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一元二次方程
教学目标
1、 在把实际问题转化为一元二次方程的模型的过程中，形成对一元二次方程的感性认识.
2、 了解一元二次方程的一般形式，会把一元二次方程化为一般形式，能写出一般形式的二
次项系数、一次项系数和常数项.
3、 经历由具体问题分析数量关系并建立一元二次方程模型的过程，体会数学建模思想.
重点难点
重点：一元二次方程的有关概念，一元二次方程的一般形式.
难点：把实际问题转化为一元二次方程的模型.
教学设计
一． 预习导学
学生通过自主预习教材 P26—27 完成下列问题：
1.已知方程 x（7-x）=8，它 一元一次方程.（填“是”或“不是”）
2.如果一个方程通过整理可以使右边为 ，而左边是只含有 个未知数的 次多
项式，这样的方程叫做一元二次方程.
3.一元二次方程的一般形式是 ，其中二次项为 ，一次项为 ，
常数项为 ，二次项系数为 ，一次项系数为 .
学生课前完成，教师检查，学生通过预习初步感知一元二次方程的相关概念和一般形式.
二．探究展示
（一） 合作探究
1. 如图，已知一矩形的长为 200cm，宽为 150cm，现在矩形中挖去一个圆，使剩余部分的面
积为原矩形面积的 .求挖去的圆的半径 xcm 应满足的方程（其中 π 取 3）
引导学生设挖去的圆的半径为 xm，
找等量关系：矩形的面积—圆的面积=矩形的面积× .
列出方程：200×150-3x2=200×150× . ①
2.据某市交通部门统计，前年该市汽车拥有量为 75 万辆，两年后增加到 108 万辆.求该市两
年来汽车拥有量的年平均增长率 x 应满足的方程.
引导学生思考：
4
3
4
3
4
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等量关系：两年后的汽车拥有量=前年的汽车拥有量×（1+年平均增长量）2
列出方程：75（1+X）2=108 ②
3.能把①，②化成右边为 0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式的形式吗？让学生展
开讨论，并引导学生把①，②化成下列形式：
①化简，整理得 x2-2500=0 ③
②化简，整理得 25x2+50x-11=0 ④
观察上述方程③和④，启发学生归纳得出：
如果一个方程通过移项可以使右边为 0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这
样的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是：
ax2+bx+c=0（a，b，c 是已知数，a≠0）
其中 a，b，c 分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项.
4.让学生指出方程③，④中的二次项系数、一次项系数和常数项.
设计意图：首先呈现两个实际问题，通过寻找等量，列出方程，然后再引导学生观察列出
的两个方程的特征，引出一元二次方程的形式，进而抽象出一元二次方程的概念.
（二）展示提升
1.下列方程是否为一元二次方程？若是，指出其中的二次项系数、一次项系数和常数项.
（1）0.01t2=2t （2）5x（x+1）+7=5x2-4
（3）3x（1-x）+10=2（x+2） （4）（9y-1）（2y+3）=18y2+1
注意：要确定一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须先将方程化为一
般形式.
2.某超市 1 月份的营业额是 36 万元，3 月份的营业额是 49 万元，设每月营业额的平均增长
率为 x，则平均增长率为 x 应满足的方程为 .
3.已知一个数 x 与比它大 2 的数的积等于 35，请根据题意，列出关于 x 的方程，这个方程
是一元二次方程吗？
设计意图：通过习题展示，让学生对本节知识进行及时巩固.
三．知识梳理
1.一元二次方程的显著特征是：只有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，整式方程.
2．一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0(a≠0)，一元二次方程的二次项系
数、一次项系数、常数项都是根据一般形式确定的.
3．在把实际问题转化为一元二次方程模型的过程中，体会学习一元二次方程的
必要性和重要性.
四．当堂检测
1.下列方程是一元二次方程的是 （只填序号）
（1）x2=-1 （2）x2+xy+1=0 (3)ax2+bx+c=0
(4)21x2+3x-1=0 (5)( )2+x-1=0 (6)(x+1)(x-1)x=x2+1
2.把一元二次方程（3x-2）(x+1)=8x-3 化为一般形式是 其中二次项系数是 ，
一次项系数是 ，常数项是 .
3.将一根长为 64cm 的铁丝剪成两段，每段均折成一个正方形，若两个正方形的面积和为
160cm2，，且其中一个正方形的边长为 xcm，请根据题意列出关于 x 的方程.
4．已知关于 x 的方程(k2-1)x2+(k+1)x-2=0 当 k 为何值时，此方程是一元二次方程，并写出
x
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这个方程的二次项系数、一次项系数和常数项.
五．教学反思
本节课从学生比较熟悉的实际问题入手，通过对所列方程的观察，并与一元一次方程类比，
自然的导出一元二次方程的意义及相关的一些概念，既渗透了类比的数学思想，有加强了新
旧知间的联系，有助于学生对新知识的理解与接受，降低了知识点的难度，减轻了学生的学
习负担.
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