第四节 弧长、扇形面积的相关计算
姓名：________ 班级：________ 限时：______分钟
1．(2018·黄石)如图，AB是⊙O的直径，点D为⊙O上一点，且∠ABD＝30°，BO＝4，则的长为( )
A.π B.π C．2π D.π
2．(2018·宁波)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，则的长为( )
A.π B.π C.π D.π
3．(2017·咸宁)如图，⊙O的半径为3，四边形ABCD内接于⊙O，连接OB，OD，若∠BOD＝∠BCD，则的长为( )
A．π B.π C．2π D．3π
4．(2018·德州)如图，从一块直径为2 m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为( )
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A. m2 B.π m2 C．π m2 D．2π m2
5．(2019·原创) 如图，在半径为3，圆心角为90°的扇形ACB内，以BC为直径作半圆交AB于点D，连接CD，则阴影部分的面积是( )
A.－ B.－
C.＋ D.－
6．(2018·连云港)一个扇形的圆心角为120°，它的半径是3 cm，则扇形的弧长为________cm.
7．(2018·郴州)如图，圆锥的母线长为10 cm，高为8 cm，则该圆锥的侧面展开图(扇形)的弧长为________cm.(结果用π表示)
8．(2019·原创) 如图，已知等边△ABC的边长为6，以AB为直径的⊙O与边AC，BC分别交于D，E两点，则劣弧的长为________．
9．(2018·石家庄一模)如图，在边长为6的菱形ABCD中，分别以各顶点为圆心，以边长的一半为半径，在菱形内作四条圆弧，则图中阴影部分的周长是________．(结果保留π)
10．(2018·天水)如图，分别以等边三角形的每个顶点以圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形．若等边三角形的边长为a，则勒洛三角形的周长为________．
11．(2019·易错)如图，在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC＝4，以点A为圆心，底边的高
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AD长为半径作圆弧，交AB、AC于点E，F，则图中阴影部分的面积为________．
12．(2019·原创) 如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠D＝60°.
(1)求∠BAC的度数；
(2)当BC＝4时，求劣弧AC的长．
13．(2018·湖州)如图，已知AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，OC∥BD，交AD于点E，连接BC.
(1)求证：AE＝ED；
(2)若AB＝10，∠CBD＝36°，求的长．
1．(2017·潍坊)如图，AB为半圆O的直径，AC是⊙O的一条弦，D是的中点，作DE⊥AC交AB的延长线于点F，连接DA.
(1)求证：EF为半圆O的切线；
(2)若DA＝DF＝ 6，求阴影区域的面积．(结果保留根号和π)
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2．(2018·廊坊二模)如图①，将长为10的线段OA绕点O旋转90°得到OB，点A的运动轨迹为，P是半径OB上一动点，Q是上的一动点，连接PQ.
(1)当∠POQ＝________度时，PQ有最大值，最大值为________；
(2)如图②，若P是OB中点，且PQ⊥OB于点P，求的长；
(3)如图③，将扇形AOB沿折痕AP折叠，使点B的对应点B′恰好落在OA的延长线上，求阴影部分面积；
(4)如图④，将扇形OAB沿PQ折叠，使折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切，切点为C，若OP＝6，求点O到折痕PQ的距离．
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参考答案
【基础训练】
1．D 2.C 3.C 4.A 5.B 6.2π 7.12π 8.π
9．6π 10.πa 11.4－
12．解：(1)∵∠ABC与∠D都是弧AC所对的圆周角，
∴∠ABC＝∠D＝60°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BAC＝180°－90°－60°＝30°；
(2)如解图，连接OC，
∵OB＝OC，∠ABC＝60°，
∴△OBC是等边三角形，
∴OC＝BC＝4，∠BOC＝60°，
∴∠AOC＝120°，
∴劣弧AC的长为＝π.
13．(1)证明：∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°.
∵OC∥BD，
∴∠AEO＝∠ADB＝90°，即OC⊥AD.
∴AE＝ED；
(2)解：由(1)得，OC⊥AD，
∴＝，∴∠ABC＝∠CBD＝36°，
∴∠AOC＝2∠ABC＝2×36°＝72°，
∴的长为π×5＝2π.
【拔高训练】
1．(1)证明：如解图，连接OD，∵D是的中点，
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∴＝，∴∠CAD＝∠BAD，
∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，
∴∠EAD＝∠ODA，∴AE∥OD，
∵AE⊥EF，∴OD⊥EF，
∵OD是⊙O的半径，
∴EF是⊙O的切线．
(2)解：∵AD＝DF，∴∠DAF＝∠DFA，
∵∠DOF＝2∠DAF，∴∠DOF＝2∠F，
∵∠ODF＝90°，∴∠DOF＋∠F＝90°，
∴∠F＝30°，
∴∠DOF＝60°，
如解图，连接OC，CD，
∵∠DAF＝∠F＝30°，
∴∠CAO＝2∠DAF＝60°，
∴∠EAD＝30°.
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∴∠AOC＝60°，
∴∠COD＝60°，
∵OC＝OD，∴△COD是等边三角形，
∴∠DCO＝60°＝∠COA，
∴CD∥AB，∴S△COD＝S△CAD.
在Rt△AED中，∠EAD＝30°，AD＝DF＝6，
∴DE＝3，AE＝9，
在Rt△DOF中，∠ODF＝90°，DF＝6，∠F＝30°，
∴OD＝6.
∴S阴影＝S△ADE－S扇形COD＝AE·ED－＝×3×9－＝－6π.
2．解：(1)90；10；
(2)如解图①，连接OQ，BQ，
∵PQ⊥OB，OP＝BP，
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∴OQ＝BQ，∵OB＝OQ，
∴OB＝OQ＝BQ，
∴△OBQ是等边三角形， 图①
∴∠QOB＝60°，
∴的长为＝；
(3)如解图②，连接AB，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝OB，∴∠ABO＝∠BAO＝45°.
由折叠性质得AB′＝AB＝10，
则OB′＝AB′－AO＝10－10， 图②
∠OB′P＝∠OBA＝45°，∴∠OPB′＝∠OB′P＝45°，
∴OP＝OB′＝10－10，
S阴影＝S扇形AOB－2S△AOP＝π·102－2××10×(10－10)
＝25π＋100－100；
(4)如解图③，过点O作OE⊥PQ于E，延长OE到O′，使得
OE＝O′E，连接O′C交PQ于F，
∵弧B′Q与AO相切，∴O′C⊥AO，且O′C＝OA＝10， 图③
∵BO⊥AO，∴O′C∥BO，∴∠FO′E＝∠POE，
∵∠FEO′＝∠PEO，OE＝O′E，
∴△O′EF≌△OEP，∴O′F＝OP＝6，
∵∠O′EF＝∠O′CO＝90°，∠EO′F＝∠CO′O，
∴△O′EF∽△O′CO，
∴＝，即＝，解得O′E＝，
即点O到PQ的距离为.
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