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5.4 二次函数与一元二次方程
一、学习目标：
1、经历探索二次函数与一元二次方程关系的过程，体会方程与函数之间的关系。
2、理解二次函数的图象与 x 轴公共点的个数与相应的一元二次方程根的对应关系。
3、进一步体验数形结合的数学方法。
二、教学重点：二次函数与一元二次方程关系
三、教学难点：理解二次函数与一元二次方程关系，关键能数形结合。
四、教学过程：
（一）思考与探索：二次函数 y=x2-2x-3 与一元二次方程 x2-2x-3=0 有怎样的关系？
1、从关系式看二次函数 y=x2-2x-3 成为一元二次方程 x2-2x-3=0 的条件是什么？
2 、 反 应 在 图 象 上 ： 观 察 二 次 函 数 y=x2-2x-3 的 图 象 ， 你 能 确 定 一 元 二 次 方 程
x2-2x-3=0 的根吗？
3、结论：
一般地，如果二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴有两个公共点（x1,0）、(x2,0),那么一
元二次方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根 x=x1、x=x2。反过来也成立。
4、观察与思考：
观察下列图象：
N M
3
2
1
-3
-2
-1
4321-3 -2 -1 0
y
x2
（1）观察函数 y= x2-6x+9 与 y= x2-2x+3 的图象与 x 轴的公共点的个数；
（2）判断一元二次方程 x2-6x+9=0 和 x2-2x+3=0 的根的情况；
（3）你能利用图象解释一元二次方程的根的不同情况吗？
（二）归纳提高：
一般地，二次函数 y=ax2+bx+c 图象与一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根有如下关系：
1、如果二次函数 y=ax2+bx+c 图象与 x 轴有两个交点（m,0）、(n,0),那么一元二次方程
ax2+bx+c=0 有 实数根 x1= ,x2= .
2、如果二次函数 y=ax2+bx+c 图象与 x 轴有一个交点（m,0）,那么一元二次方程 ax2+bx+c=0
有 实数根 x1=x2= .
3、如果二次函数 y=ax2+bx+c 图象与 x 轴没有交点,那么一元二次方程 ax2+bx+c=0 实
数根.
反过来，由一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的情况可以判断二次函数 y=ax2+bx+c 图象与 x 轴
的交点个数。
当 Δ= >0 时，一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的情况是 ，此时二次
函数 y=ax2+bx+c 图象与 x 轴有 交点；
当 Δ= =0 时，一元二次方程 ax2+bx+c=0 的根的情况是 ，此时二次
函数 y=ax2+bx+c 图象与 x 轴有 交点；
当 Δ=
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