第五节 二次函数的简单综合
姓名：________ 班级：________ 限时：______分钟
类型一 二次函数实际应用
1．(2018·连云港)已知学校航模组设计制作的火箭的升空高度h(m)与飞行时间t(s)满足函数表达式h＝－t2＋24t＋1.则下列说法中正确的是( )
A．点火后9 s和点火后13 s的升空高度相同
B．点火后24 s火箭落于地面
C．点火后10 s的升空高度为139 m
D．火箭升空的最大高度为145 m
2．(2019·原创)为了美观，在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成抛物线的形状(如图①所示)，对应的两条抛物线(如图②)关于y轴对称，AE∥x轴，AB＝4 cm，最低点C在x轴上，高CH＝1 cm，BD＝2 cm，则右轮廓DFE所在抛物线的解析式为( )
A．y＝(x＋3)2 B．y＝(x－3)2
C．y＝4(x＋3)2 D．y＝4(x－3)2
3．(2018·沈阳)如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900 m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB＝________ m时，矩形土地ABCD的面积最大．
4．(2019·原创)传统节日“端午节”到来之际，某商店老板以每件60元的价格购进一批商品，若以单价80元销售，每月可售出300件，调查表明：每上涨1元，该商品每月销售量减少10件．
(1)写出每月销售该商品的利润y(元)与单价x(元)之间的函数关系式；
10
(2)单价定为多少时，每月销售利润最大？
5．(2018·唐山滦南县一模)我市“佳禾”农场的十余种有机蔬菜在北京市场上颇具竞争力．某种有机蔬菜上市后，一经销商在市场价格为10元/千克时，从“佳禾”农场收购了某种有机蔬菜2 000千克存放入冷库中，据预测，该种蔬菜的市场价格每天每千克将上涨0.2元，但冷库存放这批蔬菜时每天需要支出各种费用合计148元，已知这种蔬菜在冷库中最多保存90天，同时，平均每天将会有6千克的蔬菜损坏不能出售．
(1)若存放x天后，将这批蔬菜一次性出售，设这批蔬菜的销售总金额为y元，试写出y与x之间的函数关系式；
(2)经销商想获得利润7 200元，需将这批蔬菜存放多少天后出售？(利润＝销售总金额－收购成本－各种费用)；
(3)经销商将这批蔬菜存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？
6.(2018·唐山路南区二模)某新建小区要修一条1 050米长的路，甲、乙两个工程队想承建这项工程．经了解得到下表所示信息：
工程队
每天修路的长度(米)
单独完成所需天数(天)
每天所需费用(元)
甲队
30
n
600
乙队
m
n－14
1 160
(1)甲队单独完成这项工程所需天数n＝________天，乙队每天修路的长度m＝________米；
(2)甲队先修了x米之后，甲、乙两队一起修路，又用了y天完成这项工程(其中x，y为正整数)．
①当x＝90时，求出乙队修路的天数；
②求y与x之间的函数关系式(不用写出x的取值范围)；
10
③若总费用不超过22 800元，求甲队至少先修多少米？
7．(2018·江西)某乡镇实施产业扶贫，帮助贫困户承包了荒山种植某品种蜜柚．到了收获季节，已知该蜜柚的成本价为8元/千克，投入市场销售时，调查市场行情，发现该蜜柚销售不会亏本，且每天销量y(千克)与销售单价x(元/千克)之间的函数关系如图所示．
(1)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；
(2)当该品种蜜柚定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？
(3)某农户今年共采摘蜜柚4 800千克，该品种蜜柚的保质期为40天，根据(2)中获得最大利润的方式进行销售，能否销售完这批蜜柚？请说明理由．
类型二 二次函数与几何图形综合
1．(2018·泰安)如图，在△ABC中，AC＝6，BC＝10，tanC＝，点D是AC边上的动点(不与点C重合)，过D作DE⊥BC，垂足为E，点F是BD的中点，连接EF，设CD＝x，△DEF的面积为S，则S与x之间的函数关系式为____________．
10
2．(2018·湖州)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx(a＞0)的顶点为C，与x轴的正半轴交于点A，它的对称轴与抛物线y＝ax2 (a＞0)交于点B.若四边形ABOC是正方形，则b的值是________．
3．(2018·黄冈)已知直线l：y＝kx＋1与抛物线y＝x2－4x.
(1)求证：直线l与该抛物线总有两个交点；
(2)设直线l与该抛物线两交点为A，B，O为原点，当k＝－2时，求△OAB的面积．
4．(2018·广东省卷)如图，已知顶点为C(0，－3)的抛物线y＝ax2＋b(a≠0)与x轴交于A，B两点，直线y＝x＋m过顶点C和点B.
(1)求m的值；
(2)求函数y＝ax2＋b(a≠0)的解析式；
(3)抛物线上是否存在点M，使得∠MCB＝15°？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
10
5.(2018·沧州模拟)如图，二次函数y＝a(x－2)2＋k的图象经过点(0，1)，坐标平面内有矩形ABCD，A(1，4)，B(1，2)，C(4，2)，D(4，4)．
(1)用a表示k；
(2)试说明抛物线一定经过点(4，1)；
(3)求抛物线顶点在x轴上方时，a的取值范围；
(4)写出抛物线与矩形ABCD各边交点个数与a的对应取值范围．
6．(2019·原创)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝x2－2(k－1)x＋k2－k(k为常数)．
(1)若抛物线经过点(1，k2)，求k的值；
(2)若抛物线经过点(2k，y1)和点(2，y2)，且y1＞y2，求k的取值范围；
(3)若将抛物线向右平移1个单位长度得到新抛物线，当1≤x≤2时，新抛物线对应的函数有最小值－，求k的值．
10
参考答案
类型一 二次函数实际应用
1．D 2.B 3.150
4．解：(1)由题意得y＝(x－60)[300－10(x－80)]
＝(x－60)(1 100－10x)
＝－10x2＋1 700x－66 000.
(2)由配方法得y＝－10(x－85)2＋6 250，
∵－10＜0，
∴当x＝85时，y有最大值6 250，
即当单价定为85元时，每月销售利润最大，最大为6 250元．
5．解：(1)由题意得y与x之间的函数关系式为：
y＝(10＋0.2x)(2 000－6x)＝－1.2x2＋340x＋20 000(1≤x≤90)．
(2)由题意得：－1.2x2＋340x＋20 000－10×2 000－148x＝7 200，
解方程得：x1＝60；x2＝100(不合题意，舍去)．
∴经销商想获得利润7 200元需将这批蔬菜存放60天后出售．
(3)设利润为W元，
由题意得W＝－1.2x2＋340x＋20 000－10×2 000－148x，
即W＝－1.2(x－80)2＋7 680，
∴当x＝80时，W最大＝7 680，
由于80＜90，
∴存放80天后出售这批蔬菜可获得最大利润7 680元．
6．解：(1)35，50
(2)①乙队修路的天数为＝12(天)；
②由题意，得x＋(30＋50)y＝1050
∴y与x之间的函数关系式为：y＝－＋.
③由题意，得600×＋(600＋1 160)×y≤22 800，
10
即20x＋1 760×≤22 800，解得x≥150，
答：若总费用不超过22 800元，则甲队至少先修150米．
7．解：(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，
将(10，200)，(15，150)代入y＝kx＋b(k≠0)中，得
，解得，
∴y与x的函数关系式为y＝－10x＋300(8≤x≤30)．
(2)设每天销售获得的利润为w元，
根据题意得：w＝(x－8)y
＝(x－8)(－10x＋300)
＝－10(x－19)2＋1 210.
∵8≤x≤30，
∴当x＝19时，w取得最大值，即当该品种蜜柚定价为19元/千克时，每天销售获得的利润最大，最大利润是1 210元．
(3)由(2)可知，当获得最大利润时，定价为19元/千克，
则每天销售量为y＝－10×19＋300＝110(千克)．
∵保质期为40天，
∴销售总量为40×110＝4 400(千克)．
∵4 400＜4 800，
∴不能销售完这批蜜柚．
类型二 二次函数与几何图形综合
1．S＝－x2＋x 2.－2
3．(1)证明：联立，
整理可得：x2－(4＋k)x－1＝0，
∵Δ＝(4＋k)2＋4＞0，
∴直线l与该抛物线总有两个交点．
(2)解：当k＝－2时，y＝－2x＋1，
过点A作AF⊥x轴于F，过点B作BE⊥x轴于E，设直线l与x轴交点C，如解图．
联立，
10
解得：，或.
∴A(1－，2－1)，B(1＋，－1－2)，
∴AF＝2－1，BE＝1＋2.
易求得：直线y＝－2x＋1与x轴的交点C为(，0)．
∴OC＝.
∴S△AOB＝S△AOC＋S△BOC
＝OC·AF＋OC·BE
＝OC·(AF＋BE)
＝××(2－1＋1＋2)
＝.
4．解：(1)将(0，－3)代入y＝x＋m，得m＝－3.
(2)将y＝0代入y＝x－3，得x＝3.
∴B(3，0)．
将(0，－3)，(3，0)分别代入y＝ax2＋b，
得，解得.∴y＝x2－3.
(3)存在，分以下两种情况：
①若M在BC上方，设MC交x轴于点D，
则∠ODC＝45°＋15°＝60°.
∴OD＝OC·tan30°＝，∴点D的坐标为(，0)．
设直线DC为y＝kx－3，代入(，0)，得k＝.
∴y＝x－3.
联立得，解得，.
∴M1(3，6)．
②若M在BC下方，设MC交x轴于点E，
则∠OEC＝45°－15°＝30°，
∴OE＝OC·tan60°＝3.∴点E的坐标为(3，0)．
10
设直线EC为y＝kx－3，代入(3，0)，得k＝.
∴y＝x－3.
联立得，解得，，
∴M2(，－2)．
综上所述M的坐标为(3，6)或(，－2)．
5．解：(1)由已知把(0，1)代入y＝a(x－2)2＋k，得：
1＝a(0－2)2＋k，∴k＝1－4a.
(2)由(1)知二次函数解析式可化为：
y＝a(x－2)2＋(1－4a)，
当x＝4时，y＝a(4－2)2＋(1－4a)＝4a＋1－4a＝1，
∴抛物线一定经过点(4，1)．
(3)当抛物线顶点在x轴上方时，k＝1－4a＞0，
解得：a＜，
∴当a＜且a≠0时，抛物线顶点在x轴上方．
(4)①a＞－时，无交点；
②a＝－时，1个交点；
③－＜a＜－或a＜－1时，2个交点；
④a＝－时，3个交点；
⑤－1＜a＜－时，4个交点．
6．解：(1)∵抛物线y＝x2－2(k－1)x＋k2－k(k为常数)经过点(1，k2)，
∴1－2(k－1)＋k2－k＝k2，解得k＝.
(2)∵抛物线经过点(2k，y1)和点(2，y2)，
∴y1＝(2k)2－4k(k－1)＋k2－k＝k2＋k，
y2＝4－4(k－1)＋k2－k＝k2－k＋8；
10
又∵y1＞y2，∴k2＋k＞k2－k＋8，∴k＞1.
(3)∵抛物线y＝x2－2(k－1)x＋k2－k＝(x－k＋1)2－k－1，
∴新抛物线的解析式为y＝(x－k)2－k－1.∴该抛物线的对称轴为直线x＝k.
①若k＜1，则当x＝1时，y有最小值－.
∴(1－k)2－k－1＝－，解得k1＝1，k2＝.∵k＜1，∴k1＝1，k2＝都不符合题意，舍去．
②若1≤k≤2，则当x＝k时，y有最小值－.
∴－k－1＝－，解得k＝1.
③若k＞2，则当x＝2时，y有最小值－.
∴(2－k)2－k－1＝－，解得k1＝3，k2＝.
∵k＞2，∴k＝3.综上，k的值为1或3.
10
微信/支付宝扫码支付