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4.4 解直角三角形的应用（3）
教学目标
1.巩固直角三角形中的锐角三角函数，学会解关于触礁的问题．会利用方程帮助解直角三角
形.
2.逐步培养学生分析问题解决问题的能力，进一步渗透数形结合的数学思想和方法．
3.培养学生用数学的意识.
重点难点
重点：理解触礁问题的实质.
难点：利用方程帮助解直角三角形..
教学设计
一.预习导学
学生通过自主预习教材 P128-P129 完成下列各题（培养学生自主学习的良好习惯和能力）.
1.直角三角形中，五个元素之间的关系是什么？
2.在实际问题中，怎样用解直角三角形的知识来解决问题？
用锐角三角函数解决实际问题要注意些什么？
3.方位角是看样表示的？
设计意图：既有前面知识的复习，巩固解直角三角形的知识，又有新知的提炼和指导，
启发学生提炼问题的本质。
二.探究展示
(一)合作探究
如图，一艘船以 40km/h 的速度向正东航行，在 A 处测得灯塔 C 在北偏东 600 方向上，继续
航行 1h 到达 B 处，这时测得灯塔 C 在北偏东 300 方向上.已知在灯塔 C 的四周 30km 内有暗
礁.问这艘船继续向东航行是否安全？
对于这类题型，学生会有比较浓厚的兴趣，但往往解题时不得要领.这时要引导学生分析：
要判断船有没有触礁的危险，就是看船距灯塔的最近的距离与 30km 相比较的结果.若最近的
距离超过 30km，则船是安全的，若最近的距离小于或等于 30km，则船有触礁的危险.船距灯
塔的最近的距离即过点 C 向航线 AB 作垂线 CD，所以先得求出 CD 的长.
但 CD 在 Rt∆ACD 中不能直接求出，而且在 Rt∆BCD 中也不能直接求出，怎么办？2
（学生充分讨论后，由学生上台阐述自己的想法）
解：作 CD⊥AB，交 AB 延长线于点 D，设 CD= .
在 Rt∆ACD 中，
同理，在 Rt∆BCD 中，
因为 >30.因此该船能继续安全地向东航行.
设计意图：学会方位角的表示方法，渗透方程思想。
解决这类问题的关键是建立实际问题的数学模型，即构造直角三角形，必要时要添加合
适的辅助线。
(二)展示提升
某次军事演习中，有三艘船在同一时刻向指挥所报告：A 船说
B 船在它的正东方向，C 船在它的北偏东 550 方向；B 船说 C 船在
它的北偏西 350 方向；C 船说它到 A 船的距离比它到 B 船的距离远
40km.求 A，B 两船的距离（结果精确到 0.1km）.
先讨论，再展示
第一步弄明白∠CAB.∠CBA 的度数和∆ABC 是什么三角形
所以 ，即∆ABC 是直角三角形。
第二步确定设哪条边为
根据“C 船说它到 A 船的距离比它到 B 船的距离远 40km”，得 CA-CB=40km，可以设 CB=
km，则 CA= km
然后利用锐角三角函数列出方程.
根据∠CAB 的正弦， ，得
根据∠CBA 的正弦， ，得
kmx
xx
CBD
CDBD 3
3
60tantan 0
==∠=
320
403
33
=
=−∴
−=
x
xx
BDADAB
解得
320
000 355590 =−=∠CAB
000 553590 =−=∠CBA
00 90180 =∠−∠−=∠ CBACABC
x
x
40+x
AB
x
AB
BC ==035sin 035sin
xAB =
AB
x
AB
AC 4055sin 0 +==
055sin
40+= xAB
xx
CAD
CDAD
AD
CDCAD
330tantan
,tan
0
==∠=∴
=∠3
所以有， ，可以求得 即 CB 的长度，进而求得 AB 的长。
设计意图：巩固学生对方位角的理解，同时提升问题的难度，从而使学生能更加灵活地
运用锐角三角函数来解决问题，并进一步巩固方程思想在生活和应用题中的运用。
三.知识梳理
以”本节课我们学到了什么?”启发学生谈谈本节课的收获.
在用解直角三角形的知识来解决实际问题时，首先要会构造合适的直角三角形.
但有时构造好三角形后，并不能直接求出我们需要的边，这时可以考虑能否借用方程和
锐角三角函数一起来求.
方程思想在数学中有着极为广泛的应用，同学要善于利用它。
四.当堂检测
如图，塔 AD 的高度为 30m，塔的底部 D 与桥 BC 位于同一
水平直线上，由塔顶 A 测得 B 和 C 的俯角∠EAB，∠EAC
分别为 600 和 300.求 BD.BC 的长（结果精确到 0.01m）
五.教学反思
本堂课通过学生的充分讨论、交流，了解了触礁问题的实质，以及它与锐角三角函数的
联系。在学生增长知识的同时，发展了自身的能力。在调动学生积极性的同时，培养了学生
学数学、用数学的能力和兴趣。
035sin
x
055sin
40+= x x
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