2020年中考数学二轮复习重难题型突破类型一圆的基本性质证明与计算.doc

1 类型一 圆的基本性质证明与计算 命题点 1　垂径定理 例 1、如图，CD 是⊙O 的直径，AB 是弦(不是直径)，AB⊥CD 于点 E，则下列结论正确的是( ) A．AE>BE B.AD︵ ＝BC︵ C．∠D＝ 1 2∠AEC D．△ADE∽△CBE 【答案】：D 命题点 2　圆周角定理 例 2、如图，点 O 为优弧AB︵ 所在圆的圆心，∠AOC＝108°，点 D 在 AB 的延长线上，BD＝BC，则∠D______． 【答案】：27° 重难点 1　垂径定理及其应用 例 3、已知 AB 是半径为 5 的⊙O 的直径，E 是 AB 上一点，且 BE＝2. (1)如图 1，过点 E 作直线 CD⊥AB，交⊙O 于 C，D 两点，则 CD＝_______； 图 1 　　 图 2 　　 图 3 　　图 4 探究：如图 2，连接 AD，过点 O 作 OF⊥AD 于点 F，则 OF＝_____； (2)过点 E 作直线 CD 交⊙O 于 C，D 两点． ①若∠AED＝30°，如图 3，则 CD＝__________； ②若∠AED＝45°，如图 4，则 CD＝___________． 【答案】：（1）8 , （2） 【思路点拨】　由于 CD 是⊙O 的弦，因此利用圆心到弦的距离(有时需先作弦心距)，再利用垂径定理，结合勾 5 91 822 股定理，求出弦的一半，再求弦． 【变式训练 1】如图，点 A，B，C，D 都在半径为 2 的⊙O 上．若 OA⊥BC，∠CDA＝30°，则弦 BC 的长为( ) A．4 B．2 2 C. 3 D．2 3 【答案】：D 【变式训练 2】　【分类讨论思想】已知⊙O 的半径为 10 cm，AB，CD 是⊙O 的两条弦，AB∥CD，AB＝16 cm，CD＝12 cm，则弦 AB 和 CD 之间的距离是__________________ 【答案】：2cm 或 14cm 方法指导 1．垂径定理两个条件是过圆心、垂直于弦的直线，三个结论是平分弦，平分弦所对的优弧与劣弧． 2．圆中有关弦的证明与计算，通过作弦心距，利用垂径定理，可把与圆相关的三个量，即圆的半径，圆中一 条弦的一半，弦心距构成一个直角三角形，从而利用勾股定理，实现求解． 3．事实上，过点 E 任作一条弦，只要确定弦与 AB 的交角，就可以利用垂径定理和解直角三角形求得这条弦 长． 重难点 2　圆周角定理及其推论 例 3、已知⊙O 是△ABC 的外接圆，且半径为 4. (1)如图 1，若∠A＝30°，求 BC 的长； (2)如图 2，若∠A＝45°： ①求 BC 的长； ②若点 C 是AB︵ 的中点，求 AB 的长； (3)如图 3，若∠A＝135°，求 BC 的长． 图 1 图 2 　　图 3 【答案】（1）4（2）4 2.,8（3）4 2. 【点拨】　连接 OB，OC，利用同弧所对的圆心角等于圆周角的 2 倍，构建可解的等腰三角形求解．3 【解析】　解：(1)连接 OB，OC. ∵∠BOC＝2∠A＝60°，OB＝OC，∴△OBC 是等边三角形． ∴BC＝OB＝4. (2)①连接 OB，OC. ∵∠BOC＝2∠A＝90°，OB＝OC，∴△OBC 是等腰直角三角形． ∵OB＝OC＝4，∴BC＝4 2. ②∵点 C 是AB︵ 的中点，∴∠ABC＝∠A＝45°. ∴∠ACB＝90°.∴AB 是⊙O 的直径．∴AB＝8. (3)在优弧BC︵ 上任取一点 D，连接 BD，CD，连接 BO，CO. ∵∠A＝135°，∴∠D＝45°.∴∠BOC＝2∠D＝90°. ∵OB＝OC＝4，∴BC＝4 2. 【变式训练 3】　如图，BC 是⊙O 的直径，A 是⊙O 上的一点，∠OAC＝32°，则∠B 的度数是( ) A．58° B．60° C．64° D．68° 【答案】：A 【变式训练 4】　将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使点 C 在半圆上．点 A，B 的读数分别为 88°， 30°，则∠ACB 的大小为( ) A．15° B．28° C．29° D．34° 　　　　　 【答案】C 方法指导 1．在圆中由已知角求未知角，同(等)弧所对的圆心角和圆周角的关系是一个重要途径，其关键是找到同一条 弧． 2．弦的求解可以通过连接圆心与弦的两个端点，构建等腰三角形来解决． 3．一条弦所对的两种圆周角互补，即圆内接四边形的对角互补． 模型建立在半径已知的圆内接三角形中，若已知三角形一内角，可以求得此角所对的边． 易错提示注意同弧所对的圆心角是圆周角的 2 倍，避免把数量关系弄颠倒．4 重难点 3　圆内接四边形 例 4、如图，四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形．延长 AB 与 DC 相交于点 G，AO⊥CD，垂足为 E，连接 BD，∠GBC＝ 50°，则∠DBC 的度数为( ) A．50° B．60° C．80° D．90° 【答案】C 【思路点拨】　延长 AE 交⊙O 于点 M，由垂径定理可得CD︵ ＝2DM︵ ，所以∠CBD＝2∠EAD.由圆内接四边形的对角互补， 可推得∠ADE＝∠GBC，而∠ADE 与∠EAD 互余，由此得解． 【变式训练 5】如图所示，四边形 ABCD 为⊙O 的内接四边形，∠BCD＝120°，则∠BOD 的大小是( ) A．80° B．120° C．100° D．90° 【答案】B 【变式训练 6】　如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，E 为 BC 延长线上一点．若∠A＝n°，则∠DCE＝____________ 【答案】n° 方法指导 1．找圆内角(圆周角，圆心角)和圆外角(顶角在圆外，两边也在圆外或顶点在圆上，一边在圆内，另一边在圆 外)的数量关系时，常常会用到圆内接四边形的对角互补和三角形外角的性质． 2．在同圆或等圆中，如果一条弧等于另一条弧的两倍，则较大弧所对的圆周角是较小弧所对圆周角的两倍．Ｋ 能力提升5 1．如图，在⊙O 中，如果AB︵ ＝2AC︵ ，那么( ) A．AB＝AC B．AB＝2AC C．AB＜2AC D．AB＞2AC 【答案】C 2．如图，在半径为 4 的⊙O 中，弦 AB∥OC，∠BOC＝30°，则 AB 的长为( ) A．2 B．2 3 C．4 D．4 3 【答案】D 　　 3．如图，在平面直角坐标系中，⊙O′经过原点 O，并且分别与 x 轴、y 轴交于点 B，C，分别作 O′E⊥OC 于点 E， O′D⊥OB 于点 D.若 OB＝8，OC＝6，则⊙O′的半径为( ) A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 4．如图，在⊙O 中，弦 BC 与半径 OA 相交于点 D，连接 AB，OC.若∠A＝60°，∠ADC＝85°，则∠C 的度数是( ) A．25° B．27.5° C．30° D．35° 【答案】D 5．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB＝AC，∠BCA＝65°，作 CD∥AB，并与⊙O 相交于点 D，连接 BD，则∠DBC 的大小为( )6 A．15° B．35° C．25° D．45° 【答案】A 6．如图，分别延长圆内接四边形 ABDE 的两组对边，延长线相交于点 F，C.若∠F＝27°，∠A＝53°，则∠C 的度 数为( ) A．30° B．43° C．47° D．53° 【答案】C 7．如图，小华为了求出一个圆盘的半径，他用所学的知识，将一宽度为 2 cm 的刻度尺的一边与圆盘相切，另一边 与圆盘边缘两个交点处的读数分别是“4”和“16”(单位：cm)，请你帮小华算出圆盘的半径是________cm. 【答案】10cm 8．如图，∠BAC 的平分线交△ABC 的外接圆于点 D，∠ABC 的平分线交 AD 于点 E. (1)求证：DE＝DB； (2)若∠BAC＝90°，BD＝4，求△ABC 外接圆的半径． 【答案】：(1)证明：∵AD 平分∠BAC，BE 平分∠ABC， ∴∠BAE＝∠CAD，∠ABE＝∠CBE. ∴BD︵ ＝CD︵ . ∴∠DBC＝∠BAE. ∵∠DBE＝∠CBE＋∠DBC，∠DEB＝∠ABE＋∠BAE, 7 ∴∠DBE＝∠DEB. ∴DE＝DB. (2)连接 CD. ∵BD︵ ＝CD︵ ，∴CD＝BD＝4. ∵∠BAC＝90°，∴BC 是直径． ∴∠BDC＝90°. ∴BC＝ BD2＋CD2＝4 2. ∴△ABC 外接圆的半径为 2 2. 9．如图，四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AB＝5，BC＝10，连接 AC，BD，以 BD 为直径的圆交 AC 于点 E. 若 DE＝3，则 AD 的长为( ) A．5 B．4 C．3 5 D．2 5 提示：过点 D 作 DF⊥AC 于点 F，利用△ADF∽△CAB，△DEF∽△DBA 可求解． 【答案】D 10．如图，AB 是半圆的直径，AC 是一条弦，D 是AC︵ 的中点，DE⊥AB 于点 E，且 DE 交 AC 于点 F，DB 交 AC 于点 G.若 EF AE＝ 3 4，则 CG GB＝_____________． 【答案】 5 5 11．如图 1 是小明制作的一副弓箭，点 A，D 分别是弓臂 BAC 与弓弦 BC 的中点，弓弦 BC＝60 cm.沿 AD 方向拉动弓 弦的过程中，假设弓臂 BAC 始终保持圆弧形，弓弦不伸长．如图 2，当弓箭从自然状态的点 D 拉到点 D1 时，有 AD1＝30 cm，∠B1D1C1＝120°. (1)图 2 中，弓臂两端 B1，C1 的距离为 30 3cm； (2)如图 3，将弓箭继续拉到点 D2，使弓臂 B2AC2 为半圆，则 D1D2 的长为(10 5－10)cm.8 【答案】 , 12．如图所示，AB 为⊙O 的直径，CD 为弦，且 CD⊥AB，垂足为 H. (1)如果⊙O 的半径为 4，CD＝4 3，求∠BAC 的度数； (2)若点 E 为ADB︵ 的中点，连接 OE，CE.求证：CE 平分∠OCD； (3)在(1)的条件下，圆周上到直线 AC 的距离为 3 的点有多少个？并说明理由． 【答案】：(1)∵AB 为⊙O 的直径，CD⊥AB，∴CH＝ 1 2CD＝2 3. 在 Rt△COH 中，sin∠COH＝ CH OC＝ 3 2 ，∴∠COH＝60°. ∴∠BAC＝ 1 2∠COH＝30°. (2)证明：∵点 E 是ADB︵ 的中点，∴OE⊥AB. 又∵CD⊥AB，∴OE∥CD.∴∠ECD＝∠OEC. 又∵OE＝OC，∴∠OEC＝∠OCE. ∴∠OCE＝∠DCE，即 CE 平分∠OCD. (3)圆周上到直线 AC 的距离为 3 的点有 2 个． 因为AC︵ 上的点到直线 AC 的最大距离为 2，ADC︵ 上的点到直线 AC 的最大距离为 6，2＜3＜6，根据圆的轴对称性， ADC︵ 到直线 AC 的距离为 3 的点有 2 个． 330 10510 −