋…＋ 1 a19＝ 1 3＋ 1 8＋ 1 15＋…＋ 1 19 × 21＝ 1 2×(1－ 1 3＋ 1 2－ 1 4＋ 1 3－ 1 5＋…＋ 1 18－ 1 20 ＋ 1 19－ 1 21)＝ 1 2×(1＋ 1 2－ 1 20－ 1 21)＝ 589 840. 例 6.如图，将矩形 ABCD 绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转 90°至图①位置，继续绕右下 角的顶点按顺时针方向旋转 90°至图②位置，依此类推，这样连续旋转 2017 次．若 AB＝4， AD＝3，则顶点 A 在整个旋转过程中所经过的路径总长为(　　) 第 6 题图 A. 2017π B. 2034π C. 3024π D. 3026π 【答案】D　 【解析】∵AB＝4，AD＝3，∴AC＝BD＝5，转动一次 A 的路线长是 90·π·4 180 ＝2π，转动第 二次 A 的路线长是 90·π·5 180 ＝ 5 2π，转动第三次 A 的路线长是 90·π·3 180 ＝ 3 2π，转动第四次 A 的路线长是 0，以此类推，每四次一个循环，且顶点 A 转动一个循环的路线长为： 5 2π＋ 3 2π ＋2π＝6π，∵2017÷4＝504……1，∴顶点 A 转动 2017 次经过的路线长为：6π×504＋2π ＝3026π. 例 7. 如图，已知菱形 OABC 的顶点 O(0，0)，B(2，2)，若菱形绕点 O 逆时针旋转，每秒旋 转 45°，则第 60 秒时，菱形的对角线交点 D 的坐标为(　　)4 第 7 题图 A.(1，－1) B. (－1，－1) C. ( 2，0) D. (0， 2) 【答案】B　 【解析】∵菱形 OABC 的顶点 O(0，0)，点 B 的坐标是(2，2)，∴BO 与 x 轴的夹角为 45°， ∵菱形的对角线互相垂直平分，∴点 D 是线段 OB 的中点，∴点 D 的坐标是(1，1) ，∵菱形 绕点 O 逆时针旋转，每秒旋转 45°，360°÷45°＝8，∴每旋转 8 秒，菱形的对角线交点 就回到原来的位置(1，1)，∵60÷8＝7……4，∴第 60 秒时是把菱形绕点 O 逆时针旋转了 7 周回到原来位置后，又旋转了 4 秒，即又旋转了 4×45°＝180°，∴点 D 的对应点落在第 三象限，且对应点与点 D 关于原点 O 成中心对称，∴第 60 秒时，菱形的对角线交点 D 的坐 标为(－1，－1)． 例 8. 某广场用同一种如下图所示的地砖拼图案，第一次拼成形如图①所示的图案，第二次 拼成形如图②所示的图案，第三次拼成形如图③所示的图案，第四次拼成形如图④所示的图 案…按照这样的规律进行下去，第 n 次拼成的图案共用地砖________块． 第 8 题图 地砖图案 【答案】2n2＋2n　 【解析】①4，②4＋2×4，③4＋2×4＋2×6，…，故第 n 个图形共有 4＋2×4＋2×6＋…＋ 2×2n＝4＋4×2＋4×3＋…＋4n＝4(1＋2＋3＋…＋n)＝4× n（n＋1） 2 ＝2n2＋2n. 例 9.下列图形都是由大小相同的小正方形按一定规律组成的，其中第 1 个图形的周长为 4， 第 2 个图形的周长为 10，第 3 个图形的周长为 18，…，按此规律排列，第 5 个图形的周长 为________． 第 9 题图5 【答案】40　 【解析】第一个图形周长 1×2＋1×2；第二个图形周长(2＋1)×2＋2×2；第三个图形周长 (3＋2＋1)×2＋2×3；第四个图形周长(4＋3＋2＋1)×2＋2×4；第五个图形周长(5＋4＋3 ＋2＋1)×2＋2×5＝40. 例 10. 如图，在△ABC 中，BC＝1，点 P 1、M1 分别是 AB、AC 边的中点，点 P2、M2 分别是 AP1、AM1 的中点，点 P3、M3 分别是 AP2、AM2 的中点，按这样的规律下去，PnMn 的长为________(n 为正整数)． 第 10 题图 【答案】 1 2n　 【解析】在△ABC 中，BC＝1，P1、M1 分别是 AB、ACnnnn 的中点，∴P1M1＝ 1 2BC＝ 1 2，按照题 设给定的规律，列表如下： 图形序号 PnMn PnMn 的长 度 ① P1M1 1 2 ② P2M2 1 4＝ 1 22 ③ P3M3 1 8＝ 1 23 … … … n PnMn 1 2n 例 11. 正方形 A1B1C1O，A2B2C2C1，A3B3C3C2…按如图所示放置，点 A1、A2、A3…在直线 y＝x＋ 1 上，点 C1、C2、C3…在 x 轴上，则 An 的坐标是________． 第 11 题图6 【答案】(2n－1－1，2n－1)　 【解析】∵点 A1、A2、A3…在直线 y＝x＋1 上，∴A1 的坐标是(0，1)，即 OA1＝1，∵四边形 A1B1C1O 为正方形，∴OC1＝1，即点 A2 的横坐标为 1，∴A2 的坐标是(1，2)，A2C1＝2，∵四 边形 A2B2C2C1 为正方形，∴C1C2 ＝2，∴OC2 ＝1＋2＝3，即点 A3 的横坐标为 3，∴A3 的坐标 是(3，4)，…，观察可以发现：A1 的横坐标是：0＝20－1，A1 的纵坐标是：1＝20；A2 的横 坐标是：1＝21－1，A2 的纵坐标是：2＝21；A3 的横坐标是：3＝22－1，A3 的纵坐标是：4＝ 22；…据此可以得到 An 的横坐标是：2n－1－1，纵坐标是：2n－1.所以点 An 的坐标是(2n－1－ 1，2n－1)． 例 12. 如图，在平面直角坐标系中，函数 y＝2x 和 y＝－x 的图象分别为直线 l1，l2，过点 (1，0)作 x 轴的垂线交 l1 于点 A1，过点 A1 作 y 轴的垂线交 l2 于点 A2，过点 A2 作 x 轴的垂 线交 l1 于点 A3，过点 A3 作 y 轴的垂线交 l2 于点 A4，…，依次进行下去，则点 A2017 的坐标 为________． 第 12 题图 第 13 题图 【答案】(21008，21009)　 【解析】观察，发现规律：A1(1，2)，A 2(－2，2)，A 3(－2，－4)，A 4(4，－4)，A 5(4， 8)，…，∴A2n＋1((－2)n，2(－2)n)，A2n＋2(－2)n＋1，2(－2)n，(n 为自然数)，∵2017＝1008×2 ＋1，∴A2017 的坐标为((－2)1008，2(－2)1008)＝(21008，21009)． 例13. 如图，∠MON＝60°，作边长为 1 的正六边形 A1B1C1D1E1F1，边 A1B1、F1E1 分别在射线 OM、ON 上，边 C 1D1 所在的直线分别交 OM、ON 于点 A 2 、F 2 ，以 A2F2 为边作正六边形 A2B2C2D2E2F2，边 C2D2 所在的直线分别交 OM、ON 于点 A 3、F3，再以 A3F3 为边作正六边形 A3B3C3D3E3F3，…，依此规律，经第 n 次作图后，点 Bn 到 ON 的距离是________． 【答案】3n－1 3　 【解析】由题可知，∠MON＝60°，不妨设 Bn 到 ON 的距离为 hn，∵正六边形 A1B1C1D1E1F1 的 边长为 1，则 A1B1＝1，易知△A1OF1 为等边三角形，∴A1B1＝OA1＝1，∴OB1＝2，则 h1＝2× 3 2 ＝ 3，又 OA2＝A2F2＝A2B2＝3，∴OB2＝6，则 h2＝6× 3 2 ＝3 3，同理可求：OB3＝18，则 h37 ＝18× 3 2 ＝9 3，…，依此可求：OBn＝2×3n－1，则 hn＝2×3n－1× 3 2 ＝3n－1 3，∴Bn 到 ON 的距离 hn＝3n－1 3. 例 14. 如图，Rt△OA0A1 在平面直角坐标系内，∠OA0A1＝90°，∠A0OA1＝30°，以 OA1 为直 角边向外作 Rt△OA1A2，使∠OA1A2＝90，∠A1OA2＝30°，以 OA2 为直角边向外作 Rt△OA2A3， 使∠OA2A3＝90°，∠A2OA3＝30°，按此方法进行下去，得到 Rt△OA3A4，Rt△OA4A5，…， Rt△OA2016A2017，若点 A0(1，0)，则点 A2017 的横坐标为________． 第 14 题图 【答案】( 4 3)1008　 【解析】由题意可知，经过 12 次变换后，点 A13 落在射线 OA1 上，∵2017÷12＝168……1， ∴点 A2017 落在射线 OA1 上，其横坐标与点 A2016 相同，∵OA0＝1，经过 12 次变换后，OA12＝ ( 2 3 3 )12，再经过 12 次变换后，OA24＝( 2 3 3 )24，综上可猜想，OA2016＝( 2 3 3 )2016＝( 4 3)1008， ∴点 A2017 的横坐标为( 4 3)1008. 例 15. 如图，直线 y＝ 3 3 x 上有点 A1，A2，A3，…，A n＋1 ，且 OA1＝1，A 1A2＝2，A 2A3＝ 4，…，AnAn＋1＝2n，分别过点 A1，A2，A3，…，An＋1 作直线 y＝ 3 3 x 的垂线，交 y 轴于点 B1，B2，B3，…，Bn＋1，依次连接 A1B2，A2B3，A3B4，…，AnBn＋1，得到△A1B1B2，△A2B2B3， △A3B3B4，…，△AnBnBn＋1，则△AnBnBn＋1 的面积为________(用含正整数 n 的式子表示)． 第 15 题图 【答案】 3 2 ×22n－ 3 2 ×2n　 【解析】如解图，作 A1C1⊥x 轴于 C1，A2C2⊥x 轴于 C2，AnCn⊥x 轴于 Cn，∵点 An 在直线上 y8 ＝ 3 3 x，∴ A1C1 OC1 ＝ A2C2 OC2 ＝ AnCn OCn ＝ 3 3 ，∴∠AnOCn＝30°，∴OCn＝ 3 2 OAn＝ 3 2 (1＋2＋22＋…＋2n －1)，∠AnOBn＝60°，∵BnAn⊥OAn，∴OBn＝2OAn，∴ BnBn＋1＝2OAn＋1－2OAn＝2AnAn＋1＝2×2n＝2n＋1. 第 15 题解图 S△AnBnBn＋1＝ 1 2BnBn＋1×OCn＝ 1 2×2n＋1· 3 2 (1＋2＋22＋…＋2n－1)，设 S＝1＋2＋4＋…＋2n－1， 则 2S＝2＋4＋…＋2n＋1＋2n，∴S＝2S－S＝(2＋4＋…＋2n－1＋2n)－(1＋2＋4＋…＋2n－1)＝ 2n－1 ，综上可知 S△AnBnBn＋1＝ 1 2×2n＋1× 3 2 (2n－1)＝ 3 2 ×22n－ 3 2 ×2n. 例 16. 如图，∠AOB＝60°，点 O1 是∠AOB 平分线上一点，OO1＝2，作 O1A1⊥OA，O1B1⊥OB， 垂足分别为 A1，B1，以 A1B1 为边作等边三角形 A1B1O2；作 O2A2⊥OA，O2B2⊥OB，垂足分别为 A2，B2，以 A2B2 为边作等边三角形 A2B2O3；作 O3A3⊥OA，O3B3⊥OB，垂足分别为 A3，B3，以 A3B3 为边作等边三角形 A3B3O4；…，按这样的方法继续下去，则△AnBnOn 的面积为________(用含 正整数 n 的代数式表示)． 【答案】 32n－2 4n 3　 【解析】∵∠AOB＝60°，OOn 平分∠AOB，∴∠AOOn＝30°，∵A1O1⊥AO，OO1＝2，∴A1O1＝ 1 ， OA1 ＝ 3.∵O1A1⊥OA ， O1B1⊥OB ， ∴O1A1 ＝ O1B1 ， ∵O1O ＝ O1O ， ∴Rt△O1A1O≌Rt△O1B1O(HL)，∴OA1＝OB1，∵∠A1OB1＝60°，∴△A1OB1 是等边三角形，∴A1B1 ＝OA1＝ 3，∵△A1O2B1 是等边三角形，∴A1O2＝A1B1＝ 3，在 Rt△A1O2A2 中，∠O2A1A2＝9 60°，A1O2＝ 3，∴A2O2＝ 3 2 A1O2＝ 3 2O1A1，同理 A3O3＝ 3 2 A2O3＝( 3 2)2A1O1，∴AnOn＝( 3 2)n－1A1O1. 又 S△O1A1B1 ＝2S△O1A1O －S△A1B1O ＝2× 1 2×1× 3－ 3 4 ·( 3)2 ＝ 3 4 . 易得∠AnOnBn＝ ∠A1O1B1＝120°，AnOn＝BnOn，∴ AnOn A1O1＝ BnOn B1O1，∴△A1O1B1∽△AnOnBn，∴ S △ AnBnOn S △ A1B1O1＝( AnOn A1O1)2＝ ( 3 2)2n－2.∴S△AnBnOn＝ 32n－2 4n 3.