第二节 矩形、菱形、正方形
姓名：________ 班级：________ 限时：______分钟
1．(2018·天水)如图所示，点O是矩形ABCD对角线AC的中点，OE∥AB交AD于点E.若OE＝3，BC＝8，则OB的长为( )
A．4 B．5
C. D.
2．(2018·滨州)下列命题，其中是真命题的为( )
A．一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形
B．对角线互相垂直的四边形是菱形
C．对角线相等的四边形是矩形
D．一组邻边相等的矩形是正方形
3．(2018·孝感)如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC＝10，BD＝24，则菱形ABCD的周长为( )
A．52 B．48 C．40 D．20
4．(2018·仙桃)如图，正方形ABCD中，AB＝6，G是BC的中点．将△ABG沿AG对折至△AFG，延长GF交DC于点E，则DE的长是( )
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
5．(2018·湘潭)如图，已知点E、F、G、H分别是菱形ABCD各边的中点，则四边形EFGH是( )
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A．正方形 B．矩形
C．菱形 D．平行四边形
6．(2018·衢州)如图，将矩形ABCD沿GH折叠，点C落在点Q处，点D落在AB边上的点E处，若∠AGE＝32°，则∠GHC等于( )
A．112° B．110° C．108° D．106°
7．(2018·宁波)在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b(a>b)的正方形纸片按图①，图②两种方式放置(图①，图②中两张正方形纸片均有部分重叠)，矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．设图①中阴影部分的面积为S1，图②中阴影部分的面积为S2.当AD－AB＝2时，S2－S1的值为( )
A．2a B．2b C．2a－2b D．－2b
8．(2018·兰州)如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，BE∥DF且BE与DF之间的距离为3，则AE的长是( )
A. B. C. D.
9．(2018·河北二十一县二模)斜边为2的两个含30°的全等直角三角板，如图①所示拼成一个矩形，将一个三角板保持不动，另一个三角板沿斜边向右下方向滑动，当四边形ABCD是菱形时，如图②，则平移距离AE的长为( )
A．1 B. C. D．2
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10．(2018·武汉)以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是________．
11．(2018·北京)如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB＝4，AD＝3，则CF的长为________．
12．(2018·天水)如图所示，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O.若AC＝6，BD＝8，AE⊥BC，垂足为E，则AE的长为________．
13．(2018·青岛)已知正方形ABCD的边长为5，点E，F分别在AD，DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为________．
14．(2018·舟山) 如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°.
求证：矩形ABCD是正方形．
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15．(2018·青岛改编)已知：如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点E，点G为AD的中点，连接CG，并延长交BA的延长线于点F，连接FD.
(1)求证：AB＝AF；
(2)若AG＝AB，∠BCD＝120°，判断四边形ACDF的形状，并证明你的结论．
1．(2018·自贡)如图，在边长为a的正方形ABCD中，把边BC绕点B逆时针旋转60°，得到线段BM，连接AM并延长交CD于点N，连接MC，则△MNC的面积为( )
A.a2 B.a2
C.a2 D.a2
2．(2018·宁波)如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点，连接MD，ME.若∠EMD＝90°，则cos B的值为________．
3．(2018·滨州)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，点E，F分别在BC，CD上，若AE＝
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，∠EAF＝45°，则AF的长为________．
4．(2018·唐山路北区二模)四边形ABCD是边长为4的正方形，点E在边AD所在直线上，连接CE，以CE为边，作正方形CEFG(点D、点F在直线CE的同侧)，连接BF.
(1)如图①，当点E与点A重合时，BF＝________；
(2)如图②，当点E在线段AD上时，AE＝1，则BF＝________．
5．(2018·北京)如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AB＝AD，对角线AC，BD交于点O，AC平分∠BAD，过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E，连接OE.
(1)求证：四边形ABCD是菱形；
(2)若AB＝，BD＝2，求OE的长．
参考答案
【基础训练】
1．B 2.D 3.A 4.C 5.B 6.D 7.B 8.C 9.A
10．30°或150° 11. 12. 13.
14．证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠D＝∠C＝90°.
∵△AEF是等边三角形，
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∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°.
又∠CEF＝45°，
∴∠CFE＝∠CEF＝45°，
∴∠AFD＝∠AEB＝180°－45°－60°＝75°，
∴△ABE≌△ADF(AAS)，
∴AB＝AD，
∴矩形ABCD是正方形．
15．(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD，∴∠AFC＝∠DCG，
∵GA＝GD，∠AGF＝∠CGD，
∴△AGF≌△DGC(AAS)，
∴AF＝CD，∴AB＝AF.
(2)解：结论：四边形ACDF是矩形．
理由：∵AF＝CD，AF∥CD，
∴四边形ACDF是平行四边形．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAD＝∠BCD＝120°，
∴∠FAG＝180°－∠BAD＝60°，
∵AB＝AG＝AF，∴△AGF是等边三角形，∴AG＝GF.
∵△AGF≌△DGC，∴FG＝CG，
∵AG＝GD，∴AD＝CF，
∴四边形ACDF是矩形．
【拔高训练】
1．C 2. 3. 4.4；
5．(1)证明： ∵AB∥CD，∴∠ACD＝∠CAB.
∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠BAC，
∴∠DAC＝∠DCA，∴AD＝CD，
∵AB＝AD，∴AB＝CD，
∵AB∥CD，∴四边形ABCD是平行四边形．
∵AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形．
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(2)解： ∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO＝CO，BO＝DO＝1，
∴在Rt△AOB中，由勾股定理得AO＝＝＝2.
∵CE⊥AB，点O是AC的中点，
∴OE＝OA＝2.
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