22.1 第1课时 相似多边形
一、选择题
1．［2016·安庆市外国语学校月考］下列图形不是相似图形的是( )
A．同一张底片冲洗出来的两张大小不同的照片
B．用放大镜将一个图案放大过程中的原有图案和放大图案
C．某人的侧身照片和正面照片
D．一棵树与它倒映在水中的像
2．［2018·安徽省第二次联考］手工制作课上，小丽利用一些花布的边角料，剪裁后装饰手工画，下面四个图案是她剪裁出的空心的直角三角形(含30°)、等边三角形、正方形、矩形花边，其中，每个图案花边的宽度都相等，那么，每个图案中花边的内外边缘所围成的几何图形不一定相似的是( )
图16－K－1
3．［2017·马鞍山市期末］如图16－K－2，在长为8 cm、宽为4 cm的矩形中，截去一个矩形，使得留下的矩形(图中阴影部分)与原矩形相似，则留下的矩形面积是( )
A．2 cm2 B．4 cm2 C．8 cm2 D．16 cm2
图16－K－2
二、填空题
4．如图16－K－3，△ABC与△DEF相似，且AC，BC的对应边分别是DF，EF，则△ABC与△DEF的相似比是________．
图16－K－3
5．［2018·合肥市肥东县月考］A4纸是由国际标准化组织的ISO216定义的，世界上多数国家所使用的纸张尺寸都是采用这一国际标准．如图16－K－4将一张A4纸沿着长边中点对折后，得到的矩形与原矩形相似，则A4纸长与宽的比是________．
图16－K－4
5
三、解答题
6．在如图16－K－5所示的两个相似的五边形中，试求未知的边x，y，z的长度及角α，β的度数．
图16－K－5
7．2017·安庆市期末如图16－K－6，四边形ABCD的对角线相交于点O，A′，B′，C′，D′分别是OA，OB，OC，OD的中点，试判断四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是否相似，并说明理由．
图16－K－6
5
8探究题如图16－K－7是一张矩形纸片ABCD，E，F分别是BC，AD上的点(但不与顶点重合)，如果直线EF将矩形分成面积相等的两部分．
(1)得到的两个四边形是否相似？若相似，请求出相似比；若不相似，请说明理由．
(2)这样的直线可以作几条？
图16－K－7
5
1．C
2．[解析] D 矩形图案的内外边缘都是矩形，但是对应边不一定成比例．故选D.
3．[解析] C 设留下矩形的宽为x cm，由留下的矩形与原矩形相似，可知＝，解得x＝2，则留下的矩形面积为2×4＝8(cm2)．
4．[答案]
[解析] AB与DE是对应边，则△ABC与△DEF的相似比是 .
5．[答案] ∶1
[解析] 设矩形的长为a，宽为b，则AB＝CD＝b，AD＝BC＝a，BF＝AE＝.∵矩形ABCD∽矩形BFEA，∴＝，即＝，∴a∶b＝∶1.
6．解：由于两个五边形相似，它们的对应边长度的比相等，对应角相等，观察两个图形的形状及边的长度，有＝＝＝，
解得x＝0.625，y＝0.6，z＝1.
β＝58°，α＝540°－(72°＋58°＋165°＋100°)＝145°.
7．解：相似．理由如下：∵A′，B′分别是OA，OB的中点，
∴A′B′∥AB，A′B′＝AB，
∴∠OA′B′＝∠OAB，＝.
同理，∠OA′D′＝∠OAD，＝，
∴∠B′A′D′＝∠BAD，＝.
同理，∠A′D′C′＝∠ADC，∠D′C′B′＝∠DCB，∠C′B′A′＝∠CBA，
＝＝，
∴四边形ABCD∽四边形A′B′C′D′.
8解：(1)设AF＝a，DF＝b，BE＝m，EC＝n，
AB＝CD＝h(a，b，m，n，h均大于零)．
由题意知S梯形ABEF＝S梯形CDFE，
即(a＋m)·h＝(b＋n)·h，∴a＋m＝b＋n.①
又AD＝BC，∴a＋b＝m＋n，
即a＝m＋n－b.②
把②代入①，得m＋n－b＋m＝b＋n，
∴m＝b，即DF＝BE，
∴AF＝EC.故有＝＝＝＝1.
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在矩形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.
∵AD∥BC，∴∠AFE＝∠CEF，∠BEF＝∠DFE.
∴四边形ABEF∽四边形CDFE.
∴得到的两个四边形相似，且相似比为1.
(2)这样的直线可以作无数条．
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