3 线段的垂直平分线
1．如图，已知线段 a、h，作等腰三角形 ABC，使 AB＝AC，且 BC＝a，BC 边上的高 AD＝h.张
红的作法是：①作线段 BC＝a；②作线段 BC 的垂直平分线 MN，MN 与 BC 相交于点 D；③在直
线 MN 上截取线段 h；④连接 AB、AC，则△ABC 为所求的等腰三角形．上述作法的四个步骤
中，你认为有错误的一步是( )
A．① B．② C．③ D．④
2．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝120°，BC＝6cm，AB 的垂直平分线交 BC 于点 M，交 AB
于点 E，AC 的垂直平分线交 BC 于点 N，交 AC 于点 F，则 MN 的长为( )
A．4cm B．3cm C．2cm D．1cm
3．如图，有 A、B、C 三个居民小区的位置成三角形，现决定在三个小区之间修建一个购物
超市，使超市到三个小区的距离相等，则超市应建在( )
A．在 AC、BC 两边高线的交点处
B．在 AC、BC 两边中线的交点处
C．在∠A、∠B 两内角平分线的交点处
D． 在 AC、BC 两边垂直平分线的交点处
4．如图，在等腰三角形 ABC 中，AB＝AC，∠DBC＝15°，AB 的垂直平分线 MN 交 AC 于点 D，
则∠A 的度数是 .
5．如图，在锐角三角形 ABC 中，∠BAC＝60°，边 AC、AB 的垂直平分线交于点 O，交 AC、AB于点 D、E，则∠BOC 等于 .
6．在△ABC 中，AB＝AC，AB 的垂直平分线与 AC 所在的直线相交所得到的锐角为 50°，则∠
B 等于 .
7．线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 .
8．如图，点 D 在 BC 上，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为 E、F，DE＝DF.求证：AD 垂直平分
EF.
9．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，D 是 BC 延长线上一点，E 是 BD 垂直平分线与 AB 的交
点，DE 交 AC 于点 F.求证：点 E 在 AF 的垂直平分线上．10．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AB 的垂直平分线交 AB 于点 E，交 BC 于点
F.若 BF＝3cm.求 BC.
11. 如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°，AC 的垂直平分线交 AB 于 E，D 为垂足，连接
EC.求∠ECD 的度数.
12．如图，已知线段 AB.
(1)用尺规作图的方法作出线段 AB 的垂直平分线 l(保留作图痕迹，不要求写作法)；
(2)在(1)中所作的直线 l 上任意取的两点 M、N(在线段 AB 的上方)，连接 AM、AN、BM、BN.
求证：∠MAN＝∠MBN.参考答案
1. C 2. C 3. D 4. 50°
5. 120° 6. 70°或 20° 7. 相等
8.【证明】∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED＝∠AFD＝90°.
∵DE＝DF，AD＝AD，
∴Rt△AED≌Rt△AFD，
∴AE＝AF，∴AD 垂直平分 EF.
9.【证明】∵E 是 BD 垂直平分线上一点，
∴EB＝ED，∴∠B＝∠D.
∵∠ACB＝90°，∴∠A＝90°－∠B，∠CFD＝90°－∠D.
∵∠B＝∠D，∴∠CFD＝∠A.
∵∠AFE＝∠CFD，∴∠AFE＝∠A，
∴EF＝EA，
∴点 E 在 AF 的垂直平分线上．
10.【解】连接 AF.∵AB＝AC，∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝30°.
∵EF 垂直平分 AB，
∴BF＝AF，∴∠B＝∠BAF＝30°，
∴∠CAF＝∠BAC－∠BAF＝120°－30°＝90°.
在 Rt△ACF 中，∠C＝30°，∴AF＝
1
2CF，∴CF＝2AF.
∵AF＝BF，∴CF＝2BF.
∴BC＝3BF＝3×3＝9(cm)．
11.∠ECD＝36°
12.【解】(1)画图略.
(2)∵点 M、N 在线段 AB 的垂直平分线上，
∴MA＝MB，NA＝NB，
∴∠MAB＝∠MBA，∠NAB＝∠NBA，
∴∠MAB－∠NAB＝∠MBA－∠NBA，
∴∠MAN＝∠MBN.
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