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4.4 解直角三角形的应用（2）
教学目标
1.巩固直角三角形中锐角的三角函数，学会解关于坡度和坡角有关的问题．
2.逐步培养学生分析问题解决问题的能力，进一步渗透数形结合的数学思想和方法．
3.培养学生用数学的意识.
重点难点
重点：理解坡角和坡度的内涵及表示方法.
难点：实际问题中，坡度与正切.正弦等的综合运用.
教学设计
一.预习导学
学生通过自主预习教材 P127-P128 完成下列知识点.
如图，从山坡脚下点 P 上坡走到点 N 时，升高的高度 h（即线段 MN 的长）与水平前进的距
离 l（即线段 PM 的长）的比叫做 ，用字母 i 表示，即 i= ，坡度通常写成 1：m
的形式.
图中的∠MPN 叫做 ，显然坡度等于坡角的 .
即 i= .坡度越大，山坡越陡.
设计意图：通过学生的独立学习，了解坡度的概念及它与坡角的关系。培养学生的自主
学习能力。
二.探究展示
(一)合作探究
一山坡的坡度为 i=1：2.小刚从山脚 A 出发，沿山坡向上走了 240m 到达点 C，这座山坡的坡
角是多少度？小刚上升了多少米？（角度精确到 0.010，长度精确到 0.1m）
分析：已知山坡的坡度为 1：2，其实就是告诉我们 =1；2，即 tanA=1：2.由此可得出∠
A 的度数；又知 AC 的长，要求 BC 的长，可以利用∠A 的正弦值求得.
AB
BC2
解：由题意可得 tanA=i= =0.5，因此∠A≈26.570
在 Rt∆ABC 中，∠B=900，∠A=26.570，AC=240m，
所以 sinA=
所以 BC=240×sin26.570≈107.3（m）
答：这座山坡的坡角约为 26.570，小刚上升了约 07.3m.
(二)展示提升
1.如图，某水库大坝横断面迎水坡 AB 的坡度是 ，堤坝高 BC=50m，求坡面 AB 的长.
设计意图：巩固坡度的概念，会用解直角三角形的知识解坡度的题型。
小组合作解决，提醒后进学生先利用坡度求出 AC 的长，然后再求 AB。
2.如图所示，某水库大坝横断面是梯形 ABCD，坝宽 CD=3m，斜坡 AD=16m，坝高 8m，斜坡 BC
的坡度 i=1：3.求斜坡 AD 的坡角和坝宽 AB（结果保留根号）.
设计意图：此题是坡度问题的综合运用，目的在于加深学生对“坡度即坡角的正切”的理解，
并能综合运用，以解决实际问题。
斜坡 AD 的坡角即求∠BAE 的大小，
由于 AD=16m，DE=8m，因此， ，
所以，
2
1
240
BC
AC
BC =
3:1
2
1
16
8sin ===∠
AD
DEDAE
030=∠DAE3
求坝宽 AB，因为 AB 不是某个直角三角形的边，所以不好直接求得，因此可以考虑分成三段
来求，即 AB=AE+EF+BF
在 Rt△ADE 中，可以利用锐角三角函数求得 AE 的长
在矩形 DEFC 中，EF=DC=3m
在 Rt△BCF 中，斜坡 BC 的坡度 i=1：3，即 ，
可以求得 BF=24m
这样，AB=AE+EF+BF，可以快速求得。
三.知识梳理
以”本节课我们学到了什么?”启发学生谈谈本节课的收获.
坡度其实就是坡角的正切，因此知道了坡度，就可以利用锐角三角函数，求出坡角的度数.
从而也能求得山坡的高度或水平长度.
四.当堂检测
如图所示，沿水库拦水坝（横断面为梯形 ABCD）的背水坡 AB 将坝顶 AD 加宽 2 米，背水坡
的坡度由原来的 1：2 改为 1：2.5.已知坝高 6m，求加宽部分横断面 AFEB 的面积.
五.教学反思
本堂课设置的题量不多，要达到教学目的，完成训练目标，要求学生在充分讨论的基础上，
充分展示、质疑。所以学生讨论的时间要保证 10 分钟以上，才能达到教学效果.
3
18tan ====
BFBF
CFBi
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