22.1 第4课时 平行线分线段成比例
一、选择题
1．如图19－K－1，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F，若＝，则的值为( )
A. B. C. D．1
图19－K－1
2．［2017·合肥市53中模拟］如图19－K－2，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，则EC的长为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
图19－K－2
3．［2018·合肥市50中期中］如图19－K－3，l1∥l2∥l3，直线AC与DF交于点O，且与l1，l2，l3分别交于点A，B，C和点D，E，F，则下列比例式不正确的是( )
A. ＝ B. ＝
C. ＝ D. ＝
图19－K－3
4．［2016·安庆市16中期中］如图19－K－4，在▱ABCD中，AC与BD交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则EF∶AE等于( )
A．1∶4 B．1∶3 C．2∶3 D．1∶2
图19－K－4
5．［2017·哈尔滨］如图19－K－5，在△ABC中，D，E分别为AB，AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是 ( )
7
A. ＝ B. ＝
B. ＝ D. ＝
图19－K－5
6．［2017·恩施州］如图19－K－6，在△ABC中，DE∥BC，∠ADE＝∠EFC，AD∶BD＝5∶3，CF＝6，则DE的长为 ( )
A．6 B．8 C．10 D．12
图19－K－6
7．［2017·芜湖市29中模拟］如图19－K－7，▱ABCD中，E，F分别是AD，AB的中点，EF交AC于点G，那么AG∶GC的值为( )
A．1∶2 B．1∶3 C．1∶4 D．2∶3
图19－K－7
二、填空题
8．［2017·长春］如图19－K－8，直线a∥b∥c，直线l1，l2与这三条平行线分别交于点A，B，C和点D，E，F.若AB∶BC＝1∶2，DE＝3，则DF的长为________.
图19－K－8
9．如图19－K－9，BD∥AC，AB与CD相交于点O, ＝，如果OB＝4，那么AB＝________．
7
图19－K－9
10. 如图19－K－10，AB∥CD，BO∶CO＝1∶4，E，F分别是OC，OD的中点，则OF∶OA＝________．
图19－K－10
11．如图19－K－11所示，AD是△ABC的中线，若AE＝EF＝FC，BE交AD于点G，则＝________．
图19－K－11
三、解答题
12．如图19－K－12，直线l1∥l2∥l3，若＝，且BC＝4，求AB的长．
图19－K－12
13．［2018·肥东县模拟］如图19－K－13，在△ABC中，DG∥EC，EG∥BC.求证：AE2＝AB·AD.
图19－K－13
7
14．［2018·合肥市瑶海区期中］如图19－K－14，D是△ABC的边BC的中点，且＝.已知AG∥DE，分别求出和的值．
图19－K－14
15阅读理解题请阅读下面的材料，并回答所提出的问题．三角形内角平分线性质定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例．
图19－K－15
已知：如图19－K－15，△ABC中，AD是角平分线．
求证：＝.
证明：如图19－K－16，过点C作CE∥DA，交BA的延长线于点E.
∵CE∥DA，
图19－K－16
∴∠2＝∠3，∠1＝∠E.
又∵AD平分∠BAC，
∴∠1＝∠2，∴∠3＝∠E，
∴AC＝AE.
∵CE∥DA，∴＝.
7
又∵AC＝AE，∴＝.
(1)上述证明过程中，用到了哪些定理？(写出两个定理即可)
(2)在上述证明过程中，主要用到了下列三种数学思想的哪一种？
①数形结合思想；②转化思想；③分类讨论思想．
(3)用三角形内角平分线的性质定理解答下面的问题：
如图19－K－17，在△ABC中，AD是角平分线，AB＝5 cm，AC＝4 cm，BC＝7 cm.求BD的长．
图19－K－17
7
1．[解析] B ∵a∥b∥c，＝＝.
2．[解析] B ∵DE∥BC，∴＝，即＝，解得EC＝2.
3．D
4． B
5．[解析] C ∵DE∥BC，∴＝，＝，＝，＝，故选项A，B，D错误．故选C.
6．[解析] C ∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝∠EFC，∴EF∥AB，∴＝＝，∴＝＝，∴BF＝CF＝×6＝10.易知四边形DEFB是平行四边形，∴DE＝BF＝10.
7．[解析] B 如图，连接BD，与AC相交于O.∵E，F分别是AD，AB的中点，∴EF是△ABD的中位线，∴EF∥BD，∴＝.又∵OA＝OC，∴＝.
8．[答案] 9
[解析] ∵a∥b∥c，∴＝，即＝，解得EF＝6.∴DF＝DE＋EF＝9.
9．[答案] 10
[解析] ∵BD∥AC，
∴＝，即＝，∴OA＝6，∴AB＝10.
10．[答案] 2∶1
[解析] 由已知可得EF∥CD.
又AB∥CD，∴AB∥EF.
∵BO∶CO＝1∶4，OE＝EC，
∴OE∶BO＝2∶1，∴OF∶OA＝2∶1.
11． [答案]
[解析] ∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD.
∵AE＝EF＝FC，∴F是CE的中点，
∴DF∥GE，∴＝＝.
12．解：∵l1∥l2∥l3，∴＝，
即＝.
7
又∵＝，BC＝4，∴＝，
解得AB＝3.
13．[解析] 根据平行线分线段成比例的性质，由DG∥EC，可推出AD∶AE＝AG∶AC，由EG∥BC，可推出AG∶AC＝AE∶AB，再通过等量代换可得AD∶AE＝AE∶AB，即可证得结果．
证明：∵DG∥EC，∴AD∶AE＝AG∶AC.
∵EG∥BC，∴AG∶AC＝AE∶AB，
∴AD∶AE＝AE∶AB，即AE2＝AB·AD.
14．解：∵AG∥DE，∴＝＝.
又∵BD＝CD，∴＝，∴＝＝.
15解：(1)证明过程中用到的定理有：
①平行线的性质定理；
②等腰三角形的判定定理．(答案不唯一)
(2)②转化思想．
(3)∵AD是角平分线，∴＝.
又∵AB＝5 cm，AC＝4 cm，BC＝7 cm，
∴＝，∴BD＝(cm)．
7
微信/支付宝扫码支付