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7.5 解直角三角形
【教学目标】
1．知识与技能：
使学生了解解直角三角形的概念，能运用直角三角形的角与角(两锐角互余)，边与边(勾股定理)、边与角
关系解直角三角形；
2．过程与方法：
通过学生的探索讨论发现解直角三角形所需的最简条件，使学生了解体会用化归的思想方法将未知问题转
化为已知问题去解决；
3．情感态度与价值观：
通过对问题情境的讨论，以及对解直角三角形所需的最简条件的探究，培养学生的问题意识，体验经历运
用数学知识解决一些简单的实际问题，渗透“数学建模”的思想。
【教学重点、难点】
1．重点：直角三角形的解法。
2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用。
3. 疑点：学生可能不理解在已知的两个元素中，为什么至少有一个是边。
【教学准备】
多媒体（课件），圆规，刻度尺，计算器。
【课堂教学过程设计】
【知识回顾】
1、在直角三角形 ABC 中，∠C=90°，a、b、c、∠A、∠B 这五个元素之间有哪些等量关系呢？(1)三边之间
关系：勾股定理_______； (2)锐角之间关系：________。(3)边角之间关系： sinA= ；cosA= ；
tanA= .
2、在 Rt△ABC 中，∠C=90°,已知 c=15,∠B=60°,求 a.
3、在 Rt△ABC 中，∠C=90°,已知∠A=45°,b=3，求 c.
你有哪些疑问？小组交流讨论。
生甲：如果不是特殊值，怎样求角的度数呢?
生乙：我想知道已知哪些条件能解出直角三角形？
◆师：你有什么看法？
生乙：从课前预习看，知道了特殊的一边一角也能解，那么两边呢？两角呢？还有三边、三角呢？2
◆ 师：好！这位同学不但提的问题非常好，而且具有非凡的观察力，那么他的意见对不对？这正是这一节
我们要来探究和解决的：怎样解直角三角形以及解直角三角形所需的条件。
◆ 师：把握了直角三角形边角之间的各种关系，我们就能解决与直角三角形有关的问题了，这节课我们就
来学习“解直角三角形”，解决同学们的疑问。
设计意图：数学知识是环环相扣的，知识回顾能让学生为接下来的学习作很好的铺垫和自然的过渡。带着
他们的疑问来学习解直角三角形，去探索解直角三角形的条件，激发了他们研究的兴趣和探究的激情。
【探究新知】
例 1、在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，由下列条件解直角三角形：
已知 a＝5， b＝ .
◆师：（1）题目中已知哪些条件，还要求哪些条件？
（2）请同学们独立思考，自己解决。
（3）小组讨论一下各自的解题思路，在班内交流展示。
▲解（1）利用勾股定理，先求得 c 值.由 a= c，可得∠A=30°，∠B=60°。
(2)由勾股定理求得 c 后，可利用三角函数 tanB= = ，求得∠B=60°，两锐角互余得∠A=30°。
(3)由于知道了两条直角边，可直接利用三角函数求得∠A，得到∠B,再通过函数值求 c 。
◆师：通过上面的例子，你们知道“解直角三角形”的含义吗？
学生讨论得出“解直角三角形”的含义（课件展示）：“在直角三角形中，由已知元素求出未知元素
的过程，叫做解直角三角形。”
（学生讨论过程中需使其理解三角形中“元素”的内涵，即条件。）
设计意图：让学生初步体会解直角三角形的含义、步骤及解题过程。通过展示他们的思路让他们更好的体
会已知直角三角形的两条边能解出直角三角形。
◆ 师：上面的例子是给了两条边，我们求出了其他元素，解决了同学们的一个疑问。
那么已知直角三角形的一条边和一个角，这个角不是特殊值能不能解出直角三角形呢？以及学习了解直
角三角形在实际生活中有什么用处呢？
带着这些疑问结合实际问题我们来学习例 2：（课件展示例 2 涉及的场景--虎门炮台图，让同学们欣赏
并思考问题）学习了之后，你就会有很深的体会。3
学习例 2：（课件展示涉及的场景--虎门炮台图）
例 2：如图，在虎门有东西两炮台 A、B 相距 2000 米,同时发现入侵敌舰 C,炮台 A 测得敌舰 C 在它的南偏东
40°的方向，炮台 B 测得敌舰 C 在它的正南方，试求敌舰与两炮台的距离（精确到 1 米）。
总结：（1）由∠DAC=40°得∠BAC=50°,用∠BAC 的三角函数求得 BC≈238 米，AC≈3111 米。
（2）由∠BAC 的三角函数求得 BC≈2384 米，再由勾股定理求得 AC≈3112 米。
学生讨论得出各法，分析比较（课件展示），得出——使用题目中原有的条件，可使结果更精确。
设计意图：（1）转化的数学思想方法的应用，把实际问题转化为数学模型解决.
（2）巩固解直角三角形的定义和目标，初步体会解直角三角形的方法——直角三角形的边角关系（勾股定
理、两锐角互余、锐角三角函数）使学生体会到“在直角三角形中，除直角外，只要知道其中 2 个元素（至
少有一个是边）就可以求出其余的 3 个元素”
交流讨论；归纳总结
◆师：通过对上面例题的学习，如果让你设计一个关于解直角三角形的题目，你会给题目几个条件？如果
只给两个角，可以吗？（几个学生展示）
学生讨论分析，得出结论。
◆师：通过上面两个例子的学习，你们知道解直角三角形有几种情况吗？
学生交流讨论归纳（课件展示讨论的条件）
总结：解直角三角形，有下面两种情况：(其中至少有一边)
（1） 已知两条边（一直角边一斜边；两直角边）
（2） 已知一条边和一个锐角（一直边一锐角；一斜边一锐角）
设计意图：这是这节课的重点，让学生归纳和讨论，能让他们深刻理解解直角三角形的有几种情况，必须
满足什么条件能解出直角三角形 ，给学生展示的平台，增强学生的兴趣及自信心。
【知识应用，及时反馈】 4
1、在 Rt△ABC 中，∠C=90°, 已知 AB=2，∠A=45°, 解这个直角三角形。（先画图，后计算）
2、海船以 30 海里/时的速度向正北方向航行，在 A 处看灯塔 Q 在海船的北偏东 30°处，半小时后航行到 B
处，发现此时灯塔 Q 与海船的距离最短，求：（1）从 A 处到 B 处的距离（2）灯塔 Q 到 B 处的距离。（画
出图形后计算，用根号表示）
设计意图：使学生巩固利用直角三角形的有关知识解决实际问题，考察建立数学模型的能力，转化的数学
思想在学习中的应用，提高学生分析问题、解决问题的能力。以及在学习中还存在哪些问题，及时反馈矫
正。
【总结提升】
让学生自己总结这节课的收获，教师补充、纠正（课件展示）。
1、“解直角三角形”是由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程。
2、解直角三角形的条件是除直角外的两个元素，且至少需要一边，即已知两边或已知一边一锐角。
3、解直角三角形的方法：
（1）已知两边求第三边（或已知一边且另两边存在一定关系）时，用勾股定理（后一种需设未知数，根据
勾股定理列方程）；
（2）已知或求解中有斜边时，用正弦、余弦；无斜边时，用正切、余切；
（3）已知一个锐角求另一个锐角时，用两锐角互余。
选用关系式归纳为：
已知斜边求直边，正弦余弦很方便；
已知直边求直边，正切余切理当然；
已知两边求一边，勾股定理最方便；
已知两边求一角，函数关系要选好；
已知锐角求锐角，互余关系要记好；
已知直边求斜边，用除还需正余弦，5
计算方法要选择，能用乘法不用除。
设计意图：学生回顾本堂课的收获，体会如何从条件出发，正确选用适当的边角关系解题。
【达标测试：】
1、在 Rt△ABC 中，∠C=90°,∠A=60°,BC=1,则 AB=_____.
2、等腰三角形中，腰长为 5cm，底边长 8cm，则它的底角的正切值是 .
3、 在正方形网格中， 的位置如右图所示，则 的值为__________.
设计意图：（1）是基本应用.（2）是在三角形中的灵活应用.（3）是变形训练.考察学生对知识的认知和
应用程度。
【课后延伸】
必做题：
1、在 中， ， ， ，则 __________.
2、如图，在 中， 是斜边 上的高，已知 ， ，则 的值是_______.
选做题：一艘船向东航行，上午 8 时到达 B 处，看到有一灯塔在它的北偏东 60°，距离为 72 海里的 A 处；6
上午 10 时到达 C 处，看到灯塔在它的正北方向．求这艘船航行的速度。（用根号表示）
设计意图：关注学生的个体差异，设置必做题和选做题,使每一个学生都有成功的体验，得到相应的提高与
发展，体现课标的“使不同的学生得到不同的发展”这一宗旨.
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