22.3 第2课时 相似三角形的应用
一、选择题
1．如图26－K－1是小明设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.2米，BP＝1.8米，DP＝12米，那么该古城墙的高度是 ( )
A．6米 B．8米 C．18米 D．24米
图26－K－1
2．［2018·蚌埠市重点中学联考］如图26－K－2，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝30 m，EC＝15 m，CD＝30 m，则河的宽度AB为 ( )
A．90 m B．60 m C．45 m D．30 m
图26－K－2
二、填空题
3．［2017·合肥20中模拟］如图26－K－3，光源P在横杆AB的正上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，AB＝2 m，CD＝6 m，点P到CD的距离是2.7 m，则AB离地面的距离为________m.
图26－K－3
4.［2017·眉山］“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图26－K－4获得，则井深为________尺．
图26－K－4
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三、解答题
5．［2017·六安市月考］一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120 mm，高AD＝80 mm，把它加工成正方形零件如图26－K－5，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．
(1)求证：△AEF∽△ABC；
(2)求这个正方形零件的边长．
图26－K－5
6方程建模思想如图26－K－6，正方形城邑DEFG的四面正中各有城门，出北门20步的A处(HA＝20步)有一树木，由南门14步到C处(KC＝14步)，再向西行1775步到B处(CB＝1775步)，正好看到A处的树木(点D在直线AB上)，那么城邑的边长为多少步？
图26－K－6
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1．[解析] B 根据光学原理可知，∠APB＝∠CPD，
∴Rt△ABP∽Rt△CDP，
∴＝，∴CD＝＝8(米)．
2．[解析] B ∵AB⊥BC，CD⊥BC，
∴∠ABE＝∠DCE＝90°.又∵∠AEB＝∠DEC，
∴△ABE∽△DCE，
∴＝，即＝，解得AB＝60 m.
3．[答案] 1.8
[解析] ∵AB∥CD，
∴△PAB∽△PCD.∵AB＝2 m，CD＝6 m，
∴＝.
又∵点P到CD的距离是2.7 m，
设AB离地面的距离为x m，
∴＝，
解得x＝1.8.故AB离地面的距离为1.8 m.
4．[答案] 57.5
[解析] 根据题意可知△ABF∽△ADE，∴＝，即＝，解得AD＝62.5尺，∴BD＝AD－AB＝62.5－5＝57.5(尺)．
5．[解析] (1)根据四边形EFHG是正方形，可得EF∥BC，则△AEF∽△ABC.
(2)设AD交EF于点K，这个正方形零件的边长是x mm，根据＝，求出这个正方形零件的边长是多少即可．
解：(1)证明：∵四边形EFHG是正方形，
∴EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC.
(2)设AD交EF于点K，这个正方形零件的边长是x mm.
∵△AEF∽△ABC，
∴＝，即＝，解得x＝48.
答：这个正方形零件的边长是48 mm.
6解：设城邑的边长为x步．
根据题意，得Rt△AHD∽Rt△ACB，
∴＝，即＝，
解得x1＝250，x2＝－284，
经检验，x1＝250是分式方程的解且符合题意；x2＝－284是分式方程的解，但不符合题意．
∴城邑的边长为250步．
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