第四节 等腰三角形与直角三角形
姓名：________ 班级：________ 限时：______分钟
1．(2018·滨州)在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为( )
A．5 B．6 C．7 D．8
2．(2018·石家庄二十一县模拟)如图，将直角三角形ABC折叠，使点A与点B重合，折痕为DE，若∠C＝90°，∠A＝35°，则∠DBC的度数是( )
A．40° B．30° C．20° D．10°
3．(2018·淄博)如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN∥BC交AC于点N，且MN平分∠AMC.若AN＝1，则BC的长为( )
A．4 B．6 C．4 D．8
4．(2018·黄冈)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝5，则CD＝( )
A．2 B．3 C．4 D．2
5．(2018·福建A卷)如图，等边三角形ABC中，AD⊥BC，垂足为D，点E在线段AD上，∠EBC＝45°，则∠ACE等于( )
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A．15° B．30° C．45° D．60°
6．(2019·易错)如图，△ABC是等边三角形，点P是三角形内的任意一点，PD∥AB，PE∥BC，PF∥AC，若△ABC的周长为12，则PD＋PE＋PF＝( )
A．12 B．8 C．4 D．3
7．(2018·遵义)如图，△ABC中，点D在BC边上，BD＝AD＝AC，E为CD的中点，若∠CAE＝16°，则∠B＝________度．
8．(2018·广西)如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD平分∠ABC，则图中等腰三角形的个数是________．
9．(2019·特色)如图，已知△ABC是等腰三角形，AB＝AC，△BCD是等边三角形，点D在AB的垂直平分线上，则∠A＝________．
10．(2018·秦皇岛海港区一模)如图，△ABC中，AB＝AC＝13，BC＝10，AD⊥BC，BE⊥AC，P为AD上一动点，则PE＋PC的最小值为________．
11．(2018·天津) 如图，在边长为4的等边△ABC中，D，E分别为AB，BC的中点，EF⊥AC于点F，G为EF的中点，连接DG，则DG的长为________．
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12．(2018·唐山丰南区二模)已知一个三角形的周长为38，第一条边长为a，第二条边比第一条边的2倍多3.
(1)用含a的代数式表示第三条边；
(2)若该三角形为等腰三角形，求a的值；
(3)若a为正整数，此三角形是否为直角三角形？说明理由．
13.(2018·嘉兴) 已知：在△ABC中，AB＝AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E、F，且DE＝DF.
求证：△ABC是等边三角形．
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1．(2018·枣庄)如图是由8个全等的小矩形组成的大正方形，线段AB的端点都在小矩形的顶点上，如果点P是某个小矩形的顶点，连接PA，PB，那么使△ABP为等腰直角三角形的点P的个数是( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．(2018·十堰)如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝6，点D，E分别是边BC，AC上的动点，则DA＋DE的最小值为________．
3．(2018·深圳)在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，BE平分∠ABC，AD、BE相交于点F，且AF＝4，EF＝，则AC＝________．
4．(2019·原创) 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点D以每秒1个单位长度的速度由点A向点B匀速运动，到达点B即停止运动，点M，N分别是AD，CD的中点，连接MN，设点D运动的时间为t s.
(1)MN与AC的数量关系是________；
(2)求点D由点A向点B匀速运动的过程中，线段MN所扫过区域的面积；
(3)若△DMN是等腰三角形，求t的值．
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参考答案
【基础训练】
1．A 2.C 3.B 4.C 5.A 6.C 7.37 8.3 9.30°
10. 11.
12．解：(1)第二条边：2a＋3；
第三条边：38－a－(2a＋3)＝35－3a.
(2)由三边关系可知，
解得：5＜a＜8.
∵a≠2a＋3，
∴分两种情况：①a＝35－3a，解得a＝8，不符合三边关系，舍去；
②2a＋3＝35－3a，解得a＝6，符合三边关系，
∴a＝6.
(3)不能为直角三角形，理由如下：
∵5＜a＜8且a为正整数，∴a＝6或7.
当a＝6时，三边为：6、15、17，62＋152≠172，不是直角三角形；
当a＝7时，三边为：7、17、14，72＋142≠172，不是直角三角形．
13．证明：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.
∵DE⊥AB，DF⊥BC，∴∠DEA＝∠DFC＝90°.
∵D为AC的中点，∴DA＝DC.
又∵DE＝DF，∴Rt△ADE≌Rt△CDF(HL)．
∴∠A＝∠C，∴∠A＝∠B＝∠C.
∴△ABC是等边三角形．
【拔高训练】
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1．B 2. 3.
4．解：(1)MN＝AC；
【解法提示】∵M，N分别是AD，CD的中点，
∴MN是△DAC的中位线，
∴MN∥AC，MN＝AC.
(2)点D从A向B运动的过程中，MN扫过的图形是平行四边形，其中底边长MN＝AC＝3，高为BC＝8，
则MN扫过的面积为3×8＝24.
(3)在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，∠ACB＝90°，由勾股定理得AB＝10.
要△DMN是等腰三角形，则需分三种情况讨论．
①DM＝DN，此时∠DMN＝∠DNM，
∵MN∥AC，∴∠DMN＝∠A，∠DNM＝∠DCA，
∴∠A＝∠DCA，∴DA＝DC.
∵∠B＝90°－∠A，∠DCB＝90°－∠DCA，
∴∠B＝∠DCB，∴DB＝DC，
∴点D是AB的中点，则t＝5.
②DM＝MN，则DM＝3＝AM，
∴AD＝6，则t＝6；
③DN＝MN，则DN＝NC＝MN＝3，
∴DC＝AC＝6，连接CM，如解图，∵M是AD的中点，
∴CM⊥AD.
∴AM＝AC×cosA＝6×＝，
则AD＝2AM＝，∴t＝.
综上：当△DMN是等腰三角形时，t的值为5，6或.
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