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5.1 二次函数
教学目标：经历探索两个变量之间函数关系的过程，会用数学式子描述某些变量之间的数量关系；通过对
实际问题情境的分析，确定二次函数的关系式，体会二次函数的意义；通过实例分析，进一步
感受函数的三要素和自变量取值范围的确定．
教学重点：二次函数的概念．
教学难点：加深对函数概念的理解．
教学过程：
一、复习
回顾我们学习过的函数有哪几种？你能分别写出它们的表达形式吗？
回顾已学知识，尝试写出一次函数（正比例函数）、反比例函数表达形式．
回顾已学的函数知识，为二次函数的出现做准备．
二、新知：
1、引入
水滴激起的波纹不断向外扩展，扩大的圆的周长 C、面积 S 分别与半径 r 之间有怎样的函数关系？这
两个函数关系式有何差异？
分别写出 C、S 关于 r 的函数关系式，观察比较两个函数关系式之间的差异．
答：C=2ᴨr S=ᴨr2
由学生熟悉的情景入手，用问题激发学生探究欲望，很自然地引入二次函数．
2、探索
（1）用 16 米长的篱笆围成长方形的生物园饲养小兔，怎样围可使小兔的活动范围较大？你能说清其
中的道理吗？
学生知道正方形时最大，但大部分学生无法说明原因．个别学生会设长方形的长为 xm，从函数关系式
y＝－x2＋8x 入手，用配方的方法加以说明．
在这个问题中我们关注的是周长一定的长方形，其形状、面积各不相同．通过相互讨论，学生主动参
与到学习活动中来．
（2）一面长与宽之比为 2:1 的矩形镜子，四周镶有边框，已知镜面的价格是每平方米 120 元，边框的2
价格是每米 30 元，加工费为 45 元．总费用 y（元）与镜面宽 x（米）之间有怎样的函数关系？
在这个问题中镜面、边框的费用分别与什么有关？有哪些变量？其中哪些是自变量？
小组讨论：y＝240x2＋180x＋45．
用问题串的方式，引导学生经历探究实际问题中两个变量之间的数量关系，写出函数关系式的过程，
感受将实际问题数学化的基本方法．
3、新授
观察所列式子，它们有什么共同特征？
定义：一般地，形如 y＝ax2＋bx＋c（a≠0，a、b、c 为常数）的函数叫二次函数．其中 x 是自变量，y
是 x 的函数．
通常，二次函数的自变量 x 可以是任意实数，如果二次函数的自变量表示实际问题中的某个量，那么
它的取值范围受到实际意义的限制．
学生归纳总结二次函数的概念．
通过观察、思考、交流等活动，让学生归纳二次函数的定义，明确二次函数自变量的取值范围．
4、试一试
生活中有许多二次函数的实例，你还能举出一些例子吗？
学生举例说明生活中二次函数的实例．
通过学生举例，进一步明确二次函数的概念和所描述的关系，感受二次函数是描述一类现实问题中变
量之间关系的数学模型．
三、例题讲解
例1 已知函数 是二次函数，求m的值．
解：由题意得，m2－7=2,m－3≠0.
所以m=±3，且m≠3
所以m=-3
例2 写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．
（1）圆的面积y（cm2）与它的周长x（cm）之间的函数关系；
2 7( 3) my m x －＝ －3
（2）某化肥厂10月份生产某种化肥200t，如果11、12月的月平均增长率为x，求12月份化肥的产量y
（t）与x之间的函数关系；
（3）菱形的两条对角线的和为26cm，求菱形的面积S（cm2）与一对角线长x（cm）之间的函数关系．
解：（1） ，是二次函数；
（2） ，是二次函数；
（3） ，是二次函数．
例3 已知二次函数 ，当x＝2时，y＝－8．当x＝－8时，求y的值．
解：由题意得：－8＝4a ，解得：a＝－2；
当 x＝－8 时，y＝－2×（－8）2 ＝－128．
通过对例题的解析，加强学生对本节内容的理解．
四、课堂练习
1、判断下列函数是否为二次函数.
① ( √ ) ② ( √ ) ③ ( × )
④ ( × ) ⑤ ( × ) ⑥ ( × )
⑦ ( × ) ⑧ ( × )
2、当 为何值时，函数 为二次函数？
解：由题意，得 k2 +k=2 且 k-1≠0
所以 k=-2
五、课堂总结
1．二次函数的定义；
2．二次函数的一般形式；
3．会化一般形式，确定 a、b、c．
六、课后作业
2
4π
＝ xy
2200 400 200y x x＝ ＋ ＋
21 132S x x＝－ ＋
2y ax＝
231 xy −= )5( −= xxy
23)2(3 xxxy +−= 652 ++= xxy
12 24 −+= xxy cbxaxy ++= 2
k 1)1( 2 +−= +kkxky
12
3
2
1 +−= xxy
2
1
xy =4
1.下列函数：（1）y=3x2+ +1;(2)y= x2+5;(3)y=(x-3)2-x2;(4)y=1+x- ,属于二次函数的
是 (填序号).
2.函数 y=(a-b)x2+ax+b 是二次函数的条件为 .
3.已知函数 是二次函数，求 m 的值.
4.下列函数关系中,满足二次函数关系的是( )
A.圆的周长与圆的半径之间的关系;
B.在弹性限度内,弹簧的长度与所挂物体质量的关系;
C.圆柱的高一定时,圆柱的体积与底面半径的关系;
D.距离一定时,汽车行驶的速度与时间之间的关系.
5.写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数．
⑴正方体的表面积 S（cm2）与棱长 a（cm）之间的函数关系；
⑵圆的面积 y（cm2）与它的周长 x（cm）之间的函数关系；
⑶菱形的两条对角线的和为 26cm，求菱形的面积 S（cm2）与一对角线长 x（cm）之间的
函数关系．
6.已知 y+2x2=kx(x-3)(k≠2).
(1)证明 y 是 x 的二次函数;
(2)当 k=-2 时,写出 y 与 x 的函数关系式.
x
2
6
1 22x
72
)3( −−= mxmy
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