第五节 相似三角形
姓名：________ 班级：________ 限时：______分钟
1．(2018·石家庄裕华区一模)李老师在编写下面这个题目的答案时，不小心打乱了解答过程的顺序，你能帮他调整过来吗？证明步骤正确的顺序是( )
已知：如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边AB，AC，BC上，且DE∥BC，DF∥AC.
求证：△ADE∽△DBF.
证明：①又∵DF∥AC，
②∵DE∥BC，
③∴∠A＝∠BDF，
④∴∠ADE＝∠B，
∴△ADE∽△DBF.
A．③②④① B．②④①③
C．③①④② D．②③④①
2．(2018·邢台宁晋质检)如图，不能判定△AOB和△DOC相似的条件是( )
A.＝ B．AO·CO＝BO·DO
C．∠A＝∠D D．∠B＝∠C
3．(2018·保定一模)如图，△A′B′C′是△ABC在以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△ABC的面积与△A′B′C′的面积比是16∶9，则OA∶OA′为 ( )
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A．4∶3 B．3∶4 C．9∶16 D．16∶9
4．(2018·随州)如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为( )
A．1 B. C.－1 D.＋1
5．(2018·廊坊安次区二模)如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E.如果＝，那么等于( )
A. B. C. D.
6．(2018·保定三模)“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可由图中获得(单位：尺)，则井深为( )
A．1.25尺 B．57.5尺 C．6.25尺 D．56.5尺
7．(2018·临沂)如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2 m，测得AB＝1.6 m，BC＝12.4 m，则建筑物CD的高是( )
A．9.3 m B．10.5 m C．12.4 m D．14 m
8．(2019·原创) 将一副三角尺按如图所示的方式叠放在一起，则△AEB与△CED的面积比为________．
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9．(2019·易错)如图，已知E是矩形ABCD的CD边上一点，BF⊥AE于F，求证：△ABF∽△EAD.
10.(2019·原创) 如图，在△ABC中，AC＝4，D为BC边上的一点，CD＝2，且△ADC与△ABD的面积比为1∶3.
(1)求证：△ADC∽△BAC；
(2)当AB＝8时，求AD的长度．
11．(2018·杭州)如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E.
(1)求证：△BDE∽△CAD；
(2)若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．
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1．(2018·哈尔滨) 如图，△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD且交AB于点E，GF∥AC且交CD于点F，则下列结论一定正确的是( )
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
2．(2018·保定莲池区模拟)如图，等边△ABC中，AB＝2，AD⊥BC，以AD、CD为邻边作矩形ADCE，将△ADC绕点D顺时针旋转一定的角度得到△A′DC′，使点A′落在CE上，连接AA′，CC′.
(1)求AD的长；
(2)求证：△ADA′∽△CDC′；
(3)求CC′2的值．
3．(2018·宁波)若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．
(1)已知△ABC是比例三角形，AB＝2，BC＝3，请直接写出所有满足条件的AC的长；
(2)如图①，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC＝∠ADC.求证：△ABC是比例三角形；
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(3)如图②，在(2)的条件下，当∠ADC＝90°时，求的值．
参考答案
【基础训练】
1．B 2.A 3.A 4.C 5.B 6.B 7.B 8.1∶3
9．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠DAB＝∠D＝90°，
∴∠DAE＋∠BAF＝90°，
∵BF⊥AE，
∴∠BFA＝∠D＝90°，∠ABF＋∠BAF＝90°，
∴∠ABF＝∠DAE，
∴△ABF∽△EAD.
10．(1)证明：∵CD＝2，且△ADC与△ABD的面积比为1∶3.
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∴BD＝3DC＝6，
∴BC＝BD＋CD＝8，
∴在△ABC与△ACD中，BC∶AC＝AC∶CD＝2，∠BCA＝∠ACD.
∴△ADC∽△BAC.
(2)解：∵△ADC∽△BAC，
∴＝，
又∵AB＝8，AC＝4，CD＝2，
∴AD＝＝4.
11．(1)证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，
又∵AD为BC边上的中线，∴AD⊥BC.
∵DE⊥AB，∴∠BED＝∠ADC＝90°.
∴△BDE∽△CAD.
(2)解：∵BC＝10，AD为BC边上的中线，∴BD＝CD＝5，
∵AC＝AB＝13，∴由勾股定理可知AD＝＝12.
由(1)中△BDE∽△CAD可知：＝，得＝，
故DE＝.
【拔高训练】
1．D
2．解：(1)∵△ABC是等边三角形，AD⊥BC，
∴BD＝CD＝1，∠B＝60°，
∴AD＝BD＝.
(2)∵△A′DC′是由△ADC绕点D旋转得到的，
∴AD＝A′D，CD＝C′D，∠ADC＝∠A′DC′＝90°，
∴∠ADA′＝∠CDC′，＝，
∴△ADA′∽△CDC′.
(3)∵△ADA′∽△CDC′，
∴＝＝.
即CC′2＝AA′2.
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在Rt△A′DC中，A′D＝AD＝，CD＝1，
∴A′C＝.
∴A′E＝CE－A′C＝－，
在Rt△AEA′中，由勾股定理得AA′2＝AE2＋A′E2＝12＋(－)2＝6－2，
∴CC′2＝2－.
3．(1)解：或或.
(2)证明：∵AD∥BC，
∴∠ACB＝∠CAD.
又∵∠BAC＝∠ADC，
∴△ABC∽△DCA，
∴＝，即CA2＝BC·AD.
∵AD∥BC，
∴∠ADB＝∠CBD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ADB＝∠ABD，
∴AB＝AD，
∴CA2＝BC·AB，
∴△ABC是比例三角形．
(3)解：如解图，过点A作AH⊥BD于点H.
∵AB＝AD，
∴BH＝BD.
∵AD∥BC，∠ADC＝90°，
∴∠BCD＝90°.
∴∠BHA＝∠BCD＝90°.
又∵∠ABH＝∠DBC，
∴△ABH∽△DBC，
∴＝，
∴AB·BC＝DB·BH，
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∴AB·BC＝BD2.
又∵AB·BC＝AC2，
∴BD2＝AC2，
∴＝.
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