1 等腰三角形
一、选择题
1．如图 1－22 所示，在△ABC 中，AB＝AC，点 D 在 AC 上，且 BD＝BC＝AD，则∠A 等于 ( )
A．30° B．40° C．45° D．36°
2．在等腰梯形 ABCD 中，∠ABC＝2∠ACB，BD 平分∠ABC，AD∥BC，如图 1－23 所示，则图
中的等腰三角形有 ( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
3．如图 1－24 所示，在 □ ABCD 中，已知 AD＝8cm，AB＝6cm，DE 平分∠
ADC 交 BC 边于点 E，则 BE 等于 ( )
A．2 cm B．4 cm C．6 cm D．8 cm
4．下面几种三角形：
①有两个角为 60°的三角形；
②三个外角都相等的三角形；
③一条边上的高也是这条边上的中线的三角形；
④有一个角为 60°的等腰三角形．
其中是等边三角形的有 ( )
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D． 1 个
二、填空题
5．用反证法证明命题“三角形中至少有一个角大于或等于 60°”时，第一步应假设 .
6．等腰三角形的顶角 α＞90°，如果过其顶角的顶点作一条直线将这个等腰三角形分 成
了两个等腰三角形，那么 α 的度数为 ．
三、解答题
7．如图 1－25 所示，四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于 O 点，∠1＝∠2，∠3＝
∠4．求证：
(1)△ABC≌△ADC；
(2)BO＝DO．8．文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时，画出图形，如
图 1－26 所示，写出已知、求证，她们对各自所作的辅助线描述如下：
文文：过点 A 作 BC 的中垂线 AD，垂足为 D．
彬彬：作△ABC 的角平分线 AD．
数学老师看了两位同学的辅助线作法后，说：“彬彬的作法是正确的，而文文的作法需要
改正．”
(1)请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里；
(2)根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程．
9．已知四边形 ABCD 是正方形．
(1)如图 1－27(1)所示，点 G 是 BC 边上任意一点(不与 B，C 两点重合)，连接 AG，作 BF⊥
AG 于点 F，DE⊥AG 于点 E．求证△ABF≌△DAE.
(2)在(1)中，线段 EF 与 AF，BF 的等量关系是 .(不需证明，直接写出结论即可)
(3)如图 1－27(2)所示，若点 G 是 CD 边上任意一点(不与 C，D 两点重合)，作 BF⊥AG 于点F，DE⊥AG 于点 E，那么图中的全等三角形是 ，线段 EF 与 AF，BF 的等量关系是 ．(不
需证明，直接写出结论即可)
10．如图 1－28 所示，D 为△ABC 的边 AB 的延长线上一点，过 D 作 DF⊥AC，垂足为 F，交 BC
于 E，且 BD＝BE，求证△ABC 是等腰三角形．
11．如图 1－29 所示，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB 于点 D，点 E 在 AC 上．CE ＝BC，
过点 E 作 AC 的垂线，交 CD 的延长线于点 F，求证 AB＝FC．参考答案
1．D[提示：本题综合考查三角形内角和定理、外角的性质及等腰三角形的性质．由 AD＝
BD，得∠A＝∠ABD，∠BDC＝2∠A，由 BD＝BC，得∠C＝∠BDC＝2∠A．由 AB＝AC，得
∠ABC＝∠C＝2∠A，由三角形内角和定理，得∠A+2∠A+2∠A＝180°，即∠A＝36°．]
2．D[提示：△ABD，△ACD，△AOD，△BOC 都是等腰三角形．]
3．A[提示：由 DE 平分∠ADC，得∠ADE＝∠CDE，由 AD∥BC，得∠ADE＝∠CED，
∴∠CED＝∠CDE，∴EC＝DC＝6 cm，∴BE＝BC－EC＝8－6＝2(cm)．]
4．B［提示：利用等边三角形的判定定理可知①②④为等边三角形，③为等腰三角形．]
5．三角形中没有大于或等于 60°的角(或三角形的所有内角都小于 60°)
6．108°[提示：画出图形，利用三角形内角和求解．]
7．证明：(1)在△ABC 和△ADC 中，∵∠1＝∠2，AC＝AC，∠3＝∠4，
∴△ABC≌△ADC．
(2)由(1)知 AB＝AD，又∵∠1＝∠2，AO＝AO，
∴△ABO≌△ADO，∴OB＝OD．
8．解：(1)过点A 作 BC 的垂线，不一定过 BC 的中点，如果连接点 A 和 BC 中点 D，则 AD 与
BC 不一定垂直．
(2)证明：作△ABC 的角平分线 AD，则∠BAD＝∠CAD，
又∵∠B＝∠C，AD＝AD，
∴△ABD≌△ACD，
∴AB＝AC．
9．(1)证明：在正方形 ABCD 中，AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠BAF+∠DAE＝90°．
在 Rt△ABF 中，∠BAF+∠ABF＝90°，
∴∠ABF＝∠DAE．
在△ABF 与△DAE 中，∠ABF＝∠DAE，∠AFB＝∠DEA＝90°，AB＝DA，
∴△ABF≌△DAE(AAS)．
(2)EF＝AF－BF.
(3)△ABF≌△DAE EF＝BF－AF.
10．证明：∵DF⊥AC，∴∠DFA＝∠EFC＝90°，
∴∠A+∠D＝90°，∠C+∠1＝90°，
∴∠A+∠D＝∠C+∠1．
又∵BD＝BE，∴∠2＝∠D(等边对等角)．
又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠D，∴∠A+∠D＝∠C+∠D，
∴∠A＝∠C，∴AB＝BC(等角对等边)，∴△ABC 是等腰三角形．
11．证明：∵FE⊥AC 于点 E，∠ACB＝90°，
∴∠FEC＝∠ACB＝90°，
∴∠F+∠ECF＝90°．
又∵CD⊥AB 于点 D，
∴∠A+∠ECF＝90°，
∴∠A＝∠F．
在△ABC 和△FCE 中，∠A＝∠F，∠ACB＝∠FEC，BC＝CE，
∴△ABC≌△FCE，
∴AB＝FC．
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