22.2 第3课时 相似三角形判定定理2
一、选择题
1．如图22－K－1，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是( )
图22－K－1
2．［2017·合肥市54中一模］如图22－K－2，△ACD和△ABC相似需具备的条件是( )
A. ＝ B. ＝
C．AC2＝AD·AB D．CD2＝AD·BD
图22－K－2
3．［2017·合肥市模拟］如图22－K－3，D，E分别是AB，AC上两点，CD与BE相交于点O，下列条件中不能使△ABE和△ACD相似的是( )
A．∠B＝∠C B．∠ADC＝∠AEB
C．BE＝CD，AB＝AC D．AD∶AC＝AE∶AB
图22－K－3
4．如图22－K－4，已知在△ABC中，AB＝6，AC＝4，P是AC的中点，过点P的直线交AB于点Q.若以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，则AQ的长为 ( )
A．3 B．3或 C．3或 D.
图22－K－4
二、填空题
5．［2017·亳州市期末］如图22－K－5所示，在△ABC与△ADE中，AD·AC＝AB·AE，要使△ABC与△ADE相似，还需要添加一个条件，这个条件是__________________．(只加一个即可)
4
图22－K－5
6．在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC边上的高，且AD 2＝BD·DC，则∠C的度数为__________．
三、解答题
7．如图22－K－6，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且＝.
(1)求证：△ADF∽△ACG；
(2)若＝，求的值.
图22－K－6
8数形结合思想如图22－K－7，在平面直角坐标系中，A点的坐标为(8，0)，B点的坐标为(0，6)，C是线段AB的中点．在x轴上是否存在一点P，使得以P，A，C为顶点的三角形与△AOB相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
图22－K－7
4
1．[解析] C 求出B，C选项中的等腰三角形的顶角，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似进行判断．
2．[解析] C 在△ACD和△ABC中，∠A＝∠A，根据有两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，得添加的条件是＝，∴AC2＝AD·AB.
3．[解析] C 根据相似三角形判定定理1可知条件“∠B＝∠C”和“∠ADC＝∠AEB”符合题意；根据相似三角形判定定理2可知条件“AD∶AC＝AE∶AB”符合题意．而条件“BE＝CD，AB＝AC”无法推出△ABE和△ACD相似．
4．[解析] B 已知∠A是公共角，则当＝或＝时，可满足题目要求，解得AQ＝3或.
5．答案不唯一，如∠DAE＝∠BAC
6．[答案] 65°或115°
[解析] (1)如图①，当∠C为锐角时，∵AD是BC边上的高，∴∠ADC＝∠BDA＝90°.
∵AD2＝BD·DC，
∴＝，∴△ADC∽△BDA，
∴∠CAD＝∠B＝25°，∴∠C＝65°；
(2)如图②，当∠ACB为钝角时，同理可得△ADC∽△BDA，
∴∠CAD＝∠B＝25°，
∴∠BCA＝25°＋90°＝115°.
7．解：(1)证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠BAC，∴∠ADF＝∠C.∵＝，
∴△ADF∽△ACG.
(2)∵△ADF∽△ACG，∴＝.
又∵＝，∴＝，∴＝1.
8解：存在这样的点P.
由题意可知，∠AOB＝90°，OA＝8，OB＝6，
∴AB＝10.
∵C是线段AB的中点，∴AC＝5.
如果点P与点B对应，那么△PAC∽△BAO，
∴PA∶BA＝AC∶AO，∴PA＝，
∴OP＝OA－PA＝，∴P.
4
如果点P与点O对应，那么△PAC∽△OAB，
∴PA∶OA＝AC∶AB，∴PA＝4，
∴OP＝OA－AP＝4，
∴P(4，0)．
综上，P点的坐标为或(4，0)．
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