22.2 第5课时 直角三角形相似的判定方法
知识点 1 斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似
1．在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AC＝12，AB＝15，A′C′＝8, 则当A′B′＝________时，△ABC∽△A′B′C′.
2．如图22－2－28，∠ACB＝∠ADC＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c.如果△ABC∽△CAD，那么CD的长为( )
A. B.
C. D.
图22－2－28
3．如图22－2－29，已知CD为△ABC的高，AC·CD＝BC·AD.求证：∠ACB＝90°.
图22－2－29
知识点 2 判定直角三角形相似的方法综合
4．如图22－2－30，已知△ABC与△ADE中，∠C＝∠AED＝90°，点E在AB上，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC与△DAE相似的是( )
A．∠B＝∠D
B. ＝
C． AD∥BC
D. ＝
图22－2－30
5．现有下列说法：①所有的直角三角形都相似；②所有的等腰直角三角形都相似；③有一个锐角相等的两个直角三角形相似；④有两边成比例的两个直角三角形相似．其中正确的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．如图22－2－31，已知AB⊥BD于点B，ED⊥BD于点D，C是线段BD的中点，且ED
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＝1，AC＝2 ，BD＝4.求证：△ABC∽△CDE.
图22－2－31
知识点 3 相似直角三角形在测量中的应用
7．如图22－2－32，为估算某河的宽度，在河的对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20 m，EC＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度AB等于( )
A．60 m B．40 m
C．30 m D．20 m
图22－2－32
8．为了测量校园内一棵树的高度，学校数学应用实践小组做了如下的探索：根据光的反射定律，利用一面镜子和皮尺，设计如图22－2－33所示的测量方案．把镜子放在离树(AB)8.7 m的点E处，然后观测者沿着直线BE后退到点D，这时恰好在镜子里看到树梢顶点A，再用皮尺量得DE＝2.7 m，观测者目高CD＝1.6 m，则树高AB约是________m(精确到0.1 m)．
图22－2－33
9．如图22－2－34是一个常见铁夹的侧面示意图，铁夹的侧面是轴对称图形，OA，OB
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表示铁夹的两个边，点C在轴线上，CD⊥OA于点D，已知AD＝15 mm，OD＝24 mm，CD＝10 mm，请求出A，B两点间的距离．
图22－2－34
10．如图22－2－35，在边长为a的正方形ABCD中，M是AD的中点，能否在边AB上找到一点N(不与点A，B重合)，使得△CDM与△MAN相似？若能，找到点N的位置；若不能，请说明理由．
图22－2－35
11．在△ABC与△DEF中，∠C＝∠E＝90°，AC＝5，AB＝13，DF＝26，要使△ABC与△DEF相似，DE的长可以是多少？
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12．如图22－2－36①，在四边形ABCD的边AB上任取一点E(点E不与点A，B重合)，分别连接ED，EC，可以把四边形ABCD分成三个三角形，如果其中有两个三角形相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的边AB上的“相似点”；如果这三个三角形都相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的边AB上的“强相似点”．
解决问题：
(1)如图①，∠A＝∠B＝∠DEC＝45°，试判断点E是不是四边形ABCD的边AB上的“相似点”，并说明理由；
(2)如图②，在矩形ABCD中，已知AB＝2 ，BC＝3，M是AD边上的一点，将矩形ABCD沿CM折叠，点D恰好落在AB边上的点E处．求证：点E是四边形ABCM的边AB上的一个“强相似点”．
图22－2－36
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1．10 [解析] 由＝，解得A′B′＝10.
2．A [解析] 假设△ABC∽△CAD，则＝，即＝，解得CD＝.∴如果△ABC∽△CAD，那么CD＝.故选A.
3．证明：∵AC·CD＝BC·AD，
∴＝.
∵CD为△ABC的高，
∴∠ADC＝∠CDB＝90°，
∴Rt△ACD∽Rt△CBD，
∴∠ACD＝∠B.
又∵∠DCB＋∠B＝90°，
∴∠DCB＋∠ACD＝90°，即∠ACB＝90°.
4．D [解析] D项中，一个是直角三角形的两条直角边，一个是直角三角形的斜边和直角边．它们不符合直角三角形相似的判定定理．
5．B
6．[解析] 要证明△ABC与△CDE相似，通过已知并结合图形，观察可知这两个三角形已经具备一对对应角相等，即∠B＝∠D＝90°，那么再由已知条件求出两条直角边对应成比例即可．
证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴∠B＝∠D＝90°.
又∵C是线段BD的中点，BD＝4，
∴BC＝CD＝2.
∵AC＝2 ，BC＝2，
∴AB＝＝4，
∴AB∶CD＝BC∶DE＝2∶1，
∴△ABC∽△CDE.
7．B
8．5.2 [解析] 由CD⊥BD，AB⊥BE，得∠CDE＝∠ABE＝90°.由光的反射原理可知∠CED＝∠AEB，所以△CED∽△AEB，再利用对应边成比例就可以求出树高AB.
9．解：如图，连接AB，同时连接OC并延长交AB于点E.
∵铁夹的侧面是轴对称图形，
∴直线OE是其对称轴，
∴OE⊥AB，AE＝BE.
∵∠COD＝∠AOE，∠CDO＝∠AEO＝90°，
∴Rt△OCD∽Rt△OAE，
∴＝.
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又∵OC＝＝＝26，
∴＝，解得AE＝15(mm)，
∴AB＝2AE＝30 mm.
答：A，B两点间的距离为30 mm.
10．解：能找到．分两种情况讨论：
①若△CDM∽△MAN，则＝.
∵正方形ABCD的边长为a，M是AD的中点，
∴CD＝a，DM＝AM＝，
∴AN＝a.
②若△CDM∽△NAM，则＝.
∵CD＝a，DM＝AM＝，
∴AN＝a，即点N与点B重合，不合题意，舍去．
综上可得，能在边AB上找到一点N(不与点A，B重合)，使得△CDM与△MAN相似．当AN＝a时，点N的位置满足条件．
11．解：若△ABC∽△DFE，则＝，
即＝，解得DE＝10；
若△BAC∽△DFE，则＝，
即＝，解得DE＝24.
综上可得，DE的长可以是10或24.
12．解： (1)点E是四边形ABCD的边AB上的“相似点”．理由如下：
∵∠DEC＝45°，
∴∠AED＋∠BEC＝135°.
∵∠A＝45°，
∴∠ADE＋∠AED＝135°，
∴∠ADE＝∠BEC，
∴△ADE∽△BEC，
∴点E是四边形ABCD的边AB上的“相似点”．
(2)证明：由题意可知DM＝EM，EC＝CD＝AB＝2 ，∠A＝∠B＝∠MEC＝90°.
由勾股定理，得
BE＝＝＝.
则AE＝.
∵∠A＝∠B＝∠MEC＝90°，
∴∠AEM＋∠AME＝90°，
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∠AEM＋∠BEC＝90°，
∴∠AME＝∠BEC.
又∵∠A＝∠B，∴△AEM∽△BCE，
∴＝，即＝，
解得AM＝1.
由勾股定理，得EM＝2.
∵＝，＝，∴＝，
即＝.
又∵∠A＝∠CEM，
∴△AEM∽△ECM.
又∵△AEM∽△BCE，
∴△AEM∽△BCE∽△ECM，
∴点E是四边形ABCM的边AB上的一个“强相似点”．
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