22.4 第1课时 位似图形的概念与性质
知识点 1 位似图形的概念
1．图22－4－1中的两个相似三角形不是位似图形的是( )
图22－4－1
2．如图22－4－2，已知BC∥DE，则下列说法中不正确的是( )
A．两个三角形是位似图形
B．点A是两个三角形的位似中心
C．点B与点D，点C与点E分别是对应点
D．AE∶AD是相似比
图22－4－2
3．如图22－4－3，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，OA＝AD，则△ABC与△DEF的相似比是( )
A. B. C．2 D．3
图22－4－3
4．关于位似图形的表述，下列命题正确的是( )
①相似图形一定是位似图形，位似图形一定是相似图形；
②位似图形一定有位似中心；
③如果两个图形是相似图形，且每组对应点的连线所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形是位似图形；
④位似图形上任意两点与位似中心的距离之比等于相似比．
A．①② B．①④ C．②③ D．③④
知识点 2 位似图形的性质
5．［2017·成都］如图22－4－4，四边形ABCD和A′B′C′D′是以点O为位似中心的位似图形．若OA∶OA′＝2∶3，则四边形ABCD和A′B′C′D′的面积比为( )
A．4∶9 B．2∶5
C．2∶3 D. ∶
图22－4－4
5
6．如图22－4－5，以点O为位似中心，△ABC与△DEF是位似图形．若AD＝OA，△ABC的周长为4，则△DEF的周长为( )
A．1 B．2 C．8 D．16
图22－4－5
7．如图22－4－6，△ABC与△DEF位似，位似中心为点O，且△ABC的面积等于△DEF面积的，则AB∶DE＝________．
图22－4－6
知识点 3 位似图形的画法
8．如图22－4－7，在正方形网格中有一条简笔画“鱼”，请你以点O为位似中心将其放大，使新图形与原图形的对应线段的比是2∶1(不要求写作法)．
图22－4－7
9．已知一个五边形ABCDE.在其内部找一点，作为位似中心，作一个五边形使它和原五边形位似，且相似比为1∶2.
图22－4－8
10．如图22－4－9是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，这支蜡烛AB在暗盒中所成的像CD的长是( )
A. cm B . cm C. cm D．1 cm
5
图22－4－9
11．如图22－4－10，若＝＝＝，则下列说法中正确的有( )
①△ABC与△DEF是相似图形；
②△ABC与△DEF的周长之比是；
③△ABC与△DEF是位似图形；
④△DEF与△ABC的面积之比是4∶1.
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
图22－4－10
12．如图22－4－11，在6×8的网格图中，每个小正方形的边长均为1，点O和△ABC的顶点均在小正方形的顶点上．
(1)以点O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′和△ABC位似，且△A′B′C′和△ABC的相似比为1∶2；
(2)连接(1)中的AA′，求四边形AA′C′C的周长(结果保留根号)．
图22－4－11
13．如图22－4－12，点F在BD上，BC，AD相交于点E，且AB∥CD∥EF.
(1)图中有哪几对位似三角形？
(2)选其中一对加以证明．
图22－4－12
5
14．如图22－4－13，用下面的方法可以画△AOB的内接等边三角形，阅读后证明相应问题．
画法：①在△AOB内画等边三角形CDE，使点C在边OA上，点D在边OB上；
②连接OE并延长，交AB于点E′，过点E′作E′C′∥EC，交OA于点C′，作E′D′∥ED，交OB于点D′；
③连接C′D′，则△C′D′E′是△AOB的内接三角形．
求证：△C′D′E′是等边三角形．
图22－4－13
5
1．D 2．D 3．A 4．C 5．A 6．C
7．2∶3 .
8．解：连接OA，OB，OC，OD并延长到点A′，B′，C′，D′，使OA′，OB′，OC′，OD′的长度分别是OA，OB，OC，OD长度的2倍，再顺次连接各点．图略．
9．解：在五边形ABCDE内部任找一点O，连接OA，OB，OC，OD，OE，然后在OA上取OA′＝OA，在OB上取OB′＝OB，在OC上取OC′＝OC，在OD上取OD′＝OD，在OE上取OE′＝OE，顺次连接A′，B′，C′，D′，E′，得到的五边形即为所求．
10． D
11． D
12．解：(1)如图所示，△A′B′C′即为所求．
(2)如图所示，连接AA′，由图知AA′＝CC′＝2.
在Rt△OA′C′中，OA′＝OC′＝2，得A′C′＝2 .同理可得AC＝4 .
∴四边形AA′C′C的周长为4＋6 .
13．解：(1)∵AB∥CD∥EF，
∴△DFE与△DBA，△BFE与△BDC，△AEB与△DEC都是位似图形，一共有3对．
(2)(答案不唯一)证明：∵AB∥CD∥EF，
∴△DFE∽△DBA，△BFE∽△BDC，△AEB∽△DEC，且对应点的连线都交于一点，
∴△DFE与△DBA，△BFE与△BDC，△AEB与△DEC都是位似图形．
14．证明：∵EC∥E′C′，∴△OCE∽△OC′E′，
∴＝，∠CEO＝∠C′E′O.
∵ED∥E′D′，∴△ODE∽△OD′E′，
∴＝，∠DEO＝∠D′E′O，
∴＝，∠CED＝∠C′E′D′，
∴△CDE∽△C′D′E′.
∵△CDE是等边三角形，
∴△C′D′E′是等边三角形．
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