22.3 相似三角形的性质
知识点 1 相似三角形对应高、中线、角平分线的比
1．［2016·兰州］已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为( )
A. B. C. D.
2．已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′是它们的对应角平分线，且AD＝8 cm，A′D′＝3 cm，则△A′B′C′与△ABC的相似比为________．
3．如图22－3－1(示意图)，电灯P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，已知AB∥CD，AB＝2 m，CD＝5 m，若点P到CD的距离为3 m，则点P到AB的距离是________．
图22－3－1
知识点 2 相似三角形周长的比
4．已知△ABC∽△DEF，相似比是，则＝＝＝________，＝________．如果△ABC的周长是60 cm，那么△DEF的周长是________．
5．如图22－3－2，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC上的点，DE∥BC，且AD＝AB，则△ADE与△ABC的周长的比为________．
图22－3－2
6．两个相似三角形的对应边之比是8∶3，它们的周长之间的差为45 cm，则这两个三角形的周长分别是________和________．
7．如图22－3－3，已知在▱ABCD中，AE∶EB＝1∶2，求△AEF与△CDF的周长之比．
图22－3－3
知识点 3 相似三角形面积的比
7
8．如图22－3－4，已知△ABC∽△A′B′C′，AD和A′D′分别是它们的高，若＝，则＝________，＝________．
图22－3－4
9．［2017·湘潭］如图22－3－5，在△ABC中，D，E分别是边AB，AC的中点，则△ADE与△ABC的面积比S△ADE∶S△ABC＝________．
图22－3－5
10．如图22－3－6，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分Ⅰ和Ⅱ的面积相等，则＝________．
图22－3－6
11．如图22－3－7，在△ABC中，点D是AB边上的一点，若∠ACD＝∠B，AD＝1，AC＝2，△ACD的面积为1，则△BCD的面积为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
图22－3－7
12． 在△ABC中，AB＝12 cm，BC＝18 cm，CA＝24 cm.如果另一个与它相似的△A′B′C′的周长为81 cm，那么△A′B′C′的三边长分别为________．
13．如图22－3－8，在Rt△ABC中， ∠ACB＝90°，D是AC边上一点，∠CBD＝∠A，E，F分别是AB，BD的中点．若AB＝5，AC＝4，则CF∶CE＝________.
7
图22－3－8
14．［2017·杭州］如图22－3－9，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC.
(1)求证：△ADE∽△ABC；
(2)若AD＝3，AB＝5，求的值．
图22－3－9
15．如图22－3－10，在▱ABCD中，E是CD延长线上的一点，BE与AD交于点F，DE＝CD.
(1)求证：△ABF∽△CEB；
(2)若△DEF的面积为2，求▱ABCD的面积．
图22－3－10
16．如图22－3－11，已知△ABC和△DEC的面积相等，点E在BC边上，DE∥AB交AC
7
于点F，AB＝12，EF＝9，则DF的长是多少？
图22－3－11
17．如图22－3－12，在▱ABCD中，E是CD上的一点，DE∶EC＝2∶3，连接AE，BE，BD，且AE，BD交于点F，则S△DEF∶S△EBF∶S△ABF等于( )
A．2∶5∶25 B．4∶9∶25
C．2∶3∶5 D．4∶10∶25
图22－3－12
18．一块直角三角形木板的一条直角边AB长为1.5 m，面积为1.5 m2，工人师傅要把它加工成一个面积最大的正方形桌面，请甲，乙两名同学设计加工方案．甲的设计方案如图22－3－13①所示，乙的设计方案如图②所示．你认为哪名同学设计的方案较好？试说明理由．(加工损耗忽略不计，计算结果中可保留分数)
图22－3－13
7
1．A
2.
3. m
4. 40 cm
5. .
6．72 cm 27 cm
7．解：∵AE∶EB＝1∶2，
∴AE∶AB＝1∶3.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，
∴AE∶CD＝AE∶AB＝1∶3.
又∵在▱ABCD中，AB∥CD，
∴△AEF∽△CDF，
∴△AEF的周长∶△CDF的周长＝1∶3.
8.
9.
10.
11．C
12． 18 cm，27 cm，36 cm
13．3∶4
14．解：(1)∵AF⊥DE于点F，AG⊥BC于点G，∴∠AFE＝90°，∠AGC＝90°，
∴∠AEF＝90°－∠EAF，∠C＝90°－∠GAC.
又∵∠EAF＝∠GAC，
∴∠AEF＝∠C.
又∵∠DAE＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC.
(2)∵△ADE∽△ABC，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，
∴＝.
∵AD＝3，AB＝5，∴＝.
15解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C，AB∥CD，
∴∠ABF＝∠CEB，
∴△ABF∽△CEB.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，ABCD，
7
∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF.
∵DE＝CD，
∴＝()2＝，＝()2＝.
∵S△DEF＝2，
∴S△CEB＝18，S△ABF＝8，
∴S四边形BCDF＝S△CEB－S△DEF＝16，
∴S▱ABCD＝S四边形BCDF＋S△ABF＝16＋8＝24.
16．解：∵△ABC与△DEC的面积相等，
∴△CDF与四边形AFEB的面积相等．
∵AB∥DE，∴△CEF∽△CBA.
∵EF＝9，AB＝12，
∴EF∶AB＝9∶12＝3∶4，
∴△CEF和△CBA的面积比＝9∶16.
设△CEF的面积为9k，则四边形AFEB的面积为7k.
∵△CDF与四边形AFEB的面积相等，
∴S△CDF＝7k.
∵△CDF与△CEF可看作同高不同底的三角形，
∴面积比等于底之比，
∴DF∶EF＝7k∶9k＝7∶9.
∵EF＝9，∴DF＝7.
17． D
18．解：甲同学设计的方案较好．
理由：由AB＝1.5 m，S△ABC＝1.5 m2，可得BC＝2 m.
由题图①，若设甲设计的正方形桌面的边长为x m，由DE∥AB，得Rt△CDE∽Rt△CBA，
∴＝，即＝，
解得x＝.
由题图②，过点B作Rt△ABC斜边AC上的高BH，BH交DE于点P，交AC于点H.
由AB＝1.5 m，BC＝2 m，
得AC＝＝＝2.5(m)．
由AC·BH＝AB·BC可得，
BH＝＝＝1.2(m)．
设乙设计的桌面边长为y m.
∵DE∥AC，
∴Rt△BDE∽Rt△BAC，
∴＝，
即＝，解得y＝.
7
∵＝>，
∴x2>y2，
∴甲同学设计的方案较好．
7
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