3 三角形的中位线
1．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，AC＝8，AB＝10，DE 垂直平分 AC 交 AB 于点 E，则 DE
的长为 ( )
A．6 B．5 C．4 D．3
2．如图，在△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，若 DE 是△ABC 的中位线，延长 DE 交△ABC
的外角∠ACM 的平分线于点 F，则线段 DF 的长为( )
A．7 B．8 C．9 D．10
3．如图，在△ABC 中，D、E 分别是边 AB、AC 的中点，BC＝8，则 DE＝ .
4．在△ABC 中，点 D、E 分别是边 AB、AC 的中点，那么△ADE 的面积与△ABC 的面积的比
是 .
5．如图，在四边形 ABCD 中，P 是对角线 BD 的中点，E、F 分别是 AB、CD 的中点，AD＝BC，
∠PEF＝18°，则∠PFE 的度数是 .
6．如图，D 是△ABC 内一点，BD⊥CD，AD＝6，BD＝4，CD＝3，E、F、G、H 分别是 AB、AC、
CD、BD 的中点，则四边形 EFGH 的周长是 .7．如图，▱ABCD 的周长为 36，对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E 是 CD 的中点，BD＝12，求△DOE
的周长．
8．如图，已知△ABC 中，D 为 AB 的中点．
(1)请用尺规作图法作边 AC 的中点 E，并连接 DE(保留作图痕迹，不要求写作法)；
(2)在(1)的条件下，若 DE＝4，求 BC 的长．9．如图，△ABC 的中线 BE，CF 相交于点 G，P、Q 分别是 BG、CG 的中点．
(1)求证：四边形 EFPQ 是平行四边形；
(2)请直接写出 BG 与 GE 的数量关系：BG＝2GE (不要求证明)．
10．如图，AC、BD 是四边形 ABCD 的对角线，E、F 分别是 AD、BC 的中点，M、N 分别是 BD、
AC 的中点．求证：EF 与 MN 互相平分．
11．如图，已知△ABC，AD 平分∠BAC 交 BC 于点 D，BC 的中点为 M，ME∥AD，交 BA 的延长
线于点 E，交 AC 于点 F.
求证：(1) AE＝AF；
(2) BE＝
1
2(AB＋AC)．12．如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC＝90°，AC＝AD，M、N 分别为 AC、CD 的中点，连接
BM、MN、BN.
(1)求证：BM＝MN；
(2)∠BAD＝60°，AC 平分∠BAD，AC＝2，求 BN 的长．参考答案
1. D 2. B
3. 4 4. 1∶4 5. 11
6.【解】(1)作线段 AC 的垂直平分线 MN 交 AC 于 E，点 E 就是所求的点．
(2)∵AD＝DB，AE＝EC，∴DE∥BC，DE＝
1
2BC，∵DE＝4，∴BC＝8.
7． 18°
8．【解】∵▱ABCD 的周长为 36，∴2(BC＋CD)＝36，则 BC＋CD＝18.∵四边形 ABCD 是平行四
边形，对角线 AC、BD 相交于点 O，BD＝12，∴OD＝OB＝
1
2BD＝6.又∵点 E 是 CD 的中点，∴OE
是△BCD 的中位线，DE＝
1
2CD，∴OE＝
1
2BC，∴△DOE 的周长＝OD＋OE＋DE＝
1
2BD＋
1
2(BC＋CD)＝
6＋9＝15，即△DOE 的周长为 15.
9. (1)【证明】∵BE、CF 是△ABC 的中线，
∴EF 是△ABC 的中位线，
∴EF∥BC 且 EF＝
1
2BC.
∵P、Q 分别是 BG、CG 的中点，
∴PQ 是△BCG 的中位线，
∴PQ∥BC 且 PQ＝
1
2BC，
∴EF∥PQ 且 EF＝PQ.
∴四边形 EFPQ 是平行四边形.
(2)【解】BG＝2GE.
∵四边形 EFPQ 是平行四边形，
∴GP＝GE.
∵P 是 BG 中点，
∴BG＝2PG，
∴BG＝2GE.
10.【证明】连接 EM、EN、FM、FN.
∵E 为 AD 的中点，N 为 AC 的中点，
∴EN 是△ACD 的是位线，∴EN∥CD，EN＝
1
2CD.
同理 MF∥CD，MF＝
1
2CD，
∴EN∥MF，EN＝MF.
∴四边形 EMFN 为平行四边形，
∴EF 与 MN 互相平分．
11.【证明】(1)∵DA 平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD.
∵AD∥EM，∴∠BAD＝∠AEF，∠CAD＝∠AFE，
∴∠AEF＝∠AFE，∴AE＝AF.
(2)作 CG∥EM，交 BA 的延长线于 G.
∵EF∥CG，∴∠G＝∠AEF，∠ACG＝∠AFE.
∵∠AEF＝∠AFE，∴∠G＝∠ACG，∴AG＝AC.
∵BM＝CM，EM∥CG，∴BE＝EG，∴BE＝
1
2BG＝
1
2(BA＋AG)＝
1
2(AB＋AC)．
12. (1)【证明】在△CAD 中，∵M、N 分别是 AC、CD 的中点，
∴MN∥AD，MN＝
1
2AD.
在 Rt△ABC 中，∵M 是 AC 中点，
∴BM＝
1
2AC.
∵AC＝AD，∴MN＝BM.
(2)【解】∵∠BAD＝60°，AC 平分∠BAD，
∴∠BAC＝∠DAC＝30°.
由(1)可知，BM＝
1
2AC＝
1
2×2＝1，
∴∠BMC＝∠BAM＋∠ABM＝2∠BAM＝60°.
∵MN∥AD，∴∠NMC＝∠DAC＝30°，
∴∠BMN＝∠BMC＋∠NMC＝90°，
∴BN2＝BM2＋MN2.
由(1)可知 MN＝BM＝
1
2AC＝1，
∴BN＝ 2.
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