1
D
C B
A
7.2 正弦、余弦
教学目标：
1、 理解并掌握正弦、余弦的含义，会在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值。
2、能用函数的观点理解正弦、余弦和正切。
教学重点、难点：
1、掌握在直角三角形中求出某个锐角的正弦和余弦值。
2、能用三角函数的知识根据三角形中已知的边和角求出未知的边和角。
教学过程:
一、情景创设
1、问题 1：如图，小明沿着某斜坡向上行走了 13m 后，他的相对位置升高了 5m，如果他沿着该斜坡
行走了 20m，那么他的相对位置升高了多少？行走了 a m 呢？
2、问题 2：在上述问题中，他在水平方向又分别前进了多远？
二、探索活动
1、思考：从上面的两个问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边
的比值__________；它的邻边与斜边的比值___________。
2、正弦的定义
如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角∠A 的对边 a 与斜边 c 的比叫做∠A 的______，记
作________，即 sinA＝________=________.
3、余弦的定义
如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°,我们把锐角∠A 的邻边 b 与斜边 c 的比叫做∠A 的______，记作
=_________，即 cosA=______=_____。（你能写出∠B 的正弦、余弦的表达式吗？）试试看.
___________________________________________.
4、例 1、已知:如图, ∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为 D
( ) BC(1)sinA AC ( )
= =2
CD ( )(2)sinB ( ) AB
= =CD ( )(3)cos ACD , cos BCD( ) BC
∠ = ∠ =
CD ( ) ( ) AC(4)tanA , tanB( ) AC BD ( )
= = = =
例 2、根据如图中条件，分别求出下列直角三角形中锐角的正弦、余弦值。
5、思考与探索
(1)怎样计算任意一个锐角的正弦值和余弦值呢？
当小明沿着 15°的斜坡行走了 1 个单位长度到 P 点时，他的位置在竖直方向升高了约 0.26 个单
位长度，在水平方向前进了约 0.97 个单位长度。
根据正弦、余弦的定义，可以知道：sin15°＝0.26，cos15°＝0.97
（2）你能根据图形求出 sin30°、cos30°吗？sin75°、cos75°呢？
sin30°＝ ，cos30°＝_____.sin75°＝_____，cos75°＝_____.
（3）观察与思考：
试比较 sin15°，sin30°，sin75°的值，你们得到什么结论？
试比较 cos15°，cos30°，cos75°的值，你们得到什么结论？
当锐角 α 越来越大时，它的正弦值是怎样变化的？余弦值又是怎样变化的？
锐角 α 的正弦、余弦的取值范围？
(4)、锐角 A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的__________。
三、拓展延伸：
1、在等腰△ABC 中,AB=AC=5,BC=6.求: sinB,cosB,tanB.3
(第 3 题)
(第 2 题)
2、如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AM 是 BC 边上的中线，sin∠CAM＝ ，求 tanB 的值.
四．小结与思考：今天你有什么收获？还有什么疑惑？
五．课后作业
1、在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则 sinA=________
2．如图，P 是∠ 的边 OA 上一点，且 P 点坐标为（3,4），则 sin =_______，cos ＝________
3．如图△ABC 中，∠C=90°，sinA= ，则 BC：AC=( )
A．3：4 B．4：3 C．3：5 D．4：5
4．一辆汽车沿倾斜角为 的斜坡前进 500 米，则它上升的最大高度是( )
A．500sin B． C．500cos D．
5．在△ABC 中，∠C＝90°，tanA＝ ，则 sinB＝___．
6．已知锐角 满足关系式 ，则 的值为______．
7、在△ABC 中，∠C=90°，sinA= ，△ABC 的周长为 60，求△ABC 的面积。
8.如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于 D 若 AC= ，BC=2 ，
求∠A 的三角函数值和 sin∠ACD 的值.
5
3
α α α
3
5
α
α
500
sinα α
500
cosα
3
1
A 22sin 7sin 3 0A A− + = sin A
13
5
54
课后作业：
1．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝ ，则 sinA＝_____，
cosB=_______,cosA=________,sinB=_______.
2.在 ，若将各边长度都扩大为原来的 2 倍，则∠A 的正弦值 （ ）
A．扩大 2 倍 B．缩小 2 倍 C．扩大 4 倍 D．不变
3．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则 cosB=( )
A． B． C． D．
4.比较大小①sin40 ゜ cos40 ゜；②sin80 ゜ cos30 ゜；③sin45 ゜ cos45 ゜.
5.方程 的两根为直角三角形的两条直角边，则其最小角的余弦值为______．
6．如图：在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示，则 cos∠B 的
值为（ ）
A． B． C． D．
7.如图,在 Rt△ABC 中,CD 是斜边 AB 上的高,则下列线段的比中不等于 sinA 的是( )
A. B. C. D.
8．如图，自动扶梯 AB 段的长度为 20 米，倾斜角 A 为 ，高度 BC 为 米(结果用含 的三
角函数表示)。
9.在 Rt△ABC 中,∠C=90º,且锐角∠A 满足 sinA=cosA, 则∠A 的度数是（ ）
A.30º B.45º C.60º D.90º
10.如图，以 O 为圆心，半径为 1 的弧交坐标轴于 A，B 两点， P 是弧 AB 上一点（不与 A，B 重
合），连接 OP，设∠POB＝α，则点 P 的坐标是（ ）
A．（sinα，sinα） B．（cosα，cosα）
C．（cosα，sinα） D．（sinα，cosα）
第 7 题 第 8 题 第 10 题 第 11 题
3
90, =∠∆ CABCRt 中
4
5
3
5
4
3
3
4
2 7 12 0x x− + =
1
2
2
2
3
2
3
3
CD
AC
DB
CB
CB
AB
CD
CB
α α
D
B
A C5
11.如图 6，已知第一象限内的点 A 在反比例函数 y= 2/x 的图象上，第二象限内的点 B 在反比例函
数 y = k/x 的图象上，且 OA⊥0B ，cotA= /3，则 k 的值为( )
A．-3 B.-6 C.- D.-2
12. 在直角△ABC 中,AC=BC,∠C=90°求:（1）cosA； (2)当 AB=4 时,求 BC 的长.
13. 如图，在菱形 ABCD 中，AE⊥BC 于点 E，EC=1，cosB= ，求这个菱形面积。
14. 如图，AB 为⊙O 的直径，以 AB 为直角边作 Rt△ABC，∠CAB=90°，斜边 BC 与⊙O 交于点 D，过
点 D 作⊙O 的切线 DE 交 AC 于点 E，DG⊥AB 于点 F，交⊙O 于点 G．
（1）求证：E 是 AC 的中点；
（2）若 AE=3，cos∠ACB= ，求弦 DG 的长．
5
136
C D ( )(2)sinB ( ) A B
= =
C D ( )( 3 ) c o s A C D , c o s B C D( ) B C
∠ = ∠ =
C D ( ) ( ) A C( 4 ) ta n A , ta n B( ) A C B D ( )
= = = =
D
C B
A
7.2 正弦、余弦
教学过程：
一、情景创设
1、问题 1：如图，小明沿着某斜坡向上行走了 13m 后，他的相对位置升高了 5m，如果他沿着该斜坡
行走了 20m，那么他的相对位置升高了多少？行走了 a m 呢？
2、问题 2：在上述问题中，他在水平方向又分别前进了多远？
二、探索活动
1、思考：从上面的两个问题可以看出：当直角三角形的一个锐角的大小已确定时，它的对边与斜边
的比值__________；它的邻边与斜边的比值___________。
2、正弦的定义：如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，我们把锐角∠A 的对边 a 与斜边 c 的比叫做∠A
的______，记作________，即 sinA＝________=________.
3、余弦的定义：如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°,我们把锐角∠A 的邻边 b 与斜边 c 的比叫做∠A
的______ ，记作=_________ ，即：cosA=______=_____ 。（你能写出∠B 的正弦、余弦的表达式
吗？）试试看.___________________________________________.
4、例 1、已知:如图, ∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为 D
例 2、根据如图中条件，分别求出下列直角三角形中锐角的正弦、余弦值。
( ) B C(1)s in A A C ( )
= =7(第 3 题)
(第 2 题)
5、思考与探索
(1)怎样计算任意一个锐角的正弦值和余弦值呢？
如书 P42 图 7—8，当小明沿着 15°的斜坡行走了 1 个单位长度到 P 点时，他的位置在竖直方向升高
了约 0.26 个单位长度，在水平方向前进了约 0.97 个单位长度。根据正弦、余弦的定义，可以知道：
sin15°＝0.26，cos15°＝0.97
（2）你能根据图形求出 sin30°、cos30°吗？sin75°、cos75°呢？
sin30°＝ ，cos30°＝_____.sin75°＝_____，cos75°＝_____.
（3）观察与思考：
试比较 sin15°，sin30°，sin75°的值，你们得到什么结论？
试比较 cos15°，cos30°，cos75°的值，你们得到什么结论？
当锐角 α 越来越大时，它的正弦值是怎样变化的？余弦值又是怎样变化的？
锐角 α 的正弦、余弦的取值范围？
(4)、锐角 A 的正弦、余弦和正切都是∠A 的__________。
三、拓展延伸：
1、在等腰△ABC 中,AB=AC=5,BC=6.求 sinB,cosB,tanB.
2、如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AM 是 BC 边上的中线，sin∠CAM＝ ，求 tanB 的值.
四．小结与思考：今天你有什么收获？还有什么疑惑？
五、课后作业
1、在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=1，则 sinA=________.
2．如图，P 是∠ 的边 OA 上一点，且 P 点坐标为（3,4），则
5
3
α8
500
sinα
500
cosα
sin =_______，cos ＝________.
3．如图△ABC 中，∠C=90°，sinA= ，则 BC：AC=( )
A．3：4 B．4：3 C．3：5 D．4：5
4．一辆汽车沿倾斜角为 的斜坡前进 500 米，则它上升的最大高度是( )
A．500sin B． C．500cos D．
5．在△ABC 中，∠C＝90°，tanA＝ ，则 sinB＝____．
6．已知锐角 满足关系式 ，则 的值为______．
7、在△ABC 中，∠C=90°，sinA= ，△ABC 的周长为 60，求△ABC 的面积。
8.如图，Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于 D 若 AC= ，BC=2，求∠A 的三角函数值和 sin∠ACD
的值.
课后作业：
1.在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝ ，则 sinA＝_____，
cosB=_______,cosA=________,sinB=_______.
2.在 ，若将各边长度都扩大为原来的 2 倍，则∠A 的正弦值 （ ）
A．扩大 2 倍 B．缩小 2 倍 C．扩大 4 倍 D．不变
3．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则 cosB=( )
A． B． C． D．
4.比较大小①sin40 ゜ cos40 ゜ ②sin80 ゜ cos30 ゜ ③sin45 ゜ cos45 ゜
5.方程 的两根为直角三角形的两条直角边，则其最小角的余弦值为______．
6．如图：在正方形网格中，△ABC 的位置如图所示，则 cos∠B 的值为（ ）
A． B． C． D．
α α
5
3
α
α α
3
1
A 22sin 7sin 3 0A A− + = sin A
13
5
5
3
90, =∠∆ CABCRt 中
4
5
3
5
4
3
3
4
2 7 12 0x x− + =
1
2
2
2
3
2
3
39
7.如图,在 Rt△ABC 中,CD 是斜边 AB 上的高,则下列线段的比中不等于 sinA 的是( )
A. B. C. D.
8．如图，自动扶梯 AB 段的长度为 20 米，倾斜角 A 为 ，高度 BC 为 米(结果用含 的三
角函数表示)。
9.在 Rt△ABC 中,∠C=90º,且锐角∠A 满足 sinA=cosA, 则∠A 的度数是（ ）
A.30º B.45º C.60º D.90º
10.如图，以 O 为圆心，半径为 1 的弧交坐标轴于 A，B 两点， P 是弧 AB 上一点（不与 A，B 重
合），连接 OP，设∠POB＝α，则点 P 的坐标是（ ）
A．（sinα，sinα） B．（cosα，cosα） C．（cosα，sinα D．（sinα，cosα）
第 7 题 第 8 题 第 10 题 第 11 题
11.如图，已知第一象限内的点 A 在反比例函数 y = 的图象上，第二象限内的点 B 在反比例函数
y = 的图象上，且 OA⊥0B ，cosA= ，则 k 的值为( )
A．-3 B.-4 C.- D.-2
12. 在直角△ABC 中,AC=BC,∠C=90°求:（1）cosA； (2)当 AB=4 时,求 BC 的长.
13. 如图，在菱形 ABCD 中，AE⊥BC 于点 E，EC=1，cosB= ，求这个菱形面积。
14. 如图，C 为以 AB 为直径的⊙O 上一点，AD 和过点 C 的切线互相垂直，垂足为 D．
（1）求证 AC =AD•AB
CD
AC
DB
CB
CB
AB
CD
CB
α α
x
2
x
k
3
3
3 3
5
13
2
D
B
A C10
（2）若 AD= ,sinB= ,求线段 BC 的长
15. 如图，AB 为⊙O 的直径，以 AB 为直角边作 Rt△ABC，∠CAB=90°，斜边 BC 与⊙O 交于点 D，过
点 D 作⊙O 的切线 DE 交 AC 于点 E，DG⊥AB 于点 F，交⊙O 于点 G．
（1）求证：E 是 AC 的中点；
（2）若 AE=3，cos∠ACB= ，求弦 DG 的长．
5
8
5
4
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