22.2～22.3
一、选择题(每小题4分，共32分)
1．若△ABC∽△A1B1C1，且∠A＝100°，∠B＝31°，则∠C1的度数为( )
A．31° B．49° C．59° D．100°
2．已知△ABC∽△DEF，且相似比为1∶2，则△ABC与△DEF的面积比是( )
A．1∶4 B．4∶1 C．1∶2 D．2∶1
3．如图4－G－1，在△ABC中，DE∥BC，＝，则下列结论中正确的是( )
A. ＝
B. ＝
C. ＝
D. ＝ 图4－G－1
4．如图4－G－2，在△ABC中，点D在线段BC上，且△ABC∽△DBA，那么下列结论一定正确的是( )
A．AB2＝BC·BD
B．AB2＝AC·BD
C．AB·AD＝BD·BC
D．AB·AD＝AD·CD
图4－G－2
5．在三角形纸片ABC中，AB＝8，BC＝4，AC＝6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是( )
图4－G－3
6．如图4－G－4，在4×4的正方形网格中，是相似三角形的是( )
图4－G－4
A．①和② B．②和③ C．①和③ D．②和④
7．如图4－G－5，已知AB，CD，EF都与BD垂直，垂足分别是B，D，F，且AB＝1，CD＝3，那么EF的长是( )
A. B. C. D.
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图4－G－5
8．如图4－G－6，在△ABC中，AB＝6，AC＝4，P是AC的中点，过点P的直线交AB于点Q，若以A，P，Q为顶点的三角形和以A，B，C为顶点的三角形相似，则AQ的长为( )
A．3 B．3或 C．3或 D.
图4－G－6
二、填空题(每小题5分，共20分)
9．如图4－G－7，O是AC的中点，将周长为4 cm的菱形ABCD沿对角线AC方向平移AO长度得到菱形OB′C′D′，则四边形OECF的周长是________ cm.
图4－G－7
10．如图4－G－8所示是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体AB的高度为36 cm，那么它在暗盒中所成的像CD的高度应为________cm.
图4－G－8
11．一块三角尺ABC按如图4－G－9放置，顶点A的坐标为(0，1)，顶点C的坐标为(－3，0)，∠B＝30°，则点B的坐标为________________．
图4－G－9
12．如图4－G－10，在△ABC中，P为AB上一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；③AC2＝AP·AB；④AB·CP＝AP·BC，能满足△APC和△ACB相似的条件是________．
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图4－G－10
三、解答题(共48分)
13．(12分)如图4－G－11，在△ABC中，D是BC边上一点，E是AC边上一点，且满足AD＝AB，∠ADE＝∠C.
求证：(1)∠AED＝∠ADC；
(2)AB2＝AE·AC.
图4－G－11
14．(10分)如图4－G－12，M，N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞，工程人员为计算工程量，必须计算M，N两点之间的直线距离，选择测量点A，B，C，点B，C分别在AM，AN上，现测得AM＝1千米，AN＝1.8千米，AB＝54米，BC＝45米，AC＝30米，求M，N两点之间的直线距离为多少千米．
图4－G－12
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15．(12分)如图4－G－13，正方形ABCD的边长是2，BE＝CE，MN＝1，线段MN的两端在边CD，AD上滑动，当DM为多长时，△ABE与以点D，M，N为顶点的三角形相似？请加以说明．
图4－G－13
16．(14分)如图4－G－14所示，四边形ABCD是边长为3的正方形，E是BC边上一点，且EC＝2BE.将正方形折叠，使点A与点E重合，折痕为MN，若四边形BCMN的面积和四边形ADMN的面积分别为S1，S2，求S1∶S2.
图4－G－14
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教师详解详析
1．B [解析] ∠C1＝∠C＝180°－100°－31°＝49°.
2．A [解析] 根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，得S△ABC∶S△DEF＝1∶4.故选A.
3．C
4．A
5．D [解析] 剪下的三角形与原三角形有一个公共角，则利用“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”进行判定，只有D项符合题意．
6．C [解析] 由勾股定理先求出所有三角形的三边长，并求出三边之比，再根据“三边成比例的两个三角形相似”可知选择C项．
7．C [解析] ∵AB，CD，EF都与BD垂直，
∴AB∥CD∥EF，
∴△DEF∽△DAB，△BEF∽△BCD，
∴＝，＝，
∴＋＝＋＝＝1.
∵AB＝1，CD＝3，∴＋＝1，
∴EF＝.故选C.
8．B [解析] 由于以A，P，Q为顶点的三角形和以A，B，C为顶点的三角形有一个公共角∠A，AQ的对应边是AB或AC，所以过点P的直线PQ应有两种作法：(1)如图①，过点P作PQ∥BC，这时△AQP∽△ABC，则＝，可求得AQ＝3；(2)如图②，过点P作∠APQ＝∠B，交AB于点Q，这时△APQ∽△ABC，于是有＝，可求得AQ＝.故选B.
9．2 [解析] 由题意知△COF∽△CAD，所以＝＝.又因为AD＝1 cm，所以OF＝ cm.同理OE＝EC＝CF＝ cm，所以四边形OECF的周长是4×＝2(cm)．
10．16 [解析] 由三角形相似的性质：相似比等于对应高的比，所以＝，所以CD＝16(cm)．
11．(－3－，3 ) [解析] 过B点作BE⊥x轴于点E，由∠BEC＝∠COA，∠EBC＝∠OCA，可证△EBC∽△OCA，∴＝＝.在Rt△ACO中，AC＝＝.在Rt△ABC中，∠CBA＝30°，∴AB＝2 ，∴BC＝，∴＝＝，解得BE＝3 ，EC＝，∴EO＝EC＋CO＝＋3.故答案为(－3－，3 )．
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12．①②③ [解析] 当∠ACP＝∠B，∠A为公共角，所以△APC∽△ACB；
当∠APC＝∠ACB，∠A为公共角，所以△APC∽△ACB；
当AC2＝AP·AB，即AC∶AB＝AP∶AC，∠A为公共角，所以△APC∽△ACB；
当AB·CP＝AP·BC，即＝，而∠PAC＝∠CAB，所以不能判断△APC和△ACB相似．
13．证明：(1)在△ADE和△ACD中，
∵∠ADE＝∠C，
∠AED＝180°－∠DAE－∠ADE，
∠ADC＝180°－∠DAE－∠C，
∴∠AED＝∠ADC.
(2)∵∠ADE＝∠C，∠DAE＝∠CAD，
∴△ADE∽△ACD，
∴＝，
即AD2＝AE·AC.
又∵AD＝AB，
∴AB2＝AE·AC.
14．解：1千米＝1000米，1.8千米＝1800米．连接MN.
∵＝＝，＝＝，
∴＝.
又∵∠BAC＝∠NAM，
∴△BAC∽△NAM，
∴＝，
即＝，∴MN＝1500(米)＝1.5(千米)．
答：M，N两点之间的直线距离为1.5千米．
15．解：DM＝或.说明如下：
情况①：若△ABE∽△NDM，
则BE∶DM＝AE∶MN，此时DM＝；
情况②：若△ABE∽△MDN，
则AB∶DM＝AE∶MN，此时DM＝.
∴DM＝或.
16．解：设MN与AE相交于点F.
∵BC＝3，EC＝2BE，
∴EC＝2，BE＝1，∴AE＝.
由题意知，MN垂直平分AE，
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∴△AFN∽△ABE，∴＝，
即＝，
∴AN＝AE2＝，∴BN＝.
过点M作MH⊥AB于点H，
易推知△MNH≌△AEB，
∴NH＝BE＝1，DM＝AH＝AN－NH＝－1＝，∴MC＝，
∴S1∶S2＝(＋)∶(＋)＝11∶7.
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