第六节 锐角三角函数的应用
姓名：________ 班级：________ 限时：______分钟
1．(2019·易错)已知sin α＝，且α是锐角，则α等于( )
A．75° B．60° C．45° D．30°
2．(2018·石家庄一模)如图，码头A在码头B的正西方向，甲，乙两船分别从A，B两个码头同时出发，且甲的速度是乙的速度的2倍，乙的航向是正北方向，为了使甲、乙两船能够相遇，则甲的航向应该是( )
A．北偏东30° B．北偏东60°
C．北偏东45° D．北偏西60°
3．(2018·长春)如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道(点A，B在同一水平面上)，为了测量A，B两地之间的距离，一架直升飞机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A，B两地之间的距离为( )
A．800sin α米 B．800tan α米
C.米 D.米
4．(2018·石家庄裕华区一模)如图，要修建一条公路，从A村沿北偏东75°方向到B村，从B村沿北偏西25°方向到C村．若要保持公路CE与AB的方向一致，则∠ECB的度数为( )
A．80° B．90° C．100° D．105°
5．(2018·贵阳)如图，A、B、C是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为1，则tan∠BAC的值为( )
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A. B．1 C. D.
6．(2018·唐山路南区二模)如图，一艘轮船位于灯塔P的北偏东60°方向与灯塔P的距离为30海里的A处，轮船沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东30°方向上的B处，则此时轮船所在位置B处与灯塔P之间的距离为( )
A．20 海里 B．30 海里 C．45海里 D．60海里
7．(2018·济宁)如图，在一笔直的海岸线l上有相距2 km的A，B两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东60°的方向上，从B站测得船C在北偏东30°的方向上，则船C到海岸线l的距离是________km.
8．(2018·潍坊)如图，一艘渔船正以60海里/小时的速度向正东方向航行，在A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/小时的速度继续航行________小时即可到达．(结果保留根号)
9．(2018·安徽)为了测量竖直旗杆AB的高度，某综合实践小组在地面D处竖直放置标杆CD，并在地面上水平放置一个平面镜E，使得B，E，D在同一水平线上，如图所示．该小组在标杆的F处通过平面镜E恰好观测到旗杆顶A(此时∠AEB＝∠FED)，在F处测得旗杆顶点A的仰角为39.3°，平面镜E的俯角为45°，FD＝1.8米，问旗杆AB的高度约有多少米？(结果保留整数)(参考数据：tan39.3°≈0.82，tan84.3°≈10.02)
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10．(2018·张家界)2017年9月8日－10日，第六届翼装飞行世界锦标赛在我市天门山风景区隆重举行，来自全球11个国家的16名选手参加了激烈的角逐．如图，某选手从离水平地面1 000米高的A点出发(AB＝1 000米)，沿俯角为30°的方向直线飞行1 400米到达D点，然后打开降落伞沿俯角为60°的方向降落到地面上的C点，求该选手飞行的水平距离BC.
11．(2018·石家庄二十八中质检)某海域有A、B两个港口，B港口在A港口的北偏西30°的方向上，距A港口60海里．有一艘船从A港口出发，沿东北方向行驶一段距离后，到达B港口南偏东75°方向的C处．求该船与B港口之间的距离即CB的长．(结果保留根号)
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1．(2018·秦皇岛一模)某段笔直的限速公路上，规定汽车的最高行驶速度不能超过60 km/h(即 m/s)，交通管理部门在离该公路100 m处设置了一速度检测点A，在如图所示的坐标系中，A位于y轴上，测速路段BC在x轴上，点B在A的北偏西60°方向上，点C在点A的北偏东45°方向上．
(1)在图中直接标出表示60°和45°的角；
(2)求点B、点C的坐标；
(3)一辆汽车从点B匀速行驶到点C所用时间为15 s．请你通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速？(本小问中取1.7)
2．(2019·原创) 如图所示是嘉淇洗漱时的侧面示意图，洗漱台(矩形ABCD)靠墙摆放，高AD＝80 cm，宽AB＝48 cm，嘉淇身高166 cm，下半身FG＝100 cm，洗漱时下半身与地面成80°(∠FGK＝80°)，身体前倾成125°(∠EFG＝125°)，脚与洗漱台距离GC＝15 cm(点D，C，G，K在同一直线上)．
(1)此时嘉淇头部E点与地面DK相距多少？
(2)嘉淇希望她的头部E恰好在洗漱盆AB的中点O的正上方，她应向前或后退多少？(参考数据：sin80°≈0.98，cos80°≈0.17，≈1.41，结果精确到0.1 cm)
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参考答案
【基础训练】
1．B 2.B 3.D 4.A 5.B 6.B 7. 8.
9．解：根据题意得∠DEF＝∠DFE＝45°，
∵∠AEB＝∠FED，
∴∠AEB＝∠EAB＝45°.
设AB＝x，∴AB＝BE＝x，
如解图，过点F作FG⊥AB于点G.
在Rt△AFG中，
AG＝x－1.8，FG＝x＋1.8，
∵tan 39.3°＝，
∴0.82＝，解得x≈18.
10．解：由题意知∠ADE＝30°，∠CDF＝30°.
在Rt△DAE中，
AE＝AD＝×1 400＝700米，
cos∠ADE＝，
∴DE＝1 400×＝700(米)，
∴EB＝AB－AE＝1 000－700＝300(米)，
DF＝BE＝300(米)，
∵tan∠CDF＝，
FC＝300×＝100(米)，
∴BC＝BF＋FC＝DE＋FC＝700＋100＝800(米)．
11．解：根据题意，B港口在A港口北偏西30°方向上，
∴∠BAD＝30°，∴∠ABE＝30°，
∵点C在点B南偏东75°方向，
∴∠EBC＝75°，∴∠ABC＝45°.
∵船从A开始沿东北方向航行，
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∴∠CAD＝45°，∴∠C＝180°－∠ABC－∠BAC＝60°.
如解图，过点A作AF⊥BC于F，
则在Rt△ABF中，AB＝60海里，∠ABF＝45°，
∴BF＝AF＝30 海里，
在Rt△ACF中，AF＝30 海里，∠C＝60°，
∴CF＝＝10 海里，
∴BC的长为BF＋CF＝(30＋10)海里．
【拔高训练】
1．解：(1)如解图所示，∠OAB＝60°，∠OAC＝45°.
(2)∵在Rt△ABO中，AO＝100米，∠BAO＝60°，
∴OB＝OA·tan60°＝100米，
∴点B的坐标是(－100，0)．
∵△AOC是等腰直角三角形，
∴OC＝OA＝100米，
∴点C的坐标是(100，0)．
(3)BC＝BO＋OC＝100＋100≈270(m)．
270÷15＝18(m/s)．
∵18＞，∴该汽车在这段限速路上超速了．
2．解：(1)如解图，过点F作FN⊥DK于N，过点E作EM⊥FN于M.
∵EF＋FG＝166 cm，FG＝100 cm，
∴EF＝66 cm.∵∠FGK＝80°，
∴∠GFN＝10°，
FN＝100·sin80°≈98(cm)．
∵∠EFG＝125°，
∴∠EFM＝180°－125°－10°＝45°，
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∴FM＝66·cos45°＝33≈46.53(cm)，
∴MN＝FN＋FM≈144.5 cm.
∴此时嘉淇头部E点与地面DK相距约为144.5 cm.
(2)过点E作EP⊥AB于点P，延长OB交MN于H.
∵AB＝48 cm，O为AB的中点，∴AO＝BO＝24 cm.
∵EM＝66·sin45°≈46.53(cm)，∴PH≈46.53 cm
.∵GN＝100·cos80°≈17(cm)，CG＝15 cm，
∴OH＝24＋15＋17＝56(cm)，
OP＝OH－PH＝56－46.53＝9.47≈9.5(cm)．
∴她应向前9.5 cm.
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