第三节 与切线有关的证明与计算
姓名：________ 班级：________ 限时：______分钟
1．(2018·眉山)如图所示，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，线段PO交⊙O于点C，连接BC，若∠P＝36°，则∠B等于( )
A．27° B．32° C．36° D．54°
2．(2018·宜昌)如图，直线AB是⊙O的切线，C为切点，OD∥AB交⊙O于点D，点E在⊙O上，连接OC、EC、ED，则∠CED的度数为( )
A．30° B．35° C．40° D．45°
3．(2019·原创) 如图，AB是⊙O的直径，PA切⊙O于点A，连接PO并延长交⊙O于点C，连接AC，AB＝6，∠P＝30°，则AC的长度是( )
A．3 B．3 C．3 D.
4．(2018·连云港)如图，AB是⊙O的弦，点C在过点B的切线上，且OC⊥OA，OC交AB于点P，已知∠OAB＝22°，则∠OCB＝________．
5．(2019·原创) 如图，已知AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于C，BE∥CO.
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(1)求证：BC是∠ABE的平分线；
(2)若DC＝8，⊙O的半径OA＝6，求BE的长．
6．(2018·郴州)已知BC是⊙O的直径，点D是BC延长线上一点，AB＝AD，AE是⊙O的弦，∠AEC＝30°.
(1)求证：直线AD是⊙O的切线；
(2)若AE⊥BC，垂足为M，⊙O的半径为4，求AE的长．
7．(2018·保定一模)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，P为边BC上一个动点(可以包括点C但不包括点B)，以P为圆心，PB为半径作⊙P交AB于点D，过点D作⊙P的切线交边AC于点E.
(1)求证：AE＝DE；
(2)若PB＝2，求AE的长；
(3)在P点的运动过程中，请直接写出线段AE长度的取值范围．
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8．(2018·北京)如图，AB是⊙O的直径，过⊙O外一点P作⊙O 的两条切线PC，PD，切点分别为C，D，连接OP，CD.
(1)求证：OP⊥CD；
(2) 连接AD，BC，若∠DAB＝50°， ∠CBA＝70°，OA＝2，求OP 的长．
1．(2018·黔南州)如图，CE是⊙O的直径，BC切⊙O于点C，连接OB，作ED∥OB，交⊙O于点D，BD的延长线与CE的延长线交于点A.
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)若⊙O的半径为1，tan∠DEO＝，tanA＝，求AE的长．
2．(2018·兰州)如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上的一点，D为BA延长线上的一点，∠ACD＝∠B.
(1)求证：DC为⊙O的切线；
(2)线段DF分别交AC，BC于点E，F，且∠CEF＝45°，⊙O的半径为5，sin B＝，求CF的长．
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参考答案
【基础训练】
1．A 2.D 3.A 4.44°
5．(1)证明：∵OC∥BE，∴∠OCB＝∠EBC，
∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠OBC＝∠EBC，
∴BC平分∠ABE.
(2)解：∵DE是⊙O的切线，∴OC⊥DE，
∵DC＝8，OC＝OA＝6，
∴DO＝＝＝10，
∵BE∥OC，
∴△DOC∽△DBE，
∴＝，即＝，解得BE＝.
6．(1)证明：∵∠AEC＝30°，
∴∠ABC＝30°，
∵AB＝AD，
∴∠D＝∠B＝30°，
∴∠BAD＝120°.
如解图，连接AO，∵OA＝OB，
∴∠OAB＝∠OBA＝30°，
∴∠OAD＝∠BAD－∠BAO＝120°－30°＝90°，
∵OA是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线．
(2)解：∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，
∵∠ABC＝30°，∴∠ACM＝60°，
∵BC＝2CO＝8，∴AC＝4，
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∵AE⊥BC，∴AM＝AC＝2，
∴AE＝2AM＝4.
7．(1)证明： 如解图，连接PD.
∵DE切⊙P于点D，∴PD⊥DE，
∴∠ADE＋∠PDB＝90°.
∵∠C＝90°，∴∠B＋∠A＝90°，
∵PB＝PD，∴∠PDB＝∠B，
∴∠A＝∠ADE，
∴AE＝DE；
(2)解： 连接PE，设DE＝AE＝x，则EC＝8－x，
∵PB＝PD＝2，∴PC＝4，
∵∠PDE＝∠C＝90°，∴ED2＋PD2＝EC2＋CP2＝PE2，
∴x2＋22＝(8－x)2＋42，
解得x＝，∴AE＝.
(3)≤AE＜.
8．(1)证明：如解图，连接OD，OC，
∵PD，PC是⊙O的两条切线，
∴OD⊥PD，OC⊥PC，OD＝OC，
∵OP＝OP，
∴Rt△POD≌Rt△POC，
∴PD＝PC，
∴点P，O均在线段CD的垂直平分线上，
∴OP⊥CD.
(2)解：在△AOD中，OA＝OD，∠DAO＝50°，∴∠DOA＝80°，
同理在△BOC中，OB＝OC，∠OBC＝70°，
∴∠BOC＝40°，
∴∠DOC＝180°－∠DOA－∠BOC＝60°.
∵Rt△POD≌Rt△POC，
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∴∠DOP＝∠COP＝30°，
在Rt△ODP中，OD＝2，∠DOP＝30°，∠ODP＝90°，
∴OP＝＝＝.
【拔高训练】
1．(1)证明：如解图，连接OD，∵OB∥DE，
∴∠COB＝∠OED，∠BOD＝∠ODE，
∵OE＝OD，∴∠OED＝∠ODE，
∴∠COB＝∠DOB，
∵OD＝OC，OB＝OB，
∴△BOC≌△BOD，
∴∠BDO＝∠BCO.
∵BC是⊙O的切线，
∴∠OCB＝90°，∴∠ODB＝90°，
∵OD是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线．
(2)解：在Rt△BOC中，
∵OC＝1，tan∠COB＝tan∠CED＝，
∴BC＝.
∵在Rt△ACB中，tanA＝，BC＝，
∴AC＝4，
∴AE＝AC－EC＝4－2.
2．(1)证明：如解图，连接OC.
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCO＋∠ACO＝90°，
∵OC＝OB，∴∠BCO＝∠CBO.
∵∠CBO＝∠ACD，
∴∠ACD＋∠ACO＝90°，
∴OC⊥CD，
∵OC是⊙O的半径，
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∴CD是⊙O的切线．
(2)解：在Rt△ABC中，AB＝10，sinB＝，
则AC＝6，BC＝8.
∵∠CEF＝45°，∠ECF＝90°，
∴∠CFE＝45°，∴CF＝CE.
∵∠CFE＝∠B＋∠BDF，∠CEF＝∠ECD＋∠CDE，
∴∠CDF＝∠BDF.
设CF＝CE＝x，
∵在△CDE和△BDF中，∠CDE＝∠BDF，∠DCE＝∠CBF，
∴△CDE∽△BDF，∴＝，即＝.
又∵∠CDA＝∠BDC，∠ACD＝∠CBD，
∴△DAC∽△DCA，
∴＝＝，∴＝，解得x＝.
即CF的长为.
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