1
*2.4 一元二次方程根与系数的关系
教学目标
1.了解一元二次方程根与系数的关系.
2.经历从特殊到一般的探究过程，培养学生的归纳探究能力和推理论证能力.
重点难点
重点：一元二次方程根与系数的关系及简单运用．
难点：一元二次方程根与系数的关系的推导.
教学设计
一.预习导学
学生自主预习教材 P41-P48，完成下列各题.
1.一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）,在 b2-4ac≥0 的条件下，它的根为 ，
这个式子叫作一元二次方程的求根公式.
2.对于一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）,当 时，方程有两个 的
实数根；当 时，方程有两个 的实数根；当 时，
方程 实数根.
设计意图：通过复习旧知，让学生再次体会一元二次方程根与系数的关系，为本节课学
习新知识打下基础.
二.探究展示
(一)合作探究
问题：我们已经知道，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的根的值由方程的系数 a、b、c
来决定，除此之外，根与系数之间还有什么关系呢？
做一做：
（1）先解方程，再填表：
方 程 X1 X2 X1+ X2 X1. X2
X2-2x=0 0 2 2 0
X2+3X-4=0 1 -4 -3 -4
X2-5X-6=0 -1 6 5 -6
由上表猜测：若方程 X2+bx+c=0 的两个根为 X1、X2，则 X1+ X2=-b, X1. X2=c.
（2）方程 X2-5X+6=0 的两个根为 X1=2, X2=3,则 X2-5X+6=（X-2）（X-3），当一元二次方
程二次项的系数为 1 时，两根之和等于一次项系数的相反数，两根之积等于常数项 c，那
么二次项的系数不为 1 时，两根之和，两根之积与系数的关系又是怎样的呢？
动脑筋：
对于方程 ax2+bx+c=0（a≠0），该方程的根与它的系数之间有什么关系呢？
当△≥0 时，设 ax2+bx+c=0（a≠0）的两个根为 X1、X2，则
ax2+bx+c=a（X-X1）（X-X2）
=a [ X2-（X1+ X2）X+ X1·X2]，
又 ax2+bx+c=a（X2+ ）+xa
b
a
c2
于是 X2+ =a [ X2-（X1+ X2）X+ X1·X2]，
因此 =-（X1+ X2）， = X1·X2，
即 X1+ X2=- ，X1· X2=
归纳：当△≥0 时，一元二次方程两根之和等于一次项系数与二次系数的比的相反数，
两根的积等于常数项与二次项系数的比，这个关系通常被称为韦达定理，是法国数学家韦
达最早发现的.
设计意图：经历从特殊到一般的探究过程，培养学生的归纳探究能力和推理论证能力.
（二）展示提升
1.根据一元二次方程根与系数的关系，求下列方程的两根 X1、X2 的和与积：
（1）2X2-3X+1=0； （2）X2-3X+2=10；
（3）7X2-5=X+8；
设计意图：让学生初步学会运用根与系数的关系来求两根之和与两根之积.
2.已知关于 X 的方程 X2+3X+q=0 的一个根为-3，求它的另一个根及 q 的值。
设计意图：通过此例，考查学生灵活运用知识解决问题的能力，让学生感受到根与系数
的关系在解题中的运用.
三.知识梳理
以“本节课我们学到了什么？”发启学生谈谈本节课的收获.
根与系数关系可以用来求两根之和、两根之积，还可以验算所求的根是否正确，更重要
的是可以简捷地解决一些有关一元二次方程的问题.
四.当堂检测
1.（1）设方程 X2-4X-1=0 的两个根为 X1 与 X2，则 X1· X2= ；
（2）设方程 X2+5X+6=0 的两个根为 X1 与 X2，则 X1+ X2= .
2. 设 X1· X2 是方程 3X2+2X-3=0 的两个根，求下列各式的值：
（1）X1+ X2； （2）X1·X2.
3.已知关于 X 的一元二次方程 X2+mX+3=0 的一个根为-1，它的另一个根及 m 的值.
五.教学反思：
在教学设计中，充分发挥学生的主观能动性，通过小组讨论，让每个学生都能从同伴的
交流中获益，同时也培养了学生的合作意识，提高了学生的动手、动口能力和归纳能力.
+xa
b
a
c
a
b
a
c
a
b
a
c
微信/支付宝扫码支付